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座位的选择
座位的选择
看电影是众多学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大家所关心的一个问题。
本文针对如何在影院选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。
由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一个多目标规划问题。
本文先建立了模型1，采用主目标法找出了影院最优的一个位子。
而后就“怎样选择一个好位子”的问题，建立模型2，分析了大华影院中央部分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情况，相对复杂。
模型2作了巧妙的假设，提出了“基本视效”的概念将目标化为大的座位满意度高，反之，满意度低。
模型2的优点在于避免了其他方法，如权重法的主观性。
因此模型也更加可信。
关键词多目标规划视角仰角几何基本视效matlab
一、问题的背景
看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。
每每放映之前，影院门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好地形。
二、问题的提出
有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平180°，垂直90°。
观影时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。
经医学实验得知：
10°以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。
20°以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。
20°～30°，虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。
但是人们又发现，若观看一幅宽大的画面时，视角大到一定值后，观看者会感到和画面同处一个空间，给人带来一种身临其境的艺术效果。
即虽然图像内容是二维平面的，但结合在一起后，平面的图像能呈现出立体感，这种效果在观察大画面图像时，会令人感觉出画面有自然感和动人逼真的临场感。
也就是说观影时，视角越大，越能达到一种身临其境的满足感。
但是观影时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角指观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。
例如，坐在第一排看电影，虽然视角很大，但观影者须在这个观影过程中仰头，整个过程也不一定享受，一般仰角越小，观影过程越舒适。
同样，定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与水平线的夹角中大的角度值，那么坐的越偏，斜角越大，座位过偏时，也会导致颈部向一侧扭曲，甚是难受，无疑坐的越靠近影院中轴线，斜角越小，越舒适。
由上面的分析，在大华影院看电影时，座位过偏、过前，整个过程要么扭颈斜视，要么“曲项向天”，着实难受，座位太后，又视觉不够震撼，不够享受。
怎样选择一个好座位呢，下面我们就进行建模，找出其尽量的实际的答案。
考虑到影院的400个座位分为左侧、中央和右侧三个部分，其中中央部分约200个座位，两侧约各200个。
由于大华影院，只有一个小的投影屏幕，宽度远小于正规电影院的屏幕，两侧的座位的观影效果在各个方面都比中央部分的座位差很多，又考虑到中央的近200个座位可以满足占座位同学的需求，所以下面的讨论都只限于中央的座位。
下图为大华影院剖面简图，只画出中央部分的座位，且台阶型座位只简化为3级。
三、模型的建立
模型1：
寻找最优位置
显然，最优的位置一定位于大华影院最中央的一列座位，所以这个模型所选择的范围就缩小了，只用考虑一列14个座位。
1）模型的假设
A.假设大华影院的座位面为与水平面夹角为θ的倾斜面（如下图所示）
B.不考虑人们视力的影响，即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度相同。
