小升初小学数学数的整除性知识点汇总三.docx

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小升初小学数学数的整除性知识点汇总三

小升初小学数学（数的整除性）知识点汇总

153.为什么要学习“数的整除性”这部分知识？

“数的整除性”在小学数学教学中是一个重要的基础知识。

说它重要是因为这部分知识所涉及的基本数学概念不仅多，而且相对集中，如果不能明确、清晰地掌握这些基本数学概念的区别和联系，就会引起混淆，而混淆也必然给以后的数学知识的学习，带来严重的后遗症。

例如：

约数与倍数、质数与合数、奇数与偶数、公约数与公倍数……这些概念在教学中几乎同时出现，但又有相反的内涵，因此，这些概念必须牢固而又明确地建立起来。

还必须看到：

“数的整除性”是学习分数的前提和准备。

在分数的四则运算中，约分和通分是一定要掌握的基础知识，而构成这些基础知识，是离不开“数的整除性”这部分内容的。

例如：

不掌握求最大公约数的方法，就不可能进行正确、迅速的约分；不掌握求最小公倍数的方法，也无法进行正确、迅速的通分。

从这个意义上讲，学习

“数的整除性”是进一步学习数学的需要。

除此之外，学生在过去的学习中，已经知道整数与整数的和、差、积都是整数，但整数除整数时，商不一定是整数，有时会是小数，到底在什么情况下，整数与整数相除，商仍然是整数呢？

这就需要根据“数的整除性”的知识来进行正确的判断了。

在未学习“数的整除性”前，学生是很难准确、迅速地判断出下列各式的商是不是整数。

87459÷365246÷7

32846÷1196375÷25

74321÷979432÷8

由于数字较大，一时难于做出正确的判断，一旦掌握了“数的整除性”这部分知识，这些问题就不难解决了。

154.整除和除尽有什么不同？

整除和除尽是两个既有区别又有联系的概念，也是两个易于混淆的概念。

可以通过下面两道题的计算过程，来加以说明。

这两道题相同的地方是都没有余数，都可以说成是“除尽”。

但这两道题又有不同的地方，

（1）题中的被除数、除数和商都是整数，这种情况称作“整除”。

按原题可以说成是896能被16整除。

（2）题中的被除数、除数虽然是整数，但商不是整数，而是小数。

这类情况就只能称作“除尽”，而不能称作“整除”。

按原题可以说成36能被8除尽，而不能说成36能被8整除。

又如：

3.5÷0.5=7824÷41.2=20

这两个式子虽然都能除尽，商又是整数，但被除数和除数中，至少有一个数不是整数，因此，这两个式子只能属于“除尽”情况，而不能称作“整除”。

由于在小学数学中，“数的整除性”所涉及的数一般都指的是自然数，不包括0，因此，其定义是：

“数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a能被b整除。

”

“整除”与“除尽”是两个不同的概念。

“除尽”是指在除法中只要除到某一位时没有余数，不管被除数、除数和商是整数还是小数，都可以说是“除尽”。

“整除”是指在除法中只有被除数、除数和商都是整数的情况下，才可以说是“整除”。

“整除”是整数范围内的除法，而“除尽”则不限于整数范围，只要求余数为零。

“整除”与“除尽”的区别和联系在于“整除”也可以称作

“除尽”，但是“除尽”不一定是“整除”。

“除尽”中包括了“整除”，

“整除”只是“除尽”的一种特殊情况。

“除尽”与“整除”的关系可用右边集合图来表示。

155.“数的整除性”有哪些性质？

“数的整除性”的性质很多，涉及到小学数学内容的有以下几个：

（1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的和也能被c整除。

例如：

42÷7=656÷7=8

（42＋56）÷7=14

42能被7整除，56也能被7整除，那么42与56的和（98）也能被

7整除。

反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，而其中一个数不能被c整除，那么a与b的和就一定不能被c整除。

例如：

36÷9=483÷9=9……2

（36+83）÷9=13……2

36能被9整除，83不能被9整除，那么36与83的和（119）不能被

9整除。

（2）如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的差也能被C整除。

例如：

88÷11=8，66÷11=6

（88-66）÷11=2

88能被11整除，66也能被11整除，那么88与66的差（22）也能被11整除。

反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，另一个数不能被c整除，那么a与b的差就一定不能被c整除。

