七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题.docx

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七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题

七下平行线，平面直角坐标系压轴题

二．解答题（共27小题）

14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．

（1）如图1，试说明：

∠HMF=

（∠BHP+∠DFP）；

请在下列解答中，填写相应的理由：

解：

过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．

∵AB∥CD（已知），

∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∴∠1=∠3，∠2=∠4（　　）

∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）

即∠HMF=∠1+∠2．

∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）

∵∠1=

∠BHP，∠2=

∠DFP（　　）

∴∠HMF=

∠BHP+

∠DFP=

（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．

（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；

（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．

（1）如图1，试说明：

∠HMF=

（∠BHP+∠DFP）；

请在下列解答中，填写相应的理由：

解：

过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．

∵AB∥CD（已知），

∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∴∠1=∠3，∠2=∠4（　两直线平行，内错角相等　）

∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）

即∠HMF=∠1+∠2．

∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）

∵∠1=

∠BHP，∠2=

∠DFP（　角平分线定义　）

∴∠HMF=

∠BHP+

∠DFP=

（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．

（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；

（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

【分析】

（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；

（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据

（1）中结论即可得到∠HMF的度数；

（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．

【解答】解：

（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：

两直线平行，内错角相等；

由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=

∠BHP，∠2=

∠DFP，其依据为：

角平分线定义．

故答案为：

两直线平行，内错角相等；角平分线定义．

（2）如图2，∵HP⊥EF，

∴∠HPE=90°，

∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）

又∵AB∥CD，

∴∠HEP=∠DFP．

∴∠EHP+∠DFP=90°．

由

（1）得：

∠HMF=

（∠EHP+∠DFP）=

×90°=45°．

（3）如图3，∵NQ⊥FM，

∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）．

∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．

∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，

又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=

（∠HFE+∠EFD）=

∠HFD，

∴∠HFD=2∠NFQ．

又∵AB∥CD，

∴∠EHF+∠HFD=180°，

∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2（90°﹣∠FNQ）=2∠FNQ，

即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的关键是掌握：

两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．

（1）求证：

∠BFA+∠BAC=180°；

（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；

（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）

【分析】

（1）根据平行线的性质即可得到∠AEC=∠AFM，再根据∠AEC=∠BAC，可得∠AFM=∠BAC，根据∠BFA+∠AFM=180°，可得结论；

（2）根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到与∠CAF相等的角；

（3）过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，根据平行线的性质，即可得到∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，再根据∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，可得∠CEM+∠FBM=

（∠CED+∠FBD），进而得到∠M的度数．

【解答】解：

（1）如图1，∵直线m∥n，

∴∠AEC=∠AFM，

∵∠AEC=∠BAC，

∴∠AFM=∠BAC，

又∵∠BFA+∠AFM=180°，

∴∠BFA+∠BAC=180°；

（2）与∠CAF相等的角有：

∠ANC，∠ABF，∠BNG．

证明：

∵∠AEC=∠BAC，∠ACE=∠NCA，

∴∠CAE=∠ANC=∠BNG，

∵m∥n，

∴∠ABF=∠ANC，

∴与∠CAF相等的角有：

∠ANC，∠ABF，∠BNG；

（3）如图2，过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，

∵BF∥CE，

∴DH∥BF∥CE，MG∥BF∥CE，

∴∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，

∴∠CED+∠FBD=∠EDB=180°﹣∠ADC=180°﹣α，

∵∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，

∴∠CEM+∠FBM=

（∠CED+∠FBD）=

（180°﹣α）=90°﹣

α，

∵MG∥BF∥CE，

∴∠CEM=∠GME，∠FBM=∠GMB，

∴∠BME=∠GME+∠GMB=∠CEM+∠FBM=90°﹣

α．

【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，解题时注意：

两直线平行，内错角相等．

16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．

（1）若E是AB，CD内一点．

①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．

②如图乙所示，若∠1=

∠BME，∠2=

∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．

（2）若E是AB，CD外一点．

①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．

②如图丁所示，已知∠BMP=

∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=

∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：

∠GND的值．

【分析】

（1）①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，同旁内角互补进行推导，即可得到∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②过F作FG∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠MFN=∠1+∠2，再结合①的结论，即可得出3∠MFN+∠MEN=360°；

（2）①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行推导计算，即可得到∠DNE﹣∠BME=∠MEN；②设∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=

∠EMB，∠G=

∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，根据8字形结构得到∠GNQ=3α+3β，根据三角形外角性质以及平行线的性质，得到∠GND=∠1=α+β，据此可得∠ENG：

∠GND的值．

【解答】解：

（1）①∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．

证明：

如图甲，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠BME+∠FEM=180°，∠DNE+∠FEN=180°，

