高中数学第一章统计21简单随机抽样教学案北师大版必修3.docx
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高中数学第一章统计21简单随机抽样教学案北师大版必修3
2019-2020年高中数学第一章统计2.1简单随机抽样教学案北师大版必修3
预习课本P8～11，思考并完成以下问题
（1）什么样的抽样是简单随机抽样？
（2）简单随机抽样有什么特点？
（3）简单随机抽样的常用方法有哪些？
（4）抽签法和随机数表法的概念是什么？
它们的实施步骤是什么？
各有什么优缺点？
1．简单随机抽样
（1）定义：
根据实际需要有时需从总体中随机地抽取一些对象，然后对抽取的对象进行调查．在抽取的过程中，要保证每个个体被抽到的概率相同．这样的抽样方法叫作简单随机抽样．
（2）特点：
①总体个数有限：
简单随机抽样要求被抽取样本的总体个数有限，这样便于通过样本对总体进行分析．
②逐个抽取：
简单随机抽样是从总体中逐个进行抽取，这样便于实际操作．
③无放回抽样：
简单随机抽样是一种无放回抽样，这样便于样本的获取和一些相关的计算．
④等可能抽样：
不仅每次从总体中抽取一个个体时各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程当中，各个个体被抽取的可能性相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
2．抽签法
（1）定义：
抽签法就是先把总体中的N个个体编号，并把编号写在形状、大小相同的签上，然后将这些号签放在同一个箱子里均匀搅拌．每次随机地从中抽取一个，然后将号签均匀搅拌，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本数．
（2）优缺点：
①优点：
简单易行，当总体个数不多时，号签搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽取，从而能保证样本的代表性．
②缺点：
当总体个数较多时，费时、费力，且号签很难被搅拌均匀，产生的样本代表性差，导致抽样的不公平．
3．随机数法
（1）定义：
把总体中的N个个体依次编上0,1，…，N－1的号码，然后利用工具（转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机）产生0,1，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选几号个体，直至抽到预先规定的样本数．
（2）优缺点：
优点：
简单易行，它很好地解决了抽签法中遇到的当总体个数较多时制签难、号签很难被搅拌均匀的问题．
缺点：
总体个数很多，需要的样本容量较大时，不太方便．
[点睛] 当随机地选定开始读取的数字之后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等．因为随机数表中每个位置上各个数字出现的概率是相等的，因此不论采用什么方式读数，我们都能保证各个个体被抽到的概率相同．
1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）从无数个个体中抽取20个个体作为样本，是简单随机抽样．（ ）
（2）从50台冰箱中一次性抽取5台冰箱进行质量检测，是简单随机抽样．（ ）
（3）某班有40名学生，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，是简单随机抽样．（ ）
（4）彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签，是简单随机抽样．（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）× （4）√
2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（ ）
A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些
D．每个个体被抽中的可能性无法确定
解析：
选B 在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．
3．下列抽样中，用抽签法方便的是（ ）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：
选B 根据抽签法的特点可知，B选项用抽签法比较方便．
4．在容量为100的总体中用随机数表法抽取5个样本，总体编号为00,01,02，…，99，给出下列几组号码：
①00,01,02,03,04；
②10,30,50,70,90；
③49,19,46,04,67；
④11,22,33,44,55
则可能成为所得样本编号的是________（将所有正确结论的序号全填上）．
解析：
随机数表法是一种简单随机抽样方法，因此每一个个体都有可能被抽到，且被抽到的可能性相同，因此所列几组都可能成为所得样本的编号．故填①②③④.
答案：
①②③④
简单随机抽样的概念
[典例] 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？
为什么？
（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
（2）仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作．
[解]
（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
（2）不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．
（3）不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点．
[活学活用]
下面的抽样方法是简单随机抽样吗？
为什么？
①某工厂的质检员从一袋30个螺母中一次性取出5个进行质量检测；
②某商品的市场调查员为了了解该商品在某日某超市的销售情况，在超市出口处随机向10个顾客询问是否购买了该商品；
③某班级有4个小组，每组共有12个同学．班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部；
④中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码．
解：
简单随机抽样要求：
被抽取的样本的总体个数确定且较少，抽取样本时要求逐个抽取，每个个体被抽取的可能性一样．所以①不是，因为是一次性抽取不是逐个抽取；②不是，被抽取的样本的总体个数不确定；③不是，班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样；④是，它属于简单随机抽样中的随机数法.
