版高中物理必修2《优化设计》第五章曲线运动第5节.docx

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版高中物理必修2《优化设计》第五章曲线运动第5节

第5节向心加速度

学习目标核心提炼

1.理解匀速圆周运动中的速度变化量

和向心加速度的概念。

1

个概念——向心加速度

2.知道向心加速度和线速度、角速度

v

2

4π

2

n＝

2

n＝

的关系式。

4

个表达式——a

r

an＝ω

r

T

r

a

2

an＝ωv

3.能够运用向心加速度公式求解有关

问题。

一、匀速圆周运动中加速度的方向

阅读教材第20页的内容，知道向心加速度的概念，知道向心加速度方向的变化

特点。

1.任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心。

这个加速度叫做向心加速度。

2.由于匀速圆周运动中向心加速度的方向时刻发生变化，所以匀速圆周运动既不

是匀速运动，也不是匀加速运动，而是变加速运动。

思维拓展

如图1所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，小球系在细线的另一端在水平面内做

匀速圆周运动，请思考：

图1

（1）图甲中地球受什么力的作用？

这个力沿什么方向？

加速度方向呢？

地球的运

动状态发生变化吗？

向心加速度的作用是什么？

（2）图乙中的小球受几个力的作用？

合力沿什么方向？

加速度方向呢？

小球的运

动状态变化吗？

向心加速度的作用是什么？

答案

（1）地球受太阳的引力作用。

这个力由地球指向太阳，加速度沿半径指向圆心，地球的运动状态发生了变化，向心加速度的作用是改变其运动方向。

（2）小球受重力、支持力和绳子的拉力三个力作用。

合力和产生的加速度沿半径

指向圆心，小球的运动状态发生了变化，向心加速度的作用是改变其运动方向。

二、向心加速度的大小

阅读教材第21页的内容，了解向心加速度与线速度、角速度及半径的几个关系

表达式。

向心加速度公式

2

v2

（1）基本公式an＝r＝ωr。

4π2

（2）拓展公式an＝T2r＝ωv。

（3）向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。

思维拓展

nv2

n

2

（1）有人说：

根据a＝r可知，向心加速度与半径成反比，根据

a＝ωr可知，向

心加速度与半径成正比，这是矛盾的。

你认为呢？

（2）试分析做变速圆周运动的物体，其加速度的方向是否指向圆心。

答案

（1）不矛盾。

说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下；说向

心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾。

（2）做变速圆周运动的物体，加速度的方向并不指向圆心。

预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中

问题1

问题2

问题3

向心加速度的理解

[要点归纳]

1.物理意义：

描述线速度改变的快慢，只表示速度方向变化的快慢，不表示速度

大小变化的快慢。

2.方向：

不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动是一种变加速曲线运动。

3.无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心。

[精典示例]

[例1]（多选）关于向心加速度，以下说法正确的是（）

A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直

B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

解析向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，所以

向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，选项A、B正确；

物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，选项D

正确；物体做变速圆周运动时，物体的向心加速度与切向加速度的合加速度的方

向不指向圆心，选项C错误。

答案ABD

[针对训练1]下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是（）

A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢

B.向心加速度表示角速度变化的快慢

C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢

D.匀速圆周运动的向心加速度不变

解析匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A项错

误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B项错误；匀速圆周运动中速度的

变化只表现为速度方向的变化，加速度作为反映速度变化快慢的物理量，向心加

速度只描述速度方向变化的快慢，所以C项正确；向心加速度的方向是时刻变

化的，所以D项错误。

答案C

向心加速度公式的理解和应用

[要点归纳]

1.向心加速度表达式an＝

v2

2

r

，an＝ωr

2.由于v

＝ωr，所以向心加速度也可以是

n＝ωv。

a

2π

2

π

2

2

3.由于ω＝T＝2πf，所以向心加速度也可以是

4

an＝T2r＝4π

fr。

[精典示例]

