大半径小圆弧测量方法及误差分析精.docx

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大半径小圆弧测量方法及误差分析精

２００８２２大半径小圆弧测量方法及误差分析

杜存飞王康为

（河南神火集团刘河煤矿河南永城

４７６６００）

摘要】大半径小圆弧因可测量的圆弧段太小而影响测量结果，引起较大的测量误差。

通过数学分析找到了大半径小圆弧测量的误差来【

源，证明了直接测量的局限性。

探讨了以三坐标测量机测量小圆弧的方法，最后在此基础上提出并验证了一种新的测量方法。

关键词】大半径小圆弧；测量；误差分析【

ＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｏｆＬａｒｇｅＲａｄｉｕｓＳｍａｌｌＡｒｃａｎｄＥｒｒｏｒＡｎａｌｙｓｉｓ

ＤｕＣｕｎｆｅｉ，ＷａｎｇＫａｎｇｗｅｉ

（ＨｅｎａｎＳｈｅｎｈｕｏＧｒｏｕｐ，Ｙｏｎｇｃｈｅｎｇ４７６６００，Ｃｈｉｎａ）

【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｂｅｃａｕｓｅｔｈｅｓｅｃｔｉｏｎｏｆｌａｒｇｅｒａｄｉｕｓｓｍａｌｌａｒｃｃａｎｂｅｍｅａｓｕｒｅｄｉｓｔｏｏｓｍａｌｌ，ｉｔｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔａｎｄｃａｕｓｅｓｇｒｅａｔｅｒ

ｓｅｒｒｏｒｓｏｕｒｃｅａｎｄｐｒｏｖｅｔｈｅｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｏｆｄｉｒｅｃｔｌｙｍｅａｓｕｒｅｄ．Ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄｏｎｓｍａｌｌａｒｃｅｒｒｏｒ．Ｔｈｅｐａｐｅｒｔｈｒｏｕｇｈｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎａｌｙｚｅｆｉｎｄｉｔ’

ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈｔｈｅＣｏｏｒｄｉｎａｔｅＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔＭａｃｈｉｎｅｓ，ｆｉｎａｌｌｙ，ｂａｓｅｄｏｎｔｈｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｄｃｅｒｔｉｆｉｅｄａｎｅｗｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ．

【Ｋｅｙｗｏｒｄｓ】Ｌａｒｇｅｒａｄｉｕｓｓｍａｌｌａｒｃ；Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ；Ｅｒｒｏｒ

ａｎａｌｙｓｉｓ

一、引言

所谓大半径小圆弧，是指３０°以下圆心角所对的圆弧，在三坐标测

究其原因，在于被测量机上测量其圆弧半径时，不易测准，误差很大［１］。

圆弧只是整圆的一部分，圆弧越短，则被丢弃的信息越多，从而引起较大的测量误差。

圆弧测量的主要参数有圆心坐标、半径和圆度等。

显为ｅ２，通常情况下，ｅ１＞＞ｅ２，取ｅ＝ｅ１＋ｅ２，ｅ为圆弧符合条件时形状误差然，圆心坐标的测量是最关键的，有了准确的圆心位置，其他参数就迎测量最大值。

那么，刃而解了。

在实际测量中，圆心坐标的测量准确度较难保证，用圆弧所如图３Ａ→Ａ１Ｂ→Ｂ１Ｃ→Ｃ１圆心Ｏ→Ｍ１造成半径实测值Ｒ１偏大，对的圆心角的大小，可作为衡量的指标，但当这个圆心角不断缩小时，当ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｅ时，Ｒ１为最大。

