应力诱导180度磁化反转的微磁学模拟研究.docx
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应力诱导180度磁化反转的微磁学模拟研究
应力诱导180度磁化反转的微磁学模拟研究
铁电调控铁磁薄膜材料是近年来兴起的多铁性物质研究热点。
作为磁记录介质，铁电调控铁磁薄膜具有写入速度快，非易失的特点。
本文选择Fe81Al19作为研究对象。
本篇论文研究目的是研究应力各向异性能如何诱导Fe81Al19磁性颗粒180度反转，以及外磁场对Fe81Al19磁性颗粒磁矩180度反转的影响。
经过研究发现二者对Fe81Al19磁性颗粒180度反转都有影响。
本篇论文通过建立应力作用下的等效微磁学模型，使用微磁学模拟的方法研究应力能对磁性颗粒反转的影响。
使用了微磁学理论研究这一课题。
本文描述了微磁学模型包含的各种能量，也描述了微磁学模拟的基本概况。
经过研究发现：
两次施加应力可以诱导磁矩磁化反转。
本文的研究内容包括：
首先是，应力能对Fe81Al19长方体磁性颗粒薄膜180度反转的影响，这一部分建立了应力作用下的等效微磁学模型，描述了本次实验的基本数据；然后是，应力能和外磁场对Fe81Al19椭圆形磁性颗粒薄膜180度反转的影响，这一部分建立了椭圆形磁性颗粒的微磁学模型，然后对其研究；最后是，应力能和外磁场对Fe81Al19半圆形磁性颗粒薄膜180度反转的影响，这一部分建立了半圆形磁性颗粒的微磁学模型，然后对其研究。
关键词：
微磁学，微磁学模拟，应力能，磁场，磁性颗粒
第一章绪论
1.1研究背景与意义
多铁性物质是近年来兴起的热点研究领域。
多铁性物质具有铁电性，铁磁性等多种特性，同时铁电性和铁磁性可相互耦合产生新的效应，比如磁电效应。
磁电效应是指外磁场诱导材料产生电极化或者外电场诱导材料产生磁极化的现象[1]。
铁电材料是指具有铁电效应的材料，是热释电材料的一个分支。
铁电材料在一定温度范围内具有自发极化，而且极化强度可以随外电场反向而反向，能够出现电滞回线。
铁磁材料的磁化率远大于1，铁磁材料在温度低于该材料的居里温度时具有铁磁性，磁畴内部磁矩之间的交换作用类型是直接交换相互作用。
磁电复合材料就是其中的典型代表，这种材料同时具有铁磁材料的铁磁性和铁电材料的铁电性，磁电复合材料产生磁电效应的原理是利用铁电铁磁材料之间的乘积相互作用[2]。
铁电调控铁磁薄膜就是其中一种磁电复合材料，它是用压电材料作为衬底，附着铁磁性材料从而达到产生磁电效应的目的，它的磁性是目前的研究热点。
铁电调控铁磁薄膜作为磁记录介质由于具有写入速度快，非易失的特点，所以这种复合结构有望在磁存储器，磁逻辑器件中得到应用。
随着计算机科技的不断进步，人们存储和传递的信息量爆发式增长。
同时，存储器的存储容量越来越大，读写速度越来越快，存储密度也越来越高。
由于闪存的非易失性存储器已经接近了其存储密度的极限，于是研究者转向了基于其他物理机制的存储器的研究，如自旋矩转移随机存储器，磁性随机存储器,相变化内存，铁电随机存储器，电阻式随机存储器等等。
新型的存储器要具备以下要求:
既要有静态随机存储器的速度，又要有动态随机存储器的存储密度，还要具有闪存的非易失性，另外也要符合节省能源、可重复写入次数高的要求。
在各种物理机制的存储器中，基于隧道磁电阻效应（TMR）的磁性随机存储器以及自旋矩转移随机存储器是新技术中发展比较快的，目前已经在通信、军事、数码等产品上有了一定应用，预计在未来几年将会逐渐进入民用市场来替代现有的易失性RAM产品。
在对以上存储器进行研究的同时，一些研究者开始探索利用多铁材料中的逆磁电效应来制作非易失性存储器的方法。
通过对这种材料加电压可以改变材料的磁性，可以实现信息的电写入。
在读出信息时通常是通过磁电阻方式，因此不会破坏原有的信息。
这种存储器将会具有上述提到的各种优点，然而目前还处于基础研究阶段。
因为单相的多铁材料种类较少，且难以做到同时具有好的铁电性和铁磁性，磁电耦合也比较弱，所以复合多铁材料成为了主要的研究对象。
复合多铁材料中磁电的耦合有三种方式：
通过形变产生的耦合，通过交换偏置产生的耦合，以及通过界面电荷产生的耦合。
