中考数学最新中考数学考点总动员系列专题28尺规作图.docx

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中考数学最新中考数学考点总动员系列专题28尺规作图

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【中考数学】2019-2020最新中考数学考点总动员系列专题28尺规作图

______年______月______日

____________________部门

聚焦考点☆温习理解

1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺

2．基本作图

（1）作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差；

（2）作一个角等于已知角，以及角的和﹑差；

（3）作角的平分线；

（4）作线段的垂直平分线；

（5）过一点作已知直线的垂线．

3．利用基本作图作三角形

（1）已知三边作三角形；

（2）已知两边及其夹角作三角形；

（3）已知两角及其夹边作三角形；

（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；

（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．

4．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；

（2）作三角形的内切圆；

（3）作圆的内接正方形和正六边形．

5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型

6．作图的一般步骤

尺规作图的基本步骤：

（1）已知：

写出已知的线段和角，画出图形；

（2）求作：

求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；

（3）作法：

应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；

（4）证明：

为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；

（5）讨论：

研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；

（6）结论：

对所作图形下结论．

名师点睛☆典例分类

考点典例一、画三角形

【例1】如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B.（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】作图见解析

【解析】

试题分析：

先作一个角等于已知角，即∠MBN=∠O，在边BN上截取BC=a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠PCB=2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求．

试题解析：

如图所示：

考点：

作图—复杂作图．

【点睛】

（1）作三角形包括：

①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形；

（2）求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．

【举一反三】

1.（20xx.山东青岛第15题，6分）已知：

线段，直线外一点A．

求作：

Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥，垂足为C）斜边AB＝c．

【答案】略.

【解析】

试题分析：

首先作出AB⊥l，然后以A为圆心，c的长度为半径画弧，与直线l的交点的就是点C.

试题解析：

考点：

作图.

2.已知：

线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】作图见解析.

【解析】

试题分析：

先作∠MBN=∠β，再在∠MBN的两边上分别截取BC=a，AB=c，连接AC即可．

试题解析：

考点：

作图—基本作图．

考点典例二、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图

【例2】两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？

请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）

【答案】作图见解析

考点：

作图—应用与设计作图．

【点睛】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．

【举一反三】

1.（20xx.陕西省，第17题，5分）（本题满分5分）如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分，（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见下图.

试题解析：

考点：

作图（复杂作图）、三角形的中线的性质.

2.（20xx.山东淄博，第19题）如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=6cm．

（1）作图：

作BC边的垂直平分线分别交与AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．

【答案】

（1）作图见解析；

（2）10cm．

【解析】

试题分析：

（1）运用作垂直平分线的方法作图;

（2）运用垂直平分线的性质得出BD=DC，利用△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC即可求解．

试题解析：

：

（1）如图1，

（2）如图2，

∵DE是BC边的垂直平分线，

∴BD=DC，

∵AB=4cm，AC=6cm．

∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm．

考点：

用尺规作线段垂直平分线的方法；线段垂直平分线的性质.

考点典例三、通过画图确定圆心

【例3】如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）

【答案】

【解析】

试题分析：

先作出角平分线AD，再作AD的中垂线交AC于点O，O就是⊙O的圆心，作出⊙O，

试题解析：

作出角平分线AD，

作AD的中垂线交AC于点O，

作出⊙O，

∴⊙O为所求作的圆．

考点：

作图—复杂作图．

【点睛】本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆．

【举一反三】

1．（20xx·湖北孝感）（本题满分8分）

如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．

（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心；（要求保留作图痕迹，不写作法）（4分）

（2）若的中点到弦的距离为m，m，求所在圆的半径．（4分）

【答案】

（1）如图；

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）根据垂经定理画图，连接AC,AB分别做AC,AB的垂直平分线，交点就是圆心O；

（2）根据垂径定理，连接，交于D，在Rt中，由勾股定理建立等式关系，求出答案.

试题解析：

解：

（1）作图如图所示；

考点：

作图，弧.

2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．

（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O；（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，直接写出结论，不用说明理由．

【答案】

（1）作图见解析；

（2）相切

【解析】

试题分析：

（1）作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆；

（2）BC与⊙O相切，连接OD，由OD=OA，则∠ODA=∠OAD，因为∠BAC的角平分线AD交BC边于D，所以∠OAD=∠CAD，再利用三角形的内角和定理即可证明∠ODC=90°，即BC是圆的切线．

试题解析：

（1）如图，⊙O为所求；

考点：

切线的判定；作图—复杂作图．

课时作业☆能力提升

一、选择题

1.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（）

A．SAS　　　B．SSS　　　C．ASA　　　D．AAS

【答案】B.