这个附加误差将会迅速增大，直至达到测量机误差的几十倍、几百倍。

如图４Ａ→Ａ２Ｂ→Ｂ２Ｃ→Ｃ２，圆心Ｏ→Ｍ２造成半径实测值Ｒ２偏小，

从而造成测量结果很不准确，重复性很差［２］。

当ＡＡ２＝ＢＢ２＝ＣＣ２＝ｅ时，Ｒ２为最最小。

由于工件表面的形状误差与仪器的测量误差的必然存在，造成所测三点的必然偏离，总的来说，其最大偏离可以造成以下两个结果，如

图４所示。

图３、

假设圆弧的形状公差（圆度或轮廓度）为ｅ１，仪器测量的不确定度

二、数学模型

圆弧测量在实践中有多种多样的方法，但归根到底它们的数学模型都是建立在直角坐标法和极坐标法基础上的。

１．直角坐标法

见图１，直角坐标法多见于三坐标测量机中，用于各种零件的测量。

直角坐标系下圆的一般方程为：

（ｘ－ｘ０）＋（ｙ－ｙ０）＝Ｒ

２

２

２０

三、误差分析［４］

以图３为例，建立坐标系，可见圆的方程为：

ｘ＋（ｙ－ｂ１）＝Ｒ１

其圆心坐标为Ｍ１（０，ｂ１）即ｘ＋ｙ－２ｂ１ｙ＝Ｒ１－ｂ１

其中三点Ａ１、Ｂ１、Ｃ１点的坐标分别为

２

２

２

２

２

２

２

（３）（４）

（１）

图１直角坐标法图２极坐标法

ｘ＝－（Ｒ－ｅ）ｓｉｎ（ａ／２）%&ｙ＝（Ｒ－ｅ）ｃｏｓ（ａ／２）ｘ＝－（Ｒ－ｅ）ｓｉｎ（ａ／２）Ｂ%&ｙ＝（Ｒ－ｅ）ｃｏｓ（ａ／２）

ｘ＝０Ｃ%&ｙ＝Ｒ＋ｅＡ１

１１

将三点坐标代入式（４）得到

按照这个方程，平面上不重合的三点可确定一个唯一的圆；也就是

说，圆周上测量不重合的三个坐标点，就可以确定圆的参数，如圆心坐

半径Ｒ等。

标（ｘ０，ｙ０）、

２．极坐标法

见图２，极坐标法就是广泛使用的回转测量法，常用于整圆的回转测量。

圆的极坐标方程如式（２）所示：

"－θｅｓｉｎ（θ）＝#Ｒ－!