随着具有大的电致伸缩的压电材料陆续被开发出来，例如PZT（锆钛酸铅）、PZN-PT（钛酸铅）、PMN-PT（铌镁酸铅）等，人们对于由形变产生的磁电耦合的复合多铁材料给予了更多关注。
目前为止，利用电压诱导磁矩反转已经可以实现，但仍然存在问题，即在这些研究中若想维持反转后的磁化状态，需要压电材料具有比较高的剩余应变，否则磁矩将会转回到原来的磁化状态，这就不能满足作为非易失性器件使用的条件。
常用的PMN-PT和PZN-PT等材料的剩余应变都比较小，从而限制了这种方法的实用化。
为了解决这个问题，有必要研究在压电材料无剩余应变的情况下使磁矩在两个或多个稳定态之间产生切换的方法。
清华大学的南策文教授的研究小组曾经提出了一种利用PMN-PT（011）基片在[01-1]方向的电致伸缩使磁矩旋转180度的方法。
本论文提出了一种新的利用压电材料产生的应力来诱导磁矩180度转动的方式，并且通过外加恒定磁场的共同作用，可以在不用事先读取磁矩状态的前提下，实现用特定的电压顺序（应力顺序）将磁矩定向到其自身易磁化轴的某一个方向上。
若将这种结构与磁性隧道结复合，将非常适合作为存储器使用。
本篇论文基于上述电致磁矩反转的原理展开研究，在实验中实现用两次电压（应力）诱导磁性颗粒的磁化反转，为新一代的非易失性存储器的研究提供一种研究方案。
相信这样的研究会对于制作更加节能，存储密度更高，更适合市场应用的存储器具有重要的推动作用。
1.2多铁性材料发展简史及微磁学介绍
多铁性复合材料的研究也经历了从低潮到高潮的发展过程。
在1950年代，朗道学派在发展相变唯象理论时，对于铁电和磁性相变的问题，提出了有名的磁电耦合自由能项γP2·M2，其中P和M分别为铁电和磁性序参量（自发极化强度与自发磁矩）。
它蕴含了多铁性在2003以前的主要物理图像。
荷兰科学家vanSuchtelen于20世纪70年代首先提出磁电复合材料的概念,Philips在1973年实验上定向凝固了BaTiO3-CoFe2O4,但其后经历了20余年的低潮。
20世纪90年代，烧结复合陶瓷出现。
直到2001年,随着在压电材料Terfenol-D复合体系中理论预测并实验观察到巨磁电效应,从而迎来了多铁性复合材料的研究高潮.2004年出现磁电复合结构薄膜。
2003年发表的两篇文章促进了多铁性研究的复兴，其背后深刻的原因在于：
对关联电子系统的关注以高温超导、庞磁电阻锰氧化物等复杂过渡金属氧化物为主线，使得凝聚态物理由基于半导体能带理论的固体物理推广至具有显著关联度的复杂化合物（特别是氧化物）范畴。
这些发展为多铁性获得质的提升打下良好基础，包括学科队伍的准备、制备与表征技术进展、学科方向的拓展[3]。
磁电效应有正磁电效应与逆磁电效应，正磁电效应原理是ΔP=αΔH或者ΔE=αEΔH,可以根据磁调控电的原理制作出微型传感器，例如读取磁头MR磁头，ME磁头。
薄膜的逆磁电效应原理是ΔM=αΔE。
依据电场调控磁性的原理，可以做出自旋电子器件，存储器件，电可调微波器件。
目前为止我们可以通过界面电荷调制，多铁性和交换偏置效应，应变调制的方法实现电控磁，本实验研究的铁电调控铁磁薄膜用的电控磁的原理，据报道铁磁薄膜/铁电单晶基片在平面内双重应力，面外方向加电场的状态下磁易轴会发生外转最大外转能达到90度。
然而，在面内方向加电场的状态下磁易轴会更容易发生内转，最大内转能达到90度。
微磁学计算机模拟在磁性材料领域应用广泛，可用于计算单畴粒子的磁化反转过程，研究巨磁电阻磁头介质的性能，模拟微观结构与块材磁性材料內禀参数的关系，研究磁记录头介质封闭磁性颗粒的畴壁位移及反转过程，研究磁性隧道结的磁性颗粒结构，计算多层薄膜的磁性颗粒反转行为。
由于微磁学模拟具有较高精度的模拟水平，因此在磁记录介质领域，交换耦合多层膜领域，永磁材料研究，分析应力对铁磁材料的影响因素都有广泛的应用，深远的影响。
1.3选题依据及研究内容
1.3.1选题依据
对磁记录介质的研究是人们孜孜不倦的内容，铁电调控铁磁薄膜是新兴的研究领域，有望成为磁电存储器的材料。
理论研究表明，对于100×50×5nm3的FeAl合金磁性岛状颗粒，当其磁致伸缩系数为700ppm时，0.1%的压电基底的电致伸缩就可以在零磁场下实现磁矩的反转，即可以实现两次施加应力诱导磁矩的180度反转。