[例2]（多选）一个小球以大小为a＝4m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径r

＝1m，则下列说法正确的是（）

A.小球运动的角速度为2rad/s

B.小球做圆周运动的周期为πs

ππ

C.小球在t＝4s内通过的位移大小为20m

D.小球在πs内通过的路程为零

解析

由a＝ω2

得角速度ω＝

a＝

，

对；周期

＝

2π

B

对；

＝π，

r

r

2rad/s

A

T

s

ω

π

1

小球在t＝4

s内通过4圆周，位移大小为

2r

＝

2m，C错；小球在πs内通过

的路程为一个圆周的长度

2πr＝2πm，D错。

答案

AB

向心加速度公式的应用技巧

（1）先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。

（2）在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加

速度与半径成正比。

v22

（3）向心加速度公式an＝r和an＝ωr不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆

周运动。

[针对训练2]（2017·徐州高一检测）如图2所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω旋

转，A、B为球体上两点。

下列说法中正确的是（）

图2

A.A、B两点具有相同的角速度

B.A、B两点具有相同的线速度

C.A、B两点具有相同的向心加速度

D.A、B两点的向心加速度方向都指向球心

解析A、B都随球体一起绕轴O1O2旋转，转一周所用时间相等，故角速度相等，

有ωA＝ωB＝ω，A正确；A做圆周运动的轨道平面与轴垂直，交点为圆心，设球

半径为R，故A的轨道半径rA＝Rsin60°，B的轨道半径rB＝Rsin30°，所以两者

3

1

的线速度vA＝rAω＝

2Rω，vB＝rBω＝2Rω，显然，vA＞vB，B错误；两者的向

2

3

2

2

1

2

心加速度aA＝rAω＝

2

Rω

，aB＝rBω＝

Rω，显然，两者的向心加速度也不相

2

等，C错误；又两者的向心加速度指向各自的圆心，并不指向球心，所以

D错

误。

答案A

1.（对向心加速度的理解）下列关于向心加速度的说法正确的是（）

A.向心加速度越大，物体速率变化越快

B.向心加速度越大，物体转动得越快

C.向心加速度方向始终与速度方向垂直

D.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的

答案C

2.（对向心加速度公式的理解）（多选）一小球被细绳拴着在水平面内做半径为R的

匀速圆周运动，向心加速度为an，那么（）

an

A.小球运动的角速度ω＝

R

B.小球在时间t内通过的路程s＝tanR

C.小球做匀速圆周运动的周期

T＝

R

a

n

D.小球在时间t内可能发生的最大位移为2R

解析由an＝ω2，可得ω＝

an，

正确；由

2

可得

＝

n，所以

时

A

a

n＝v

v

t

R

R

R

aR

4π2

R，

间内通过的路程s＝vt＝tanR，B正确；由an＝Rω2＝

T

2R，可知T＝2π

an

故C错误；位移用由初位置指向末位置的有向线段来描述，对于做圆周运动的

小球而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为2R，D正确。

答案ABD

3.（向心加速度公式的应用）（2017·广州高一检测）（多选）如图3所示的皮带传动装

置，主动轮的半径与从动轮的半径之比R1∶R2＝2∶1，A、B分别是两轮边缘上

的点，假定皮带不打滑，则下列说法正确的是（）

图3

A.A、B两点的线速度之比为vA∶vB＝1∶2

B.A、B两点的线速度之比为vA∶vB＝1∶1

C.A、B两点的加速度之比为

A∶aB＝1∶2

a

D.A、B两点的加速度之比为

A∶aB＝2∶1

a

2

v

解析皮带不打滑，两轮边缘线速度的大小相等，

A错误，B正确；由a＝r

知

两轮上A、B点的向心加速度跟两轮的半径成反比，故

C正确，D错误。

答案BC

4.（向心加速度公式的应用）如图4所示，定滑轮的半径r＝2cm。

绕在滑轮上的细

线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2m/s2向下做匀加