C.不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响。
D.只从中间部分的座位选择。
E.忽略观众头顶到眼睛的距离。
F.忽略观众两眼间的距离。
G.将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中线上。
下图为大华影院侧面简图
2）参量变量
H
：
屏幕上边缘到地面的高度
h
：
屏幕的高度
H1
:
最后一排距地面的高度
α
：
观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角
β
：
观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角
θ
：
近似座位面与水平面所夹的二面角
d
：
第一排座位与屏幕的水平距离
D
：
最后一排座位与屏幕的水平距离
s1
：
观众眼睛到屏幕的水平距离
l
：
观众所处的座位面上的点到水平面的距离
L
：
观众眼睛到水平面的距离
a
：
观众平均坐高
λ线
：
观众眼睛所在位置构成的直线
经过实地测量，大华影院中中央部分的座位有14排×13列，座位与座位之间左右间隔0.54米，前后间隔1米。
并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长度单位均为米）：
H
4
h
3
D
18
d
4
a
1.1
H1
3
θ
12.1°
tanθ
3/14
3）模型的求解
因为经过如上假设，最佳的位置一定位于大华影院最中央的一列座位，所以问题便转化成一个平面几何问题。
为达到“视角尽可能大，仰角尽可能小”的目的，就是在λ线上选择合适的点使得角（α+β）尽量大，但角α尽量小。
由于α和β的变化范围都在-90°-90°之间，所以可以用函数arctan来衡量角的大小。
如图所示，
，
，所以
，
（注意，
时为正），那么，问题进一步转化为
＋
尽量大，而
尽量小。
而后一目标可简化为
尽量小，即
尽量大。
用数学语言写为：
＋
在解的可行域R内，求多目标的极值问题可记为：
这是一个典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用“化多为单”的方法。
下面就用“主目标优化法”对模型进行求解。
所谓“主目标法”就是分清目标的主要与次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优化，而使其他的目标降为约束条件。
进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进电影院看电影的原因，而通过调整颈部的扭转角度，只要角度不是很大，是不会给人的身体带来太大的不适感的，特别是当电影内容比较精彩时，人们更会忽略颈部的不适感，而更追求观影的视觉效果。
查资料知，当仰角不大于20°时，短时间的观影不会给人体带来太大的不适感。
也就是说，视角大给人们带来的满足感比仰角小给人们带来的舒适感更重要。
所以
为主要目标，
降为约束条件
。
那么问题转化为一个非线性规划：
在求
极值时，利用
，即：
＋
＋
将
，
，代入整理得
用matlab解得
=1.6223<4
画出
＋
的图像（见下图）
由图像看出
＋
的导数值恒负
进一步，算出各排的视角值
排数
1
2
3
4
5
6
7
视角
35.816
31.023
26.988
23.7
21.03
18.846
17.042
排数
8
9
10
11
12
13
14
视角
15.533
14.257
13.167
12.225
11.405
10.686
10.05
以及各排的仰角值
排数
1
2
3
4
5
6
7
仰角
38.679
30.859
24.805
20.078
16.331
13.313
10.842
排数
8
9
10
11
12
13
14
仰角
8.7898
7.0614
5.5887
4.3204
3.2177
2.2509
1.3967
视角是依排数递减的，再由约束条件
，所以应该坐在第5排中央的位子。
这是一个有效解。
即在所有可行解中找不到比它更好的解
4）模型的分析
＋
在求导时没有在[4，17]的区间内出现理想零值，主要跟大华影院的设置有关，它并不是专门的电影院，屏幕高度不够，悬挂的很低，这就导致了仰角主要决定视角的大小，从第一排向后视角依次递减。