Fe81Al19是一种FeAl合金磁性岛状颗粒，因此本篇论文选择Fe81Al19作为研究对象。
众所周知，微磁学可以较好的模拟实际介质，并且磁化强度，耦合强度等参数可以任意调整，所以对于新介质的研究是一种非常有用的方法。
通过微磁学模拟，能反映铁磁材料内部磁矩分布及反转的情况。
因此本文采取微磁学模拟Fe81Al19的微观磁矩转动情况，通过微磁学模拟的方法研究应力能，和外磁场因素对于诱导磁矩反转难易程度的影响，期望得到诱导180度磁性颗粒转动的方式，使得非易失性存储器能够更可能实用化。
1.3.2研究内容及方法
本文采用的是微磁学模拟的方法，模拟Fe81Al19的微观磁矩转动情况，实验使用的是LLGMicromagneticsSimulatorV2.0-[LLG1]软件，它具有可视化界面，容易建立模型，设置参数简单且运算速度快。
本文的研究中实现180度磁矩转动的基本原理如下：
对具有单轴各向异性的磁性颗粒（易磁化轴对应压电材料[01-1]晶向），沿与其易磁化方向夹角分别为54.5度和125.5度的两个方向（对应压电材料的[11-1]和[1-11]晶向）依次对压电基底施加电压，产生形变应力，使磁矩由易磁化方向依次转向这两个方向；撤掉电压后，磁矩将自发的转到180度方向。
改变施加电压的顺序，也可以得到同样的效果。
在此基础上施加一个垂直于易磁化轴的恒定磁场，可以辅助磁矩沿磁场方向的转动，同时抑制沿磁场反方向的磁矩转动。
这样当施加电压顺序为先施加[11-1]方向电压后施加[1-11]方向电压时，磁矩的终态总是[0-11]方向；反之施加电压顺序为先施加[1-11]方向电压后施加[11-1]方向电压时，磁矩的终态总为[01-1]方向。
本文的研究内容如下：
通过在不同易面各向异性大小的状态下，即改变磁性颗粒的形状，研究多大的应力能可以使磁矩从初始方向为[01-1]的方向转到[0-11]方向，完成180度转动，或者从[0-11]方向转到[01-1]方向的临界应力能大小。
本实验在基于临界应力能大小的基础上，模拟出低于该应力能时，要使磁矩180度反转，所需加的临界外磁场大小，即磁矩在此种状态下发生反转时的最小外磁场大小。
再次，本实验模拟出高于该应力能时，要抑制磁矩发生180度反转，所需加的临界外磁场大小，即抑制磁矩在此种状态下发生反转时的最小外磁场大小。
1.3.3研究目的
在实验中，我们要通过微磁学模拟研究成功实现两次施加应力诱导单层磁性颗粒的磁矩反转。
并且研究辅助磁矩反转的外磁场和外加应力能之间的关系，以及抑制磁矩反转的外磁场和外加应力能之间的关系。
第二章微磁学
2.1微磁学简述
近年来，随着计算机技术的发展，使得计算机模拟成为现代材料研究的重要工具。
研究工作者可以在不同的层次对材料的磁行为进行计算机模拟与设计。
按照计算机模拟精度由高到低排序，磁性材料的计算机模拟与设计可以分为以下四个层次[4]：
（1）：
原子层次，原子层次以原子理论为基点，从原子的自旋组态引出自旋波的概念，然后用量子力学和统计理论计算，这是计算机模拟的精度最高的层次。
（2）：
微磁学层次，微磁学层次的出发点是磁化强度，以求磁系统的自由能的极小值的形式或求解磁化强度运动方程（LLG方程）的方法，研究磁性材料的磁化行为及磁矩的运动状态，该层次研究的层次介于原子和磁性颗粒之间，这是计算机模拟的精度第二高的层次。
（3）：
磁畴层次，磁畴层次处理磁学问题时，把磁性材料分为磁畴，以磁畴理论为基础研究磁畴和畴壁在磁化过程中的变化过程。
（4）：
非线形磁学层次，非线形磁学层次以某点的场的知识为出发点，计算该处的磁化分布，它的基础是M-H曲线的知识，计算方法是磁路回线的计算，如安培环路定理等，最后可以把材料的磁性能和器件的宏观特性联系在一起。
计算机模拟精度第二高的微磁学计算机模拟可以研究微米尺度磁性材料的磁化过程，又相比原子层次的计算机模拟简单，所以为人们广泛关注。
微磁学历史源远流长，早在1958年，布朗便在美国国内的一个会议上做了一个题目为“Micromagnetics:
SuccessortoDomainTheory?