速运动。

在重物由静止下落1m的瞬间，滑轮边缘上P点向心加速度多大？

图4

解析由v2＝2ah得重物下落1m的速度

v＝2×2×1m/s＝2m/s，

P点线速度vP＝v＝2m/s，

v2

由a＝r得

v

2

22

2

2

a＝r

＝

0.02

m/s＝200m/s

。

答案

200m/s2

基础过关

1.关于向心加速度，下列说法正确的是（）

A.向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量

B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

C.向心加速度的大小恒定，方向时刻改变

D.向心加速度是平均加速度，大小可用

a＝v－v0来计算

t

解析向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，它是描述线速度

方向变化快慢的物理量，选项A错误，B正确；只有匀速圆周运动的向心加速

度大小才恒定，选项C错误；公式a＝

v－v0

t

适用于平均加速度的计算，向心加

速度是瞬时加速度，D错误。

答案B

2.关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是（）

A.线速度大，加速度一定大

B.角速度大，加速度一定大

C.周期大，加速度一定大

D.加速度大，速度一定变化快

2

2

4πr

解析

由an＝v＝ω2

＝

r

一定时，n与线速度

v

的平方成正比，

2可知，当

r

r

T

a

与角速度ω的平方成正比，与周期

T的平方成反比，A、B、C错误；加速度是

描述速度变化快慢的物理量，加速度越大，速度变化越快，

D正确。

答案

D

3.（多选）（2017·石家庄高一检测）“摩天转轮”可以在竖直平面内转动，其直径达

98m。

游人乘坐时，转轮始终不停地做匀速转动，每转动一圈用时25min，则

（）

A.每时每刻，每个人受到的合力都不等于零

B.每个乘客都在做加速度为零的匀速运动

C.乘客在乘坐过程中，向心加速度并不是零，只是很微小

D.乘客在乘坐过程中的速度始终不变

解析“摩天转轮”匀速转动，其上的人随之做匀速圆周运动，而匀速圆周运动

属于变速运动，必定有加速度（向心加速度），根据牛顿第二定律，人所受合力一

定不为零；同时，人在竖直平面内做匀速圆周运动，向心加速度的方向随时改变，

2

2

98

2

4π

4π

2×

2

42

但大小一定，an＝ωr＝T2r＝

（25×60）

2

m/s

＝8.6×10－m/s；另外，乘

客随转轮做匀速圆周运动，其速度的大小不发生变化，但速度的方向时刻变化。

所以选项A、C正确。

答案AC

4.自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分（如图1），行驶时

（）

图1A.大齿轮边缘点比小齿轮边缘点的线速度大

B.后轮边缘点比小齿轮边缘点的角速度大

C.大齿轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比

D.后轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比

答案C

5.（多选）如图2所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三

点，则下列说法正确的是（）

图2

A.向心加速度的大小aP＝aQ＝aR

B.任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向相同

C.线速度vP＞vQ＞vR

D.任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同

解析R、Q、P三点的轨道圆心都在轴AB上，且它们的轨道平面互相平行，因

此三点的角速度相同，由于向心加速度方向也相同且指向轴

n

2

AB，由a

＝rω可

知：

aP＞aQ＞aR，又由v＝ωr可知vP＞vQ＞vR，选项A错误，B、C正确；三点

的线速度方向都沿轨迹的切线方向，故它们的线速度方向相同，选项D错误。

答案BC

6.一轿车以30m/s的速率沿半径为60m的圆形跑道行驶，当轿车从A运动到B

时，轿车与圆心的连线转过的角度为90°，求：

（1）轿车的周期多大？