ｒ（θ＋ｅｃｏｓ（θ－θ０）０）

（Ｒ＋ｅ）－２ｂ１（Ｒ＋ｅ）＝（Ｒ－ｅ）－２ｂ１（Ｒ－ｅ）ｃｏｓ（ａ／２）ｂ１＝

２Ｒｅ

２ｅ＝

１－ｃｏｓ（ａ／２）＋（１＋ｃｏｓ（ａ／２））

２ｅｅ当Ｒ＞＞ｅ，则ｅ→０则ｂ＝＝

ｓｉｎ（ａ／４）

２２

（５）（６）

（２）

回转法找出ｒ与θ的对应关系，同直角坐标系一样，由实测不重合

通过适当的数据处理可得到圆心ｒ０（θ等参数。

在实际的三点ｒｉ（θｉ），０）测量中，为简化计算量我们常把Ｏ＇点和Ｏ点重合在一起［３］。

１－１）ｅ（７）

ｓｉｎ（ａ／４）１差放大倍数Ｎｂ＝ｂ＝（８）

ｓｉｎ（ａ／４）－１（９）ＮΔＲ＝ΔＲ／ｅ＝１

ｓｉｎ（ａ／４）

其中：

Ｎｂ为圆心坐标误差放大倍数：

ＮΔ为半径测量误差放大倍ＲΔＲ＝Ｒ－（Ｒ＋ｅ－ｂ１）＝ｂ１－ｅ＝（数。

分析图４情况发现，误差放大倍数公式相同，仅误差数据符号相反，下表列出了测量误差与圆心角的关系。

通过公式推导，可以发现：

⑴圆心坐标和半径误差仅与圆心角及形状误差值有关，而与半径大小无关。

⑵误差放大倍数与形状误差大

图３实测值Ｒ偏大图４实测值Ｒ偏小

１８

２００８２２小无关，仅与圆心角α有关；并随着α的缩小会急剧放大。

⑶有了放大

该函数关系表明，当圆心角较倍数公式，可以找到测量不准确的原因。

小，圆弧较短时，较小的形状误差被成倍放大，形成了很大的测量误差，可将原本符合形状公差及尺寸要求的圆弧，测量成为不合格产品。

如表１中所示，当ｅ＝５ｕｍ，圆心角小于６０°，半径测量误差可以达到

时，测量误差，则为０．１２６ｍｍ；圆心角小于１５°０．０７ｍｍ；圆心角小于４５°

将超过１ｍｍ。

表１

输入圆弧Ｒ理论值及其形状公差来判断是否合格。

用同样的方法在短圆弧的起点、终点和中间点，分别测出其半径值都在形状公差范围内为合格，只要有超差，就判不合格，再重新测量直至其半径值在形状公差范围内。

在实际工作中，曾多次运用该测量新方法测量小圆弧，结果令人满意。

当然，如此测量的前提是，必须有该圆弧形状公差要求［５］。

四、结论

通过上面圆弧测量的误差分析，对于一小段圆弧当圆心角较小，圆弧较短时，较小的形状误差被成倍放大，形成了很大的测量误差。

传统的均匀采样并采用最小二乘法数据处理方法，对小圆弧测量是有局限性的。

笔者在此基础上提出了一种新的测量方法，并在实际工作中验证了该方法的优越性，从而提高对短圆弧的测量精度，在现阶段先进的“过程质量控制”中发挥重要作用［６］。

科

参考文献】【

［１］陈甚伟．三坐标测量短圆弧和短直线［Ｊ］．机械工人：

冷加工，２００２（６）：

５７－５８．［２］刘炳辉．短圆弧测量的误差估计［Ｊ］．计量技术，１９９８（１１）：

１１～１３．［３］袁道成，伏德贵．圆弧测量误差分析及其应用［Ｊ］．计量技术，１９９９（７）：

１５～１７．［４］蒲竞秋．短圆弧测试方法与误差分析［Ｊ］．机械，２００２（２９）：

３５～３６．［５］马斌臣．三坐标测量机技术论文集［Ｍ］．青岛．海克斯康测量技术有限公司．

●

以上分析可以证明，不能直接测量短圆弧的半径与圆心位置，但

是，并不能说明短圆弧是不能测量的，而其测量的关键，在于圆弧形状公差的设计以及形状误差的测量。

根据上述分析说明，由于放大系数的存在，使圆弧半径和圆心位置的测量数据不可信，那么，要避开放大系数的唯一办法，就是测量圆弧的形状误差．在实际生产中为完成短圆弧的精密测量，确定工件加工的符合性，我们假设该段圆弧的圆心位置与半径尺寸为理论值，然后按图纸建立被测工件的零件坐标系，根据图纸数据在零件坐标系中创建短圆弧的圆心点，然后用三坐标测头在短圆弧上采点，每采一点就计算出到圆心点到该点的二点距离，

２００４，１５２～１６１．

［６］张国雄．三坐标测量机［Ｍ］．天津：

天津大学出版社，１９９９．

作者简介：

杜存飞（１９７９—），男，河南永城人，河南神火集团刘河煤矿，车间主任，助理工程师，研究方向：

机电一体化。

王康为（１９７６—），男，河南神火集团助理工程师，研究方向：

机电一体化。

［责任编辑：

田瑞鑫］

（上接第７页）好的创新环境。

在此基础上，构建一个宽松的有利于师生发展成长的创新机制，这既可增强师生对学校的向心力和认同感，也能使师生认知自己具有关乎学校发展的重要责任，使个体意识融汇成群体意识，积极主动地参与到学校发展事业中来。