例如：

91÷13=730÷13=2……4

（91-30）÷13=4……9

91能被13整除，30不能被13整除，那么91与30的差（61）不能被13整除。

（3）如果两个整数a、b都不能被c整除。

那么a与b的和（或差）能或不能被c整除。

这是一个不肯定的结论。

例如：

65÷7=9……233÷7=4……5

（65＋33）÷7＝14

（65-33）÷7=4……4

65不能被7整除，33也不能被7整除，由于两个余数的和（2＋5=7），正好等于除数，因此，65与33的和（98）能被7整除；而65与33的差则不能被7整除。

又如：

85÷11=7……838÷11=3……5

（85＋38）÷11＝11……2

（85-38）÷11=4……3

85不能被11整除，38也不能被11整除，此例中85与38的和（123）或差（47）都不能被11整除。

（4）如果整数a能被自然数c整除，那么a的倍数（整数倍）也能被c整除。

例如：

39÷13=3

（39×4）÷13=12

39能被13整除，39的4倍（156）也能被13整除。

（5）如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）。

例如：

有84、21、7三个数84÷24=421÷7=3

84÷7＝12

84能被21整除，21又能被7整除，那么84就一定能被7整除。

反之，如果a、b、c这三个数中，a与b或b与c之间只要出现一个

不能整除的情况，a就一定不能被c整除。

例如：

有121、11、5三个数121÷11=1111÷5=2……1

121÷5=24……1

121能被11整除，但11不能被5整除，那么121就一定不能被5整除。

156.“倍”与“倍数”有什么区别？

“倍”与“倍数”虽然只有一字之差，却是两个不同的数学概念，只有真正明确它们各自的内涵和使用范围，才不会在理解和应用上造成混淆。

“倍”指的是数量之间的关系，它建立在乘法概念的基础上，在实际教学中，是从“个”和“份”逐步抽象出来的数学概念。

例如：

白布8米，花布的长度有4个8米；或者说把白布8米看作1份，花布的长度是4份。

这里所说的“个”与“份”，换成数学语言就是花布的长度是8米的4“倍”，花布的米数是8×4=32（米）。

由此可见，

“倍”的出现是从生活中的“个”与“份”逐步抽象出来的，是建立在乘法概念的基础上的。

“倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在“数的整除性”这个大概念的基础上，是在明确“整除”的前提下，与“约数”同时建立的。

例如：

28是7的倍数，因为28能被7整除。

28÷7=4，28是7的4倍，如果用乘法表示这三个数的数量关系，则7×4=28，7的4倍是28。

由此可见，前者的“倍数”是严格限制在“整除”的范围内，而后者的“倍”只体现在乘法的概念当中，这是两者的明确区别。

在小学数学教材中，“倍数”的运用还有另一种情况，即在比例教学时，当阐述正、反比例关系所提到的“扩大或缩小相同的倍数”，这里所提到的“倍数”，是一般除法中的概念，而不是“整除”范围内的概念。

比例中所出现的倍数，所表示的是两个最相比而得到的数，这个数不一定是整数，也可能是小数。

在研究“数的整除性”中的倍数，是不允许出现小数的。

157.约数可以等于因数吗？

在“数的整除性”中，约数和因数是两个重要的概念。

在小学数学“教”与“学”中，接触因数是在整数乘法时，被乘数与乘数对于积来说，都是因数。

约数是在“数的整除性”中出现的，它与倍数是在“整除”概念的前提下，同时建立起来的概念。

按照教材中对约数所下的定义：

“如果数

a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

”假设把商定为c，其算式为：

a÷b=c反之b×c=a

仅从算式来观察，似乎约数与因数已经等同了，实际上并非如此。

约数与因数是一个问题在不同范畴内的两种不同提法，两者之间既有联系，也有区别，从上面乘、除法关系的算式中可以看到它们之间的联系，但它们之间的区别则是主要的。

以6÷3＝2为例，6能够被3整除，也能被2整除，因此，对6来说，

3和2都是它的约数。

如果换成乘法算式：

3×2=6，对于乘积（6）来说，

3和2都是它的因数。

由此可见，只有在“整除”的范畴内，才能谈得上约数，而在乘法中，因数早已经存在了。

事实上，6除了能被3和2整除外，还能够被1和6整除，也就是说，

6共有1、2、3、6四个约数。

至于3×2=6，3和2固然是6的因数；但1

×6=6，1和6也是6的因数，这是两个不同的乘法算式，因此，绝不能说成6有1、2、3、6四个因数，否则，1×2×3×6=36，其乘积就不是6，而是36了。

约数与因数的另一个区别，还在于各自的应用范围上。

约数的应用范围是有限的，它只存在于“数的整除性”这部分知识当中，为学习“公约数”和“最大公约数”做好基础知识上的准备。

因数的应用范围则比较广泛，无论整数、小数、分数、百分数，以及到中学后所接触到的负数，只要出现了乘法，就存在着因数的概念。

例如：

在小数中2.4×0.8=1.92，2.4与0.8都是1.92的因数。

在负数中（-5）×7=35，-5和7都是-35的因数。

凡此种种，都充分说明：

约数与因数是两个不同的概念，是不能等同的。

158.质数一定是奇数吗？

偶数一定是合数吗？

质数与奇数，偶数与合数涉及到两组不同的数学概念。

质数与合数是相互依存的，奇数与偶数也是相互依存的。

因此，质数不一定是奇数，偶数也不一定是合数。

这是因为：

一个数只有1和它本身两个约数的，这样的数叫做质数（也叫做素数）。

而不能被2整除的数叫做奇数。

这两个概念的内涵不同，一般来说，是质数的也都是奇数，如：

3、13、29、37……。

这些数既是质数，也都是奇数。

但有一个数是例外的，这就是“2”。

2的约数只有1和它本身，因此，它是质数；但2能被2整除，不符合奇数的定义，所以，

2不是奇数。

按照数学的严密性语言来说：

“除2以外的质数都是奇数”，这样的判断才是正确的。

还必须看到，“除2以外的质数都是奇数”这个结论虽然正确无误，但反过来说“除2以外，奇数都是质数”则是错误的，如：

27、35、143……这些数，虽然都是奇数，但这些数除了1和它本身这两个约数外，还有其

他约数，如：

27还有3和9，35还有5和7，143还有11和13，都不符合质数的定义，因此，这些数都不是质数。

偶数也不一定是合数，因为“能被2整除的数叫做偶数”，而合数的定义是：

“除了1和本身，还有别的约数的，这样的数叫做合数。

”这里

“2”又是一个重要区分点，2是偶数，但不是合数，准确的说法是：

“除

2以外的偶数都是合数。

”

与质数和奇数不能反叙述一样，