（2）此过程中轿车通过的路程是多少？

（3）轿车运动过程中的向心加速度是多大？

2πr

解析

（1）由v＝T得轿车的周期

2πr2π×60

T＝v＝30s＝4πs

（2）轿车通过的路程即轿车通过的弧长，轿车与圆心的连线转过的角度为90°，即

1

经过的时间t＝4T＝πs

所以s＝vt＝30×πm＝30πm

（3）向心加速度

v

2

302

2

2

a＝r

＝

60

m/s＝15m/s

答案

（1）4πs

（2）30πm（3）15m/s2

能力提升

多选

图

3为P、Q

两物体做匀速圆周运动的向心加速度

n的大小随半径r变

7.（）

a

化的图象，其中P为双曲线的一个分支，由图可知（

）

图3

A.P物体运动的线速度大小不变

B.P物体运动的角速度不变

C.Q物体运动的角速度不变

D.Q物体运动的线速度大小不变

v2

解析由an＝r知，做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时，向心加速度与半

径成反比，故A正确，B错误；由an＝ω2r知，角速度不变时，向心加速度与半

径成正比，故C正确，D错误。

答案AC

8.（2017·南宁高一检测）如图4所示，半径为R的圆环竖直放置，一轻弹簧一端固

2

定在环的最高点A，一端系一带有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为3R。

将小球

从静止释放，释放时弹簧恰无形变，小球运动到环的最低点时速率为v，这时小

球的向心加速度大小为（）

图4

v2

v2

A.R

B.2R

3v2

3v2

C.2R

D.4R

解析小球沿圆环运动，其运动轨迹就是圆环所在的圆，轨迹的圆心就是圆环的

圆心，运动轨迹的半径就是圆环的半径，小球运动到环的最低点时，其向心加速

v2

度的大小为R，加速度方向竖直向上。

选项A正确。

答案A

9.（2017

·大理高一检测

）如图5

所示的皮带传动装置中，

1为轮子A和B的共同

O

转轴，O2为轮子C的转轴，A、B、C分别是三个轮子边缘上的点，且半径

RA＝

RC＝2RB，则A、B、C三点向心加速度之比aA∶aB∶aC等于（）

图5

A.4∶2∶1B.2∶1∶4

C.2∶2∶1D.2∶1∶1

2

解析由于皮带不打滑，vB＝vC，a＝v，故aB＝RC＝2；由于右边两轮共轴转动，

raCRB1

aARAω22

ωA＝ωB，故aB＝RBω2＝1。

所以aA∶aB∶aC＝4∶2∶1，A正确。

答案A

10.（2017

·黄石高一检测

）如图6

所示，

A

、

B

为咬合传动的两齿轮，

A＝2RB，则

R

A、B两轮边缘上两点的关系正确的是（

）

图6

A.角速度之比为2∶1

B.向心加速度之比为1∶2

C.周期之比为1∶2

D.转速之比为2∶1

解析两轮边缘线速度相同，RA＝2RB，

v

1

由ω＝R知，ωA＝2ωB，ωA∶ωB＝1∶2。

选项A错误；

由a＝

v2

1

R

知，a∝，故aA∶aB＝1∶2。

选项B正确；

R

2πR

由T＝v知，TA∶TB＝2∶1，转速之比为1∶2。

故选项C、D错误。

答案B

11.如图7甲所示，某汽车以恒定的速率驶入一个狭长的90°圆弧形水平弯道，

弯道两端连接的都是直道。

有人在车内测量汽车的向心加速度随时间的变化关系

如图7乙所示。

求：

图7

（1）汽车转弯所用的时间；

（2）汽车行驶的速率。

解析

（1）由题图乙可得汽车转弯所用的时间为t＝10s。

（2）汽车在转弯过程中做圆周运动的周期T＝4t＝40s，

2

4π

由an＝T2r，可得r＝63.7m，

2

v

由an＝r，解得v＝10m/s。

答案

（1）10s

（2）10m/s

12.如图8所示，压路机大轮半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度为0.12m/s2，那么

图8

（1）小轮边缘上B点的向心加速度为多大？

R

（2）大轮上距轴心的距离为3的C点的向心加速度为多大？

解析

（1）压路机匀速行驶时，vB＝vA

2

vaBrA

由a＝r得，aA＝rB＝2

得aB＝2aA＝0.24m/s2

2

（2）由ωA＝ωC和a＝ωr，

得aC＝

rC＝

1

A

r

A

3

a

1

2

得aC＝3aA＝0.04m/s

答案

（1）0.24m/s2

（2）0.04m/s2