所以由大华影院的这种设置，看电影时最好应该坐在第5排中央，这是一个有效解。
下面关心此模型用在正规电影院的情形。
影城的国际标准，屏幕高10米，宽14米。
而观众席全部采用高角度斜坡式，从第一行到最后一行的坡度高达4.5米。
它的其他数据与大华影院相同，套用此模型解得从一到十四排的视角为：
排数
1
2
3
4
5
6
7
视角
40.665
43.857
44.993
44.796
43.776
42.276
40.521
排数
8
9
10
11
12
13
14
视角
38.657
36.779
34.942
33.182
31.516
29.951
28.491
仰角为：
排数
1
2
3
4
5
6
7
仰角
70.154
65.067
60.091
55.294
50.729
46.432
42.425
排数
8
9
10
11
12
13
14
仰角
38.714
35.296
32.158
29.285
26.656
24.252
22.052
得到在此电影院观影，最优位置为第14排中央的位置，这主要是由它宽大的屏幕决定的，坐的靠后，反而观影满意度高，而影院也大力宣传：
“最后一排的观众感觉尤其奇妙，由于坡度高，会产生一种‘空中看电影’的感觉”。
这点验证了模型的合理性。
模型2：
寻找好位置
最优位置只有一个，去抢座位看电影的同学能竞争到那个位子可谓十分不易，那么下面我们就来进一步分析，在抢不到最优位置的情况下，再选择哪里的位子可以达到一个也算不错的观影效果。
下图为大华影院俯视图：
这样，问题就不能只考虑垂直的情况，还要考虑水平的情况，具体的说，就是如果最佳位置已有人坐了，而它旁边和后面的位置都还空着，那么是坐在最佳位置的后面还是坐在最佳位置的旁边，可以更好的享受这次观影呢？
同样，在考虑水平的情况时，根据人的视觉感受，坐的太偏离屏幕中心，需扭转颈部才能达到更好的观影效果，因此，和水平情况的讨论结果相同，水平视角δ越大越好，斜角ξ越小越好。
于是，问题就变成一个空间立体几何问题，考虑到对称性，我们只讨论最中间一列位置和它左边区域的位置。
而同时讨论水平视角δ、水平斜角ξ、垂直视角η、垂直仰角α，就是说有四个目标要优化，无疑使问题得讨论非常复杂，在衡量目标的主次上也会比两两比较困难。
所以，为化简问题，我们将四个目标化简为1个------“基本视效”。
定义为：
人直视屏幕时，屏幕在人的视野中所占比例。
1）模型的假设
A.人的观影感受只与视觉感受与颈部舒适度有关。
B.忽略人头顶到眼镜的距离，忽略人两眼之间的距离。
C.人的有效视野为椎定为20°的正4棱锥，人只能看见以其眼睛为锥定，锥角为20°的4棱锥范围内的事物。
且忽略围墙和屋顶的阻挡作用（如下图所示）
D.将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中垂线上。
2）比模型1增加的参量、变量
w
：
屏幕宽
W
：
一排座位的总宽度
s2
：
观众眼睛到大华影院中轴面的距离
σ
：
屏幕所在的区域
ϕ
：
屏幕所在的平面
ψ
：
观众眼睛所在的平面
Sσ
：
视线4棱锥在平面的投影与σ区域重合部分的面积
SP
：
视线锥在屏幕所在平面的投影面积
L2
：
观众眼睛距屏幕中截面的高度
k
:
基本视效值S/σSP
测量得w=3米W=7米
3）模型的解释
此模型将人的视线看成光线，于是眼睛被看成一个特殊的光源，只能射出一个正4棱锥形的光束，锥角固定为20°。
那么，看电影的问题就转化成投影问题。
即光源垂直地向屏幕所在的平面ϕ发射光线，最终在ϕ平面上得到一个正方形光区，那么屏幕与光区重合部分在光区中所占比例越大，基本视效越好。
依据此思想，建立3维直角坐标系，分析此问题。
如上图，以屏幕的中心为坐标原点O，建立{O；
}单位右手标架。
使向量
张成平面ϕ，空间中任一点A（s2，s1，L2）关于单位右手正交基{
}的分量就为三元有序实数组（s2，s1，L2）。
其中s2的几何意义为观众眼睛到大华影院中轴面的距离，s1的几何意义为观众眼睛到屏幕的水平距离，L2的几何意义为观众眼睛距屏幕中截面的有向高度。
观众的眼睛P在平面ψ上移动，由模型1的假设ψ面可以参数化：
r=r（s2，s1）=（s2，s1，
，那么当观众眼睛在ψ面上移动时，以P为定点的4棱锥在空间内做平移运动，图中阴影部分为4棱锥在ϕ平面的投影与σ区域的重合部分，则随点P的运动，阴影与投影部分的面积及其二者的比例比值k也会发生变化
4）模型的求解