科

作者简介：

王健，黑龙江大学艺术学院，职务：

团委书记，研究方向：

思想政

治工作。

和谐校园视※基金项目：

本文为黑龙江大学管理科研规划项目《

野下的思想政治工作的机制研究》（编号：

ＧＫＧ０７１９）阶段性成果。

［责任编辑：

田瑞鑫］

为矩阵ＡＡ和ＡＡ的非（上接第３０页）其中，λｉ（ｉ＝０，１，…，ｒ－１）零本征值，ｕｉ和ｖｉ分别为ＡＡ和ＡＡ对应于λ的本征向量。

上述分解ｉ为Ａ的奇异值。

称为矩阵Ａ的奇异值分解（ＳＶＤ），#ｉ

推论［３５］，

Ｔ

Ｔ

Ｔ

Ｔ

系数是Ｋ－Ｌ变换的展开系数。

）ωｉ＝Ｕ（ｘｉ－μ

Ｔ

ｉ＝１，２…，Ｍ（２．１９）

系数向量ω即是参与训练的样本ｘｉ的特征向量。

ｉ

对于任意待识别样本ｆ，可以通过向本征向量组成的子空间Ｕ＝

%ｕ０，ｕ１，…ｕＭ－１&投影求出其系数向量，

Ｕ＝ＡＶＡ

由于∑可表示为

ＴＴ

）（ｘｉ－μ）＝１ＸＸ∑＝１$（ｘｉ－μ

ｉ＝０，ｘ１－μ，…ｘＭ－１－μ&ｘ０－μ其中，Ｘ＝%

Ｍ－１

－１

（２．１５）

）ｙ＝Ｕ（ｆ－μ其重建图像

Ｔ

（２．２０）（２．２１）

（２．１６）

5＝Ｕｙ＋μｆ

系数向量ｙ即是反映待识别样本ｆ特征的特征向量。

故构造矩阵，

３．小结

本文综述了主成分分析的基本原理和数学模型。

然后介绍了主成

分分析算法在图像识别方面的应用的基本原理。

随着独主成分分析的不断发展，逐渐出现了许多新的主成分分析算法，例如模块二维主成分分析算法等等。

这些新算法必将我们研究

科图像识别提供新的理论和新的方向。

Ｒ＝ＸＸ∈Ｒ

（２．１７）

容易求出其本征值λ及相应的正交归一本征向量ｖｉ（ｉ＝０，１，…ｉ

ｉ＝０，１，２…，Ｍ－１

（２．１８）

ＴＭ×Ｍ

Ｍ－１）。

由上述推论可知，∑的正交归一本征向量ｕｉ为

ｕｉ＝１Ｘｖｉ

ｉ#参考文献】【

［１］阮秋琦．数字图像处理学［Ｍ］．北京，电子工业版社，２００１，４１７－４１９．

［２］ＥｌｌａＢｉｎｇｈａｍ．ＡｄｖａｎｃｅｓｉｎＩｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔＣｏｍｐｏｎｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ

这就是总体散布矩阵∑的本征向量。

它是通过计算较低维矩阵Ｒ

的本征值与本征向量而间接求出的。

对每一幅参与训练的图像ｘｉ都可以投影到由ｕ０，ｕ１，…ｕＭ－１张成的子空间中，得到一组坐标系数ω这组坐标系数表明了该图像在子ｉ，空间中的位置，从而可以作为模式识别的依据。

即，任何一幅训练图像都可以表示为这组由总体散布矩阵∑的本征向量的线性组合，其加权

ｔｏＤａｔａＭｉｎｉｎｇ［Ｄ］．ＨｅｌｓｉｎｋｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｄｅｃｅｍｂｅｒ２００３．［３］容观澳．计算机图象处理［Ｍ］．北京，清华大学出版社，２０００，２６７－２６８．［４］边肇祺，张学工．模式识别［Ｍ］．北京，清华大学出版社．２０００．

［责任编辑：

田瑞鑫］

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