抽签法的应用
[典例] 某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请写出利用抽签法抽取该样本的过程．
[解] 利用抽签法步骤如下：
第一步：
将这50名学生编号，编号为01,02,03，…，50.
第二步：
将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签．
第三步：
将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．
第四步：
从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码．
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．
利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：
（1）编号时，如果已有编号（如学号、标号等）可不必重新编号．（例如该题中这50名同学，可以直接利用学号）
（2）号签要求大小、形状完全相同．
（3）号签要搅拌均匀．
（4）要逐一、不放回抽取．
[活学活用]
上海某中学从40名学生中选1名学生作为上海男篮拉拉队成员，采用下面两种方法选取．
方法一：
将40名学生按1～40进行编号，相应制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅拌均匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签号码一致的学生幸运入选；
方法二：
将39个白球与1个红球混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取1个球，摸到红球的学生成为拉拉队成员．
试问这两种方法是否都是抽签法？
为什么？
解：
抽签法抽样时给总体中的N个个体编号各不相同，由此可知方法一是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而方法二中39个白球无法相互区分，故方法二不是抽签法．
这两种方法的相同之处在于每名学生被选中的机会都相等.
随机数法
[典例] 设某校共有100名教师，为了支援西部教育事业，现要从中随机抽出12名教师组成暑期西部讲师团，请写出利用随机数法抽取该样本的步骤．
[解] 其步骤如下：
第一步，将100名教师进行编号：
00,01,02，…，99.
第二步，在随机数表（见教材第9页表1－2）中任取一数作为开始，如从第12行第9列开始，依次向右读取两位的数，可以得到31,70,05,00,25,93,45,53,78,14,28,89.
与这12个编号对应的教师组成样本．
随机数法解题策略
（1）选定初始数字读数方向，向左、向右、向上或向下都可以，方向不同可能导致不同结果，但这一点不影响样本的公平性．
（2）读数时，编号为两位，两位读取，编号为三位，则三位读取，如果出现重号，则跳过，接着读取．
（3）当题目所给的编号位数不一致时，不便于直接从随机数表中读取，这时需要对号码作适当的调整使新编号位数相同．
[活学活用]
假设我们要检验某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，需从800袋袋装牛奶中抽取50袋进行检验．利用随机数法抽取样本，写出抽样过程．
解：
第一步：
将800袋袋装牛奶编号为000,001，…，799；
第二步：
从随机数表（见教材第9页表1－2）中任意一个位置，如从第1行的第8列，第9列和第10列开始选数，向右读，抽得第1个样本号码208，依次得到样本号码：
026,314,070,243，…，其中超出000～799范围的数和前面已出现的数舍去，一直到选出50个样本号码为止；
第三步：
所选出的50个号码对应的50袋袋装牛奶即为所要抽取的样本.
简单随机抽样的灵活应用
[典例] 一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：
从15道物理题中随机抽3道；从20道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道．选用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号（物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47）．
[解] 法一：
抽签法
第一步，将试题的编号1～47分别写在一张纸条上，将纸条揉成团，制成号签，并将物理、化学、生物题的号签分别放在不透明的袋子中，搅匀．
第二步，从装有物理题的号签的袋子中逐个抽取3个号签，从装有化学题的号签的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物题的号签的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的编号，这便是这个学生所要回答的问题的序号．
法二：
随机数表法
第一步，将物理题的序号对应改成01,02，…，15，其余两科题的序号不变．
第二步，在随机数表（见教材第9页表1－2）中任取一个数作为开始，如从第10行第3列开始，依次向右读取两位的数，凡不在01～47中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，从01～15中选3个号码，从16～35中选3个号码，从36～47中选2个号码，依次可得到26,29,27,43,19,06,01,46,07.
第三步，对应以上号码找出所要回答的问题的序号．物理题的序号为：
1,6,7；化学题的序号为：
26,27,29；生物题的序号为：
43,46.
（1）若知样本由n类组成，需分别在n类样本中抽取，若每类总体和样本的个数都较少，所以采用抽签法或随机数法都可以完成．
（2）本题在用抽签法解答时，需将三类题的号签分开，分别抽取；用随机数法解答时，则可以将三类题的序号同时抽取，只要把握好每类的抽取个数即可．
[活学活用]
从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请选用合适的方法确定这5架钢琴．
解：
第一步，将20架钢琴编号，号码是0,1，…，19.
