高考外接球体积面积问题及解析汇报.docx
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高考外接球体积面积问题及解析汇报
高考外接球面积问题
•选择题（共12小题）
1
.（2016?
湖南二模）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）
A.4nB.8nC.12nD.16n
2.（2016?
湖南校级模拟）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图
都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表
面积是（）
3
.（2016?
新余校级一模）在菱形ABCD中，A=60°,AB=.';,将AABD沿BD折起到△
4.（2016?
安徽校级一模）平行四边形ABCD中「匚0，沿BD将四边形折起成直
面角A一BD-C,且2|
「？
|2+||「|2=4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（
A.B.C.4nD.2n
24
5.（2016?
湖南校级模拟）已知三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为
（
）
1
N
如理IE
「则该三棱锥的外接球的体积是（
A.「B._；：
nC.D.
三个侧面的面积分别是
6.（2016?
湛江一模）三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,
7.（2016?
洛阳二模）在正三棱锥S-ABC中，M是SC的中点，且AM丄SB,底面边长
AB=2£初则正三棱锥S-ABC外接球表面积为（）
A.6nB.12nC.32nD.36n
8.（2016?
北海一模）已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上，底面ABCD是矩形，平
面PAD丄平面ABCD,△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为（）
A.B.―^-C.32nD.64n
9
外接球的体积为（
A.3nB.2：
n
）
C.nD.儿
.（2016?
九江二模）在正三棱锥S-ABC中，SA丄SB,AB=一：
则正三棱谁S-ABC
10
则三棱锥A-BCD的外接球的体积为（
△KDB的面积分别为「/
.（2015?
内江模拟）在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、AACD、
A.V^nB.2-VeC.3^671D.4品只
11.（2015?
佳木斯一模）三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC,AC丄BC,AC=BC=1,PA=^3,
则该三棱锥外接球的表面积为（）
A.5nB.佢叽C.20nD.4n
12.（2015?
内江三模）一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角
A.4nB.3nC.2nD.n
2016年06月05日外接球
参考答案与试题解析
一•选择题（共12小题）
1.（2016?
湖南二模）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）
A•4nB•8nC.12nD•16n
【解答】解：
由已知中三棱锥的高为1
底面为一个直角三角形，
由于底面斜边上的中线长为1,
则底面的外接圆半径为1,
顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，
由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接
球的球心；
则三棱锥的外接球半径R为1,
则三棱锥的外接球表面积S=4冗R2=4n
故选：
A
2.（2016?
湖南校级模拟）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图
都是右图•图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形•则这个四面体的外接球的表
面积是（）
A.nB.3nC.4nD.6n
【解答】解：
由三视图可知：
该四面体是正方体的一个内接正四面体.
•••此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为.\
•••此四面体的外接球的表面积为表面积为4肌X〔寺）2=3n.
故选：
B.
3
.（2016?
新余校级一模）在菱形ABCD中，A=60°,AB=.；,将AABD沿BD折起到△
4
设ABCD的外接圆的圆心与球心的距离为h,
2
R-Hhz
三棱锥p-BCD的外接球的半径为R,则丿汰尺rri_
〔平_h）外丐）Jr2
•••R=—,h=L,
戈2
5.（2016?
安徽校级一模）平行四边形ABCD中，©①"1=0，沿BD将四边形折起成直二
_Ni_科
面角A一BD-C,且2|「丨，|2+|丨「|2=4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）
u
jr
A.——B.
C.4nD.2n
2
4
【解答】解：
平行四边形ABCD中，
■?
li=0,「.AB丄BD,
沿BD折成直二面角A-BD-C,
•••将四边形折起成直二面角A一BD-C,
•平面ABD丄平面BDC•三棱锥A-BCD的外接球的直径为AC,
•••AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2,
•.•2|小|2+|'i|2=4,
•••AC2=4
•••外接球的半径为1,
故表面积是4n.
故选：
C.
5.（2016?