∴∠BME+∠FEM+∠DNE+∠FEN=180°+180°=360°，

即∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．

②如图乙，过F作FG∥AB，

∵AB∥CD，

∴FG∥CD，

∴∠1=∠MFG，∠2=∠NFG，

∴∠MFN=∠1+∠2，

又∵∠1=

∠BME，∠2=

∠DNE，

∴∠BME=3∠1，∠DNE=3∠2，

又∵∠BME+∠DNE+∠MEN=360°，

∴3∠1+3∠2+∠MEN=360°，

即3∠MFN+∠MEN=360°；

（2）①∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系为：

∠DNE﹣∠BME=∠MEN．

理由如下：

如图丙，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠DNE=∠FEN，∠BME=∠FEM，

又∵∠FEN﹣∠FEM=∠MEN，

∴∠DNE﹣∠BME=∠MEN；

②点G的大致位置如图丁所示：

设MG与NE交于点Q，NG与AB交于点F，设∠GMB=α，∠G=β，

由∠BMP=

∠EMB，∠G=

∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，

∵∠EQM=∠GQN，

∴∠E+∠EMQ=∠G+∠GNQ，

即∠GNQ=∠E+∠EMQ﹣∠G=4β+3α﹣β=3α+3β，

∵∠1是△GFM的外角，

∴∠1=∠G+∠GMF=β+α，

又∵AB∥CD，

∴∠GND=∠1=α+β，

∴∠ENG：

∠GND=（3α+3β）：

（α+β）=3．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质的运用，过拐点作平行线，准确识图，理清图中各角度之间的关系是解决问题的关键．

17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．

（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED=　70　°；

（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；

（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：

∠BAI=1：

2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．

【分析】

（1）延长DE交AB于H，依据平行线的性质，可得∠D=∠AHE=40°，再根据∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°；

（2）依据AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角，即可得到∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG；

（3）设∠EAI=α，则∠BAE=3α，进而得出∠EDK=α﹣2°，依据∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，可得3α=22°+2α﹣4°，求得∠EDK=16°，即可得出∠EKD的度数．

【解答】解：

（1）如图，延长DE交AB于H，

∵AB∥CD，

∴∠D=∠AHE=40°，

∵∠AED是△AEH的外角，

∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°，

故答案为：

70；

（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．

理由：

∵AB∥CD，

∴∠EAF=∠EHC，

∵∠EHC是△DEH的外角，

∴∠EHG=∠AED+∠EDG，

∴∠EAF=∠AED+∠EDG；

（3）∵∠EAI：

∠BAI=1：

2，

∴设∠EAI=α，则∠BAE=3α，

∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI，

又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，

∴∠EDK=α﹣2°，

∵DI平分∠EDC，

∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4°，

∵AB∥CD，

∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，

即3α=22°+2α﹣4°，

解得α=18°，

∴∠EDK=16°，

∴在△DKE中，∠EKD=180°﹣16°﹣22°=142°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．

（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；

（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；

（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．

【分析】

（1）依据AC平分∠DAB，∠1=∠2，即可得到∠2=∠BAC，进而判定CD∥AB．

（2）当∠ADC=120°时，∠1=∠2=30°，依据∠2是△CEF的外角，可得∠E+∠F=∠2=30°．

（3）依据DH∥BC，AC⊥BC，可得DH⊥AC，进而得到∠ADH=∠CDH，据此可得当∠GDC=∠ADH时，∠CDG=∠CDH=∠ADH，即可得到∠CDH=

×180°=60°．

【解答】解：

（1）如图，∵AC平分∠DAB，

∴∠1=∠BAC，

又∵∠1=∠2，

∴∠2=∠BAC，

∴CD∥AB．

（2）当∠ADC=120°时，∠1=∠2=30°，

∵点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，

∴∠2是△CEF的外角，

∴∠E+∠F=∠2=30°．

（3）∵DH∥BC，AC⊥BC，

∴DH⊥AC，

又∵∠1=∠2，

∴∠ADH=∠CDH，

∴当∠GDC=∠ADH时，∠CDG=∠CDH=∠ADH，

∴∠CDH=

×180°=60°．

故当∠CDH为60度时，∠GDC=∠ADH．

【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角性质的运用，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．即内错角相等，两直线平行．

22．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：

第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，

第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，

第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．

（1）如图①，求证：

∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如图②，求证：

∠BE2C=

∠BEC；

（3）猜想：

若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？

（直接写出结论）．

【分析】

（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用

（1）中的结论，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=

∠ABE+

∠DCE=

∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=

∠ABE1+

∠DCE1=

∠CE1B=

∠BEC；

（3）根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=

∠BEC；…据此得到规律∠En=

∠BEC，最后求得∠BEC的度数．

【解答】解：

（1）如图①，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠B=∠1，∠C=∠2，

∵∠BEC=∠1+∠2，

∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，

∴由

（1）可得，

∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=

∠ABE+

∠DCE=

∠BEC；

∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，

∴由

（1）可得，

∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=

∠ABE1+

∠DCE1=

∠CE1B=

∠BEC；

（3）如图2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，

∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=

∠ABE2+

∠DCE2=

∠CE2B=

∠BEC；

…

以此类推，∠En=

∠BEC，

∴当∠En=α度时，∠BEC等于2nα度．

【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：

两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．