”的报告中，第一次提出微磁学的概念。
布朗为了达到避开铁磁性薄膜中自发磁化的难题的目的，第一次使用了“分立单元”、“能量极小”等微磁学理论中的要素，并且在理论计算当中加入了数值模拟的内容，这样就可以研究铁磁薄膜材料中的一维Bloch畴壁和Neel畴壁[5]。
随着计算机数值模拟技术的提高，在1960~1970年之间，Ampex，IBM等公司从事磁信息存储研发的工程师采纳了布朗提出的微磁学方法，并将其逐渐运用到系统设计和材料的磁性质分析中，对磁记录介质和磁头的研究起到十分重要的作用。
磁信息存储介质工业设计的基本理论也开始融入到微磁学理论当中，使微磁学形成了自己的体系。
直到2000年以后，微磁学理论为学术界和工业界所广泛接受，微磁学理论也成为生产铁磁性器件及薄膜和铁磁性物质研究的指导理论[6]。
现代微磁学理论基于苏联物理学家Landau和Lifshitz于1935年提出的磁畴理论[7]和描述磁矩运动的Landau-Lifshitz方程（以及后来的LLG方程）。
微磁学理论研究的单元尺度处在原子与磁畴之间，能够满足反映磁畴之间的畴壁里的磁矩过渡化的状态的要求，并且研究对象是连续的磁化强度矢量。
2.2微磁学理论基础
微磁学的一个主要假设是：
在给定温度下，磁化强度矢量在磁性材料中保持大小不变，方向可随位置的改变而改变，且保持磁化强度随位置的连续性。
这样我们可以通过结合微磁学理论和磁定向动力学的方法，用计算机模拟出磁性材料磁化过程。
首先介绍两个基础理论。
2.2.1磁畴理论
磁畴理论认为磁矩是核心物理量，Landau和Lifshitz使用能量极小值法确定了磁畴存在的理论基础，在此基础上，讨论磁畴的运动状态及磁性材料的磁导率问题。
朗道的连续介质理论认为，在铁磁材料中存在着各种磁性自由能，包括静磁相互作用能、磁晶各向异性能、应力能、交换相互作用能等能量。
铁磁材料最终的磁矩分布状态是这些能量之和即磁性材料系统总的自由能最小的状态。
在磁畴内部，磁矩取向相同，在磁畴与磁畴之间，存在过渡区域，被称为畴壁。
畴壁较为常见的是Bloch壁和Neel壁，这两种畴壁与材料的几何形状有关且它们的畴壁能随畴壁厚度的函数曲线不同，决定了二者分别存在于块体材料和薄膜材料中。
2.2.2磁矩运动的微分方程
Landau-Lifshitz（LL）方程或Landau-Lifshitz-Gilbert（LLG）方程分别如式（1-1）或式（1-2）所示，LL方程或LLG方程描述的是铁磁材料内部每一个磁矩在某一时刻的磁化状态，从而得到每一个磁矩随时间的变化，反映了位置一定的前提下，磁矩在外场作用下随时间的连续变化状态。
这就提供了模拟磁矩运动的方法，为微磁学理论奠定基础。
实际上，LLG方程是对LL方程的扩展与补充，解决了高阻尼状态下磁矩运动的问题。
LLG方程的右边由两项组成，第一项是磁矩在外场作用下绕外场方向作进动的状态，第二项是非平衡态下的阻尼因素，根据能量最小化原理，磁矩将朝总能量降低的方向运动，最终达到一个平衡态。
图2.1描述的是LL方程描述的磁矩进动项和阻尼项的方向。
图2.1LL方程描述的磁矩进动项和阻尼项的方向
（1-1）
（1-2）
式中
表示磁化强度矢量，t表示时间，
为磁矩所受到的外磁场，0=ge/2mc为旋磁比。
为朗道阻尼常数，是用来表征铁磁体中能量趋于最低能量的速率的一个半经验常数，m为电子的质量，e为电子电荷，c为光速，g为朗德因子对于Fe、Co、Ni等过渡金属元素占主要组成部分的铁磁体，0一般等于1.76107Oe-1s-1。
=0/（1+2）。
LL和LLG两个方程在形式上类似，只不过二者的进动项和阻尼项系数不同，相差了（1+2）倍，在阻尼常数α比较小（α远小于1）的时候，可以忽略二者的区别的。