为使基本视觉效果达到最好，则只需在ψ面上找一点P，使得其对应的k值最大。
左图为s2oL2平面图：
空间内一点P（s2，s1，L2）在该平面的投影点为（s2，L2），由于只考虑大华影院最中间一列位置和它左边区域的位置，所以0≤s2≤3.5，4≤s1≤17，-1.4≤L2≤1.5。
且投影点只在Ⅰ、Ⅳ象限运动。
以P点为顶点的上述4棱锥在此平面截出一个正方形，其边长为
，其到屏幕上、下、左、右边的距离为：
1.5-L2，L2+1.5，|1.5-s2|，s2+1.5
其中，
由此可以给出阴影部分面积计算方法：
图中标明了4个变量x1，x2，y1，y2，为正数，表示分别表示投影点到阴影部分，左、右、上、下4边的距离：
x1=min{|1.5-s2|，0.6997·s1}
x2=min{s2+1.5，0.6997·s1}
y1=min{1.5-L2，0.6997·s1}
y2=min{L2+1.5，0.6997·s1}
当s2≤1.5时
阴影部分的面积为Sσ=
当s2>1.5时
阴影部分的面积为Sσ=
4棱锥在屏幕所在平面的投影面积=（1.4·s1）PS2
则基本视效k=PSSσ
用Matlab软件可计算出有14排×13列，282个座位的k值，下表为中央一列和他右侧共98个座位的基本视效值，表格安排与座位安排相同：
0.57094
0.57094
0.42048
0.18421
0
0
0
0.67837
0.67837
0.46752
0.24293
0.018352
0
0
0.74999
0.70014
0.49323
0.28632
0.079406
0
0
0.80114
0.69828
0.50883
0.31938
0.12993
0
0
0.83951
0.69272
0.51902
0.34531
0.1716
0
0
0.82231
0.68594
0.52604
0.36615
0.20625
0.04636
0
0.72472
0.6471
0.50618
0.36526
0.22434
0.083423
0
0.59894
0.56997
0.45351
0.33705
0.22058
0.10412
0
0.50328
0.50328
0.41063
0.31277
0.21491
0.11705
0.019192
0.42883
0.42883
0.37507
0.29169
0.20831
0.12492
0.041539
0.36976
0.36976
0.34512
0.27322
0.20133
0.12943
0.057534
0.3221
0.3221
0.31956
0.25693
0.1943
0.13167
0.069036
0.28309
0.28309
0.28309
0.24244
0.1874
0.13235
0.077304
0.25077
0.25077
0.25077
0.22949
0.18073
0.13197
0.083205
并画出14排×13列，282个座位k值的三维图形，可更直观的看出各个座位的观影适合程度，图形中方格的分布与大华影院俯视图中座位的分布相同。
其中越突出的地方越适合观影：
从上面表格及图形可看出，前9排靠近中央的座位都比较适合观影，其中3到7排中央3列的座位观影满意度更佳。
因此在大华影院看电影时，可优先选择这些位子。
且最佳的那15个位子满意度相差不多，选择时不必过度苛求。
而对于相对较偏的位子，靠后坐一些可以得到比坐在前排可好的视觉效果。
5）模型的分析
我们定义“基本视效”这一标准来衡量座位的优良是有其合理性的。
因为观众在观看电影时，视野中屏幕所占的比例越大，视觉效果越好，它与专业上所说的视角越大，视效越好是同理的，只不过一个用的是角度的度量，一个用的是比例系数的度量。
当观众的基本视效较小时，他总会通过扭转颈部的方法使基本视效最大化。
例如，坐在第一排的观众没有谁是不仰头看电影的，而坐在边上的观众也都不是直视前方的。
因此，这一模型就是将视角和仰角整合成一个变量，“基本视效”值k小既意味着视角不够大，也暗含着，你需要更大地扭转颈部来达到满意的视效，从而要影响观影的舒适度。
这样，模型就很好地把一个多目标规划变成了一个单目标的规划。
而假设人的水平和垂直有效视角均为20°，将人的有效视觉区域看成一个4棱锥，虽然看似荒唐，但对问题的解决上是不存在太大影响的，因为这是一个比较问题，只需比较座位之中哪个的“基本视效”最大。
