苏教版数学必修三讲义第3章+32+古典概型及答案.docx
《苏教版数学必修三讲义第3章+32+古典概型及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版数学必修三讲义第3章+32+古典概型及答案.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
苏教版数学必修三讲义第3章+32+古典概型及答案
3.2 古典概型
学习目标
核心素养
1.理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能基本事件．（难点）
2．理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率计算方法．（重点）
1.通过求解概率锻炼学生的数据分析、数学运算核心素养．
2．利用古典概型的知识来解决实际问题，培养学生的数学建模核心素养.
1．在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件，若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．
2．我们把具有：
（1）所有的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件的发生都是等可能的，两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3．基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为
.
4．在古典概型中，任何事件的概率P（A）＝
，其中n为基本事件的总数，m为随机事件A包含的基本事件数．
1．下列对古典概型的说法不正确的是（ ）
A．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个基本事件出现的可能性相等
D．基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P（A）＝
B [正确理解古典概型的特点，即基本事件的有限性与等可能性．]
2．从1,2,3,4中任意取两个不同的数字组成两位数，则基本事件共有________个．
12 [基本事件为12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共12个．]
3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
[分别以1,2,3,4表示1只白球，1只红球，2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），共6个基本事件，2只球颜色不同的基本事件有5个，故所求的概率P＝
.]
4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．
[由题意，b>a时，b＝2，a＝1；b＝3，a＝1或2，即共有3种情况．又从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b共有5×3＝15种情况，故所求概率为
＝
.]
基本事件的计数问题
【例1】 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．
（1）写出这个试验的基本事件；
（2）求这个试验的基本事件的总数；
（3）“恰有2枚正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？
思路点拨：
由于本试验所包含基本事件不多，可以利用列举法．
[解]
（1）这个试验的基本事件有：
（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）．
（2）这个试验的基本事件的总数是8.
（3）“恰有2枚正面朝上”包含以下3个基本事件：
（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）．
求基本事件的个数常用列举法、列表法、画树形图法，解题时要注意以下几个方面：
（1）列举法适用于基本事件个数不多的概率问题，用列举法时要注意不重不漏；
（2）列表法适用于基本事件个数不是太多的情况，通常把问题归结为“有序实数对”，用列表法时要注意顺序问题；（3）画树形图法适合基本事件个数较多的情况，若是有顺序的问题，可以只画一个树形图，然后乘元素的个数即可．
1．一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球．
（1）共有多少个基本事件？
（2）两个都是白球包含几个基本事件？
思路点拨：
解答本题可先列出摸出两球的所有基本事件，再数出均为白色的基本事件数．
[解]
（1）法一：
采用列举法分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，有以下基本事件：
（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个（其中（1,2）表示摸到1号，2号球）．
法二：
（采用列表法）
设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．
列表如下：
a
b
c
d
e
a
（a，b）
（a，c）
（a，d）
（a，e）
b
（b，a）
（b，c）
（b，d）
（b，e）
c
（c，a）
（c，b）
（c，d）
（c，e）
d
（d，a）
（d，b）
（d，c）
（d，e）
e
（e，a）
（e，b）
（e，c）
（e，d）
由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸（b，a）与（a，b）是相同的事件，故共有10个基本事件．
（2）解法一中“两个都是白球”包括（1,2），（1,3），（2,3）三种．解法二中，包括（a，b），（b，c），（c，a）三种．
2．做投掷2颗骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：
（1）事件“出现点数之和大于8”；
（2）事件“出现点数相等”；
（3）事件“出现点数之和等于7”．
思路点拨：
用列举法将所有结果一一列举出来，同时应把握列举的原则，不要出现重复和遗漏．
[解]
（1）“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：
（3,6），（4,5），（4,6），（5,4），（5,5），（5,6），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）．
（2）“出现点数相等”包含以下6个基本事件：
（1,1），（2,2），（3,3），（4,4），（5,5），（6,6）．
（3）“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：
（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）．
利用古典概型公式求解概率
【例2】 先后掷两枚均匀的骰子．
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
（4）出现两个4点的概率是多少？
思路点拨：
→
→
→
[解]
（1）用一个“有序实数对”表示先后掷两枚骰子得到的结果，如用（1,3）表示掷第一枚骰子得到的点数是1，掷第二枚骰子得到的点数是3，则下表列出了所有可能的结果．
掷第二枚得
到的点
掷第一枚得
到的点数
1
2
3
4
5
6
1
（1,1）
（1,2）
（1,3）
（1,4）
（1,5）
（1,6）
2
（2,1）
（2,2）
（2,3）
（2,4）
（2,5）
（2,6）
3
（3,1）
（3,2）
（3,3）
（3,4）
（3,5）
（3,6）
4
（4,1）
（4,2）
（4,3）
（4,4）
（4,5）
（4,6）
5
（5,1）
（5,2）
（5,3）
（5,4）
（5,5）
（5,6）
6
（6,1）
（6,2）
（6,3）
（6,4）
（6,5）
（6,6）
从表中可以看出，先后掷两枚骰子的所有可能结果共有36种．
由于掷骰子是随机的，
因此这36种结果的出现是等可能的，该试验的概率模型为古典概型．
（2）在所有的结果中，
向上的点数之和为5的结果有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）共4种．
（3）记“向上点数之和为5”为事件A，
由古典概型的概率计算公式可得P（A）＝
＝
.
（4）记“出现两个4点”为事件B．
因为事件B出现的可能结果只有1种，
所以事件B发生的概率P（B）＝
.
古典概型的解题步骤
（1）阅读题目，搜集信息；
（2）判断是否是古典概型；
（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；
（4）用公式P（A）＝
求出概率并下结论．
3．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道题．
甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
思路点拨：
由题意知本题是一个等可能事件的概率．甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，共有90种抽法，即基本事件总数是90.
[解] 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90（种），即基本事件总数是90.
记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：
甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6×4＝24.
P（A）＝
＝
.
4．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球、2个白球；乙袋装有2个红球、3个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球，求取到的4个球全是红球的概率．
思路点拨：
本题求解基本事件的总数是关键，对于（甲，甲）的每一种结果，都有（乙，乙）的10种结果配对，所以{（甲，甲），（乙，乙）}共有6×10＝60（个）基本事件．
[解] 试验的所有结果可以表示{（甲，甲），（乙，乙）}．其中（甲，甲）表示从甲袋中取出的球，（乙，乙）表示从乙袋中取出的球，则从甲袋中取出的球有（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），（红1，红2），（白1，白2），共6种不同的结果；
从乙袋中取出的球有（红1，白1），（红1，白2），（红1，白3），（红2，白1），（红2，白2），（红2，白3），（红1，红2），（白1，白2），（白1，白3），（白2，白3），共10种不同的结果．
相对于（甲，甲），（乙，乙）而言，就有60个基本事件．
记“取到的4个球为红球”为事件A，则事件A包含的基本事件只有1种，所以P（A）＝
.
概率与统计的综合问题
【例3】 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
[40,50），[50,60），…，[80,90），[90,100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在[40,60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50）的概率．
思路点拨：
（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，求A．
（2）对该部门评分不低于80的即为[80,90）和[90,100]，求出频率，估计概率．（3）求出评分在[40,60）的受访职工和评分在[40,50）的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能情况，利用古典概型公式解答．
[解]
（1）因为（0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028）×10＝1，所以a＝0.006.
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022＋0.018）×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
（3）受访职工中评分在[50,60）的有：
50×0.006×10＝3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50）的有：
50×0.004×10＝2（人），记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为
.
有关古典概型与统计结合的题型，已成为高考考查
升级会员 