湖南校级模拟）已知三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为
A.8.!
'nB.8.nC.5nD.6n
【解答】解：
由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形,
一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：
该三棱锥的外接球的表面积为:
故选：
D.
6.（2016?
湛江一模）三棱锥
P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是「J、
二，则该三棱锥的外接球的体积是（
A.仁B.「
33
【解答】解：
三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直,
它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,设PA=a,PB=b,PC=c,
啥b呼诗bc哼号哼,
解得，a=:
:
b=1,c=「
则长方体的对角线的长为所以球的直径是.：
，半径长R=
则球的表面积S=
故选：
C.
7.（2016?
洛阳二模）在正三棱锥S-ABC中，M是SC的中点，且AM丄SB,底面边长
AB=2卜:
打，则正三棱锥S-ABC外接球表面积为（）
A.6nB.12nC.32nD.36n
【解答】解：
取AC中点，连接BN、SN
••N为AC中点，SA=SC
•••AC丄SN，同理AC丄BN,
•「SNQBN=N
•••AC丄平面SBN
'/SB?
平面SBN
•••AC丄SB
'/SB丄AM且ACAAM=A
•••SB丄平面SAC?
SB丄SA且SB丄AC
•/三棱锥S-ABC是正三棱锥
•••SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直.
•/底面边长AB=2：
：
•••侧棱SA=2,
•••正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：
2R=-:
外接球的半径为R=.：
；
•••正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是S=4nR2=12n
故选：
B.
8.（2016?
北海一模）已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上，底面ABCD是矩形，平
面PAD丄平面ABCD,△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为（）
A.B.'C.32nD.64n
33
【解答】解：
令△PAD所在圆的圆心为O1,^PAD为正三角形，AD=2，则圆Oi的半径r==
3
因为平面PAD丄底面ABCD,AB=4,
冲、2=巫
所以OOi=」AB=2,
所以球O的半径R=_|
cC471
所以球O的表面积=4ttR2=
故选：
B.
9.（2016?
九江二模）在正三棱锥S-ABC中，SA丄SB,AB=_］，则正三棱谁S-ABC
外接球的体积为（
）
A.3nB.2.；n
C.'：
；nD.二n
【解答】解：
正三棱锥
S-ABC中，SA丄SB,AB=i「f,可得SC丄SA，正三棱锥是正方体
可得（2r）2=12+12+12=3,
r=
正三棱谁S-ABC外接球的体积为:
=
1
2
的一个角，设外接球的半径为r,
故选：
D.
10.（2015?
内江模拟）在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△KBC、AACD、
△XDB的面积分别为工i二、二，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为（）
222
A.后nB.2代叽C.D.4后兀
【解答】解：
三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接
球是同一个，长方体的对角线就是球的直径,设长方体的三度为a,b,c由题意得：
ab=卜•打,ac=^；:
bc=.㈡,
所以球的直径为:
它的半径为
球的体积为
解得：
a=ff,b='Q:
:
c=1,
故选A
11.（2015?
佳木斯一模）三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC,AC丄BC,AC=BC=1,PA=^3,
则该三棱锥外接球的表面积为（）
A.5nB.佢叽C.20nD.4n
【解答】解：
PA丄平面ABC,AC丄BC,
•••BC丄平面PAC,PB是三棱锥P-ABC的外接球直径；
••Rt△^BA中，AB=*〕:
」，PA=.:
-;
•••PB='可得外接球半径只=丄PB=—'
|22
.•.外接球的表面积S=4冗R2=5n
12.（2015?
内江三模）一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角
A.4nB.3nC.2nD.n
【解答】解：
由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个
四棱锥，
底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，可将此四棱锥放到一个棱长为1
的正方体内，可知，此正方体与所研究的四棱锥有共同的外接球,
•••四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，外接球的直径是AC
根据直角三角形的勾股定理知AC=.•1二.'；,
=3
故选：
B.
n,
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