第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签．
第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．
第四步，从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的编号．
第五步，所得号码对应的5架钢琴就是要抽取的对象．
（温馨提示：
本题亦可采用随机数表法）
[层级一 学业水平达标]
1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．从100个零件中一次性抽取5个做质量检验
B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C．从实数集中逐个抽取10个做奇偶性分析
D．运动员从8个跑道中随机选取一个跑道
解析：
选D 选项A错在“一次性”抽取；选项B错在“有放回”抽取；选项C错在总体容量无限．
2．用随机数法进行抽样有以下几个步骤：
①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字．这些步骤的先后顺序应为（ ）
A．①②③ B．①③②
C．③②①D．③①②
答案：
B
3．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性和“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
解析：
选A 简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等，都为
.
4．已知容量为160的总体，若用随机数法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号正确的是（ ）
A．1,2，…，160B．0,1，…，159
C．00,01，…，159D．000,001，…，159
解析：
选D 用随机数法抽样时，要保证每个个体的编号的位数一致．
[层级二 应试能力达标]
1．对于简单随机抽样，下列说法中正确的是（ ）
①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；
②它是从总体中逐个进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
A．①②③ B．①②④
C．①③④D．①②③④
答案：
D
2．抽签法中确保样本代表性的关键是（ ）
A．抽签B．搅拌均匀
C．逐一抽取D．抽取不放回
解析：
选B 逐一抽取，抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保样本代表性的关键，一次抽取与有放回抽取（个体被重复取出可不算再放回）也不影响样本的代表性，抽签也一样．
3．下列抽取样本的方法属于简单随机抽样的是（ ）
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样时，从中任意拿出1个零件进行质量检测后，再把它放回盒子里；
③从8台电脑中，不放回地依次抽取2台进行质量检验（假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取）．
A．①B．②
C．③D．以上都不对
解析：
选C 由简单随机抽样的特点知，只有③正确．
4．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08B．07
C．02D．01
解析：
选D 从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左向右一次选取两个数字，开始向右读，依次是65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98，…，所以选出来的5个个体的编号是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.
5．高一
（1）班有60名学生，学号从01到60，数学老师在上统计课时，利用随机数法选5名学生提问，老师首先选定从随机数表的倒数第5行（下表为随机数表的最后5行）第6列的“1”开始，向右读依次选学号提问，则被提问的5个学生的学号为________．
8570 2150 8140 4355 5321 2548 0208 7543
9169 0408 4353 6122 8913 9930 4169 6032
2127 0162 6176 4969 8185 9312 8748 8575
8090 9872 1968 0263 0081 2662 6831 3106
2959 9011 1448 4346 7019 8148 1557 8400
解析：
依据选号规则，选取的5名学生的学号依次为：
15,08,14,04,35.
答案：
15,08,14,04,35
6．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N＝________.
解析：
由
×100%＝25%，得N＝120.
答案：
120
7．用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”，“第二次被抽到的概率”，“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是________．
解析：
从6个个体中抽1个个体，每个个体被抽到的概率均为
，与抽取的次数无关，第二次被抽到的概率仍为
.但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个样本，故个体a被抽到的概率为
.