LL方程在引入阻尼项时，并没有像LLG方程中改变了磁矩的进动速度，Mallison指出[8]在高阻尼（α>1）时，LL方程并不适用，LL方程的进动项并不随阻尼系数的增大而发生改变，而
说明反转时间将变得很短，显然这是不可能的。
而LLG方程则适用于所用情况，
随着阻尼系数的增大而减小反转时间变长，同时和阻尼增大延缓磁矩向磁场方向的偏转的情况相对应。
因此我们的程序使用的是LLG方程（α在0.02~0.1范围内取值）。
在微磁学模拟中采用的α的范围也比较广，范围在0.01~2.0之间均出现过，这也和阻尼常数的理论和实验不成熟有一定的关系。
2.3微磁学理论
2.3.1微磁学单元的划分
在应用微磁学模拟磁性薄膜的计算中，首先就是根据材料的实际情况，建立适当的微磁学几何模型并划分微磁学单元。
微磁学单元既可以为选取多个晶粒组成的团簇，也可以为选取组成薄膜的晶粒。
任何磁性材料都可以根据微磁学理论划分为任意形状的磁性单元,为了计算方便,通常将材料划分为立方体结构的单元。
这些磁性单元的大小既要足够小,能够满足表达磁化分布的退磁能而不至于使退磁能过高而引起收敛错误或者不连续性又要足够大,使材料的连续性继续成立同时不违背微磁学的连续介质假设。
通常,磁性单元的尺度要小于最小交换相互作用长度
[9]。
磁性材料中的交换相互作用长度有两种，一种是Bloch交换相互作用长度
，一种是Neel交换相互作用长度
，微磁学单元的大小一般应小于二者中较小的那个[10]。
Ms是材料的饱和磁化强度，K1是磁晶各向异性能常数。
A*是交换相互作用常数，单位是erg/cm，表示单位长度的交换能量，其大小一般在110-6erg/cm左右，实际模拟时A*需要与实验数据相互校准得到。
2.3.2磁体中的能量表示及有效场的计算
根据朗道的连续介质理论，铁磁材料中与磁性有关的能量包括外场能（又叫赛曼能）、磁晶各向异性能、交换能、静磁能和磁弹性能（应力能）。
总的磁吉布斯自由能是：
（1-3）
将以上总能量对磁矩进行变分，就可以得到单元磁矩所受到的有效场
，将上面求得的能量对磁矩求变分
，即可就得对应的磁晶各向异性场、交换相互作用场、退磁场和应力场。
与能量相互对应，有效场包括外磁场、磁晶各向异性场、交换相互作用场、退磁场和静磁相互作用场（又称漏磁场，strayfield，习惯上仍然称退磁场）和应力场。
现在对各个物理量一一介绍如下：
（1）交换相互作用能ex
交换相互作用能是由铁磁材料中电子自旋之间的相互作用引起的，对应的交换相互作用能量和场可写为如下形式：
（1-4）
（1-5）
其中A*是交换相互作用常数，用来表征单位长度的交换能量，它的单位是erg/cm。
从考虑近邻个数的角度计算交换相互作用的数值模拟问题的计算方法包括6体、12体和26体等，这些方法即是通过不同的近似处理对二阶微分进行计算。
在这里，可以将交换相互作用看成是短程作用，而且是相邻微磁学单元在接触面的交换相互作用对于整个微磁学单元的平均，因此我们在计算交换相互作用场时只考虑了最近邻的6个微磁学单元的作用（即6体），即我们认为6体的近似处理计算方法更符合交换相互作用的实际物理意义。
以此为基础，我们修正了交换相互作用场常数及场形式。
（2）磁晶各向异性能a
磁晶各向异性能a是由电子自旋间的相互作用以及自旋磁矩与轨道磁矩间的相互耦合作用引起的。
对于具有旋转对称性和长程有序的晶体，晶体场以及电子自旋与轨道耦合等现象使得磁矩在晶体学坐标系中处于不同方向时具有不同的自由能造成磁化强度的择优取向，此时，磁化强度在易磁化方向和难磁化方向的能量之差即为磁晶各向异性能。
单轴各向异性晶体的磁晶各向异性能及场是:
（1-6）
（1-7）
K1是磁晶各向异性能常数，它的单位是erg/cm3，表征单位体积内的磁晶各向异性能量。
是易磁化轴的方向矢量。
通过Neumann原理和材料结构的对称操作可以推导磁晶各向异性能的不同形式。
能量的近似取舍不同以及材料的结构决定了磁晶各向异性能常数的个数。
磁晶各向异性常数可以通过转矩实验来测定，或者从磁滞回线的数据中近似推出。
具有立方对称性和四方对称性的晶体具有的磁晶各向异性能为：
（1-8）
（1-9）
式中
代表材料中易轴方向。
代表磁矩的方向矢量。
（3）静磁相互作用能m
静磁相互作用能起源于铁磁性材料中磁性颗粒之间的磁偶极子的相互作用。
静磁相互作用能的产生机理为：
铁磁材料在外磁场作用下被磁化后，将在材料外部产生磁场。
对于微磁学单元来说，表现为某一微磁学单元对其他单元的磁矩产生作用的同时，该微磁学单元也对自身也有作用，这一作用对应的场处于微磁学单元内部且方向与磁矩方向相反因而被称为退磁场。
但习惯上微磁学单元对其他单元的静磁相互作用场也被称为退磁场。
静磁相互作用能和场可写为：
（1-10）
（1-11）
是位置在
的格点与
的格点之间的退磁矩阵。
。
只依赖于两个均匀磁化格点
和
的相对位置和几何构造,不依赖于格点的磁化强度，或者是单位制的选择。
（4）外场能
外磁场能表征外磁场和磁矩相互作用产生的能量，又称为赛曼能（Zeeman
energy），可写成如式（1-12）所示的形式，其中
是外磁场，
是磁矩的方向矢量，Ms是材料的饱和磁化强度。
（1-12）
（5）应力能
磁性材料在外场的作用下发生形变的现象，叫做磁致伸缩效应又称为Joule磁致伸缩效应；反之，磁性材料在应力的作用下其磁矩发生变化的现象称为应力诱导效应，又称为Villari效应。
假设磁性材料受到一个确定方向的均匀应力，那么与之相关的应力能及场[11]是：
（1-13）
（1-14）
式中表征饱和磁致伸缩系数，是应力与磁矩的夹角，
表征位置在
的磁矩大小。
表征应力单位向量。
综上，由
可得总的有效磁场：
（1-15）
由式（1-10）和（1-11）可以得出结论，计算退磁场需要计算退磁矩阵。
常用的微磁学单元一般选取为棱柱或棱锥，组成它们的基本面元是长方形和直角三角形。
微磁学单元在空间中任意一点的退磁矩阵可经过两步得到：
先是由基本面元的退磁矩阵
经过旋转矩阵变换
，再经过加和过程
得到。
可以通过如下方法来检查退磁矩阵是否正确：
第一种方法是检查观测点分别位于微磁学单元外部和内部时退磁矩阵的迹，内部迹应为0，外部迹应为1。
第二种方法是当观测点距离退磁矩阵超过10倍微磁学单元的边长时，退磁矩阵计算出的结果应与偶极近似得出的结果基本一致。
2.3.3LLG方程的数值求解
LLG方程可以通过把得到的有效场代入进行求解，最终可以得到任意时刻每一个单元磁矩的值。
目前主要的LLG方程求解方法有三种：
Adams方法[12,13]、后退欧拉法方法[14,15]以及Runge-Kutta方法[16]，每种方法可以有很多变种，如预处理，变步长等。
Adams方法的特点是若是m阶算法，则解LLG方程时，需要用到前m（m是算法的阶数）步的结果求第N步的值，目的是减小误差，优势是计算速度比较快；后退欧拉法能够解刚性方程，缺点是，计算速度较慢，耗时比较长。
Runge-Kutta方法的特点是只需要上一步（即N-1步）的值就可以求解第N步的值时，又称为单步法；三种方法各有各的特点，需根据实际情况具体使用。
2.4微磁学的数值模拟方法
随着现代科学技术的发展和
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