而采取20°，而不是其他角度，是与医学上认为，20°以内能正确识别图形等信息，并称为有效视野相符合的，后来带入程序也验证采用其他角度建立模型，得到的结果并不满意。
从模型2的结果，光看中央一列的基本视效k值，正好是第5排达到最优，与模型1的结果一致，可以说相互作了验证，模型是合理的。
四、参考文献
［１］刘来福，曾文艺.数学模型与数学建模.北京师范大学出版社
［２］席少霖，赵凤治.最优化计算方法.上海科学技术出版社
［３］范玉妹，徐尔，周汉良.数学规划及其应用（第2版）.冶金工业出版社
［４］欧阳崇森.实用最优化技术.湖北科学技术出版社
［５］清源计算机工作室.Matlab基础及其应用.机械工业出版社
五、心得体会
经过了两周的奋战，终于完成了这篇凝聚了自己心血的论文。
一周的选题，大海捞针，头晕眼花，一周的写论文，反复推敲，辛酸苦辣。
最后近20页沉甸甸、思想不是Ctrl+C加Ctrl+V的论文，还是带给自己非凡的满足感。
选题时阶段，无论何时何地，都在想眼前的东西，可不可以建模分析一下，道边的垃圾桶、教九楼的电梯、耳中的音乐、超市发的商品价格……最后选择了看电影的题目，还算比较适合自己的能力。
初次接触这种多目标规划的题目，首先联想到了微观经济学中学到的“效用函数”的概念，后来查找资料，真的有类似的分析方法---权重法。
但仔细思考，发现此种方法的主观性太大，不易把握，所以换了一个角度思考，使得模型的准确性更高。
特别是模型2的建立，将它转化成一个单目标规划，依据了医学的一些基本原理，提出了大胆的假设，可以说尽量少的掺杂主观成分。
开始，模型2是用圆锥形来做的，后来在计算上过于复杂，因而改用4棱锥。
在角度的选择上也费了不少心思，最后还是发现用医学上的有效视野的角度数最合适。
模型的结果还是和平时的经验比较符合的，因此对于模型2这个灵感迸发，还是十分满意的。
写论文过程中，每晚对着电脑，有一种探索的感觉，不知道模型是否合理，所有努力是否会付之东流，只是一步步地前进着，期待着一个满意的结果。
其中也出现了反复，因为忘了一种的情况的讨论，而怀疑整个模型的正确性，一时间万念俱灰，因为打错了一个字母，对着短短的程序发了一下午呆，欲哭无泪。
所以作完了这次论文，也使自己充分领悟了细心的重要性。
总之，感谢这学期开设的数学模型课，让我们体验到了数学的魔力与探索的乐趣，让我对着家教的学生可以讲出数学的万般用处，感谢老师和助教的辛勤辅导，让我们的建模和建算机能力都有了提高。
最后对于论文中众多的不足之处，还恳请老师指正。
附录：
附Matlab程序如下：
模型1程序：
建立M-文件
functionf=f（s）
f=（3*（s-4）/14-3.2）/（s^2+（3*（s-4）/14-3.2）^2）-（3*（s-4）/14-0.2）/（s^2+（3*（s-4）/14-0.2）^2）
fzero（'f'，4）
fplot（'f'，[4，17]）
建立M-文件
functiony=y（x）
y=atan（（4.3-（（x-4）*3/14+1.1））./x）+atan（（（（x-4）*3/14+1.1）-1.3）./x）
functiony2=y2（x）
y2=atan（（4.3-（（x-4）*3/14+1.1））./x）
s=4:
1:
17；
y=y（s）;
y=y.*180/3.14
Columns1through7
35.815631.022726.987823.699621.029618.846417.0420
Columns8through14
15.533214.257213.166612.225211.405410.685810.0496
y1=y1（s）
y1=y1.*180/3.14
Columns1through7
38.679430.858924.805020.077716.331313.313110.8424
Columns8through14
8.78987.06145.58874.32043.21772.25091.3967
建立M-文件
functiony3=y3（x）
y3=atan（（12-（（x-4.5）*0.3214+1.1））./x）+atan（（（（x-4.5）*0.3214+1.1）-3.2）./x）
y3=y3（s）
y3=
Columns1through7
0.70940.76510.78490.78140.76360.73750.7069
Columns8through14
0.67440.64160.60950.57880.54980.52250.4970
模型2程序
升级会员 