答案：
，
，
8．下列抽取样本时运用了哪种抽样方法？
并说明原因．
设一个总体中的个体数N＝345，要抽取一个容量为n＝15的样本，现采用如下方法：
从随机数表中任意选取三列构成三位数字号码，从中依次取出不同的三位数字号码，当数在001～345之间时，该号码抽入样本；当数在401～745之间时，则该数减去400的号码抽入样本中，其余的000,346～400,746～999的号码都不要；当某号码已抽入样本中，而再次遇到该号码被抽入样本时，只算一次．
解：
运用了简单随机抽样中的随机数法．简单随机抽样的要求是给个体编号，逐个不放回抽取，操作的个体数量不宜太多，每个个体被抽取的机会均等，只有符合这些特点才是简单随机抽样．本题虽然取数时，设计了特别的规则，但是从随机数表中任意取数符合简单随机抽样的特点，所以本题运用了简单随机抽样法中的随机数法．
9．假设要从高三年级全体学生450人中随机抽出20人参加一项活动，请分别用抽签法和随机数法抽出人选，写出抽取过程．
解：
抽签法：
先把450名同学的学号写在相同小纸片上，揉成小球，放在一个不透明的袋子中，充分搅拌后，再从中逐个抽出20个小球，这样就抽出20人参加活动．
随机数法：
第一步，先将450人编号，可以编为000,001,002，…，449；
第二步，在随机数表中任取一个数，例如选出第6行的第8个数0；
第三步，从选定的数字开始向右读，每次读3个数字，组成一个三位数，把小于或等于449的三位数依次取出，直到取完20个号码，与这20个号码相应的学生去参加活动．
2019-2020年高中数学第一章统计2.2分层抽样与系统抽样教学案北师大版必修3
预习课本P12～15，思考并完成以下问题
（1）分层抽样的概念是什么？
（2）分层抽样的应用范围是什么？
其抽样步骤是什么？
（3）系统抽样的概念是什么？
（4）系统抽样的应用范围是什么？
其抽样步骤是什么？
1．分层抽样
（1）定义：
将总体按其属性特征分成若干类型（有时称作层），然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．
（2）适用范围：
当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样．
（3）抽样步骤：
①将总体按一定标准进行分层；
②计算各层的个体数与总体的个体数的比；
③按各层的个体数占总体的比例确定各层应抽取的样本容量；
④在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或下面讲的系统抽样）．
[点睛]
（1）在每层进行抽样时，大多数情况下是采用简单随机抽样，有时也会采用其他方法，这要根据问题的需要来决定．
（2）每个个体被抽到的可能性都是
，与层数无关．
2．系统抽样
（1）定义：
系统抽样是将总体的个体进行编号，等距分组，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔（称为抽样距）抽取其他样本．
系统抽样又叫等距抽样或机械抽样．
（2）适用范围：
适用于样本容量较大，且个体之间无明显差异的情况．
（3）抽样步骤：
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
第一步，编号：
先将总体的N个个体进行编号；
第二步，分段：
确定分段间隔k，对编号进行分段，当n能整除N时，k＝
；当n不能整除N时（设整除所得余数为r），先从总体中随机剔除（可采用简单随机抽样方法剔除）r个个体，此时k＝
；
第三步：
定起始编号：
在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；
第四步，抽取样本：
按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（k＋l），再加k得到第3个个体编号（2k＋l），依次进行下去，直到获取整个样本．
[点睛]
（1）分段间隔k不是自己随意指定的，而是根据总体容量和样本容量计算出来的．
（2）确定起始编号后，在此编号的基础上，加上分段间隔的整数倍即得抽样编号．
1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）从标有1～15号的15个球中，任选3个球作样本，按从小号到大号排列，随机选择起点i（1≤i≤5），然后选标号为i，i＋5，i＋10的球入样，是系统抽样．（ ）
（2）某工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验，是分层抽样．（ ）
（3）为调查某商场的顾客满意度，规定在商场出口随机抽一人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止，是分层抽样．（ ）
（4）在报告厅对与会听众进行调查，通知每排（每排人数相同）座位号为14的听众留下座谈，是分层抽样．（ ）
答案：
（1）√
（2）× （3）× （4）×
2．某商场想通过检验发票的2%来快速估计每月的销售总量，采取如下办法：
从第一本50张的发票存根中随机抽出1张，如第15张，将所有的发票存根叠放在一起，然后按顺序依次抽取第65张，第115张，第165张，…，发票上的销售额组成一个调查样本，这种抽样的方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样D．抽签法
解析：
选B 由题意知分段间隔k＝50，第一段的发票编号分别为1,2,3，…，50，抽取的号码是15，即l＝15，抽出的发票中任意相邻两张的间隔相同，故为系统抽样．
3．某集团有老年职工270人，中年职工540人，青年职工810人．为了更好地调查他们的健康情况，需从所有职工中抽取一个容量为36的样本，应采用的抽样方法是______________．
解析：
由于健康情况与年龄密切相关，不同年龄的人群其健康情况会有明显的差异，因此采用分层抽样的方法较合适．故填分层抽样．
答案：
分层抽样
分层抽样
[典例]
（1）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法D．分层抽样法
（2）某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？
写出抽取过程．
[解析]
（1）显然男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．
答案：
D
（2）解：
采用分层抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下：
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