④过点D′作射线O′B′．

所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；

作图完毕．

在△OCD与△O′C′D′，

∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），

∴∠A′O′B′=∠AOB，

显然运用的判定方法是SSS．

故选：

B．

答案：

作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．

2.（20xx.山东潍坊，第9题，3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,按如下步骤作图：

第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD的两侧作弧，交于两点M、N;第二步，连结MN，分别交AB、AC于点E、F；第三步，连结DE、DF..若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】

试题分析：

根据作图的步骤和条件可得：

四边形AEDF是菱形，所以AE=AF=DE=DF=4，又DE//AC，所以,所以，所以BE=8，故选：

D.

考点：

1.菱形的判定与性质；2.平行线分线段成比例定理.

3.（20xx.河南省，第7题，3分）如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）.

A.4B.6C.8D.10

【答案】C.

【解析】

试题分析：

设AG与BF交点为O,∵AB=AF,AG平分∠BAD，AO=AO,∴可证△ABO≌△AFO,∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE,∴可证△AOF≌△EOB,AO=EO,∴AE=2AO=8，故选C.

考点：

角平分线的作图原理和平行四边形的性质.

4.如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：

甲：

①作OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点．

②连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．

乙：

①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．

②连接AB，BC，CA.△ABC即为所求作的三角形．

对于甲、乙两人的作法，可判断（）

A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误

C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确

【答案】A.

由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD三边相等，即为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出∠OBE为30°，又∠BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确．

试题解析：

根据甲的思路，作出图形如下：

连接OB，

∵BC垂直平分OD，

∴E为OD的中点，且OD⊥BC，

∴OE=DE=OD，又OB=OD，

在Rt△OBE中，OE=OB，

∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，

∴∠BOE=60°，

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，

又∠BOE为△AOB的外角，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，

同理∠C=60°，

∴∠BAC=60°，

∴∠ABC=∠BAC=∠C，

∴△ABC为等边三角形，

故甲作法正确；

根据乙的思路，作图如下：

连接OB，BD，

∵OD=BD，OD=OB，

∴OD=BD=OB，

∴△BOD为等边三角形，

∴∠OBD=∠BOD=60°，

又BC垂直平分OD，∴OM=DM，

∴BM为∠OBD的平分线，

∴∠OBM=∠DBM=30°，

又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，

∴∠BAO=∠ABO=30°，

∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，

同理∠ACB=60°，

∴∠BAC=60°，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，

∴△ABC为等边三角形，

故乙作法正确，

故选A

考点：

垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．

二、填空题

1.如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是．

【答案】90°．

【解析】

试题分析：

分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案．

试题解析：

如图所示：

旋转角度是90°．

考点：

作图-旋转变换．

2.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为

【答案】105°．

【解析】

试题分析：

首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．

考点：

作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：

（1）∠ADE=；

（2）AEEC；（填“=”“＞”或“＜”）

（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=

【答案】

（1）90°；

（2）=；（3）7.

【解析】

试题分析：

（1）由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论；

（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；

（3）先根据勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．

试题解析：

（1）∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，

∴∠ADE=90°．

（2）∵MN是线段AC的垂直平分线，

∴AE=EC．

（3）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，

∴BC==4，

∵AE=CE，

∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．

考点：

线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．

4.（20xx.河北省，第22题，10分）（本小题满分10分）

嘉淇同学要证明命“两相对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证.

已知：

如图，在四边形ABCD中，

BC＝AD，

AB＝____.

求证：

四边形ABCD是____四过形.

（1）在方框中填空，以补全已知和求证；

（2）按嘉淇的想法写出证明：

证明：

（3）用文宇叙述所证命题的逆命题为____________________.

【答案】

（1）CD；平行

【解析】

试题分析：

平行四边形的判定，除要熟记判定定理内容外，还有注重定理的由来.

试题解析：

（1）略；

（2）证明：

连接BD.

在△ABD和△CDB中，

∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，

∴△ABD≌△CDB.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴AB//CD，AD//CB，∴四边形ABCD是平行四边形.

（3）平行四边形的对边相等

考点:

平行四边形的判定，全等三角形的判定

三、解答题

1.（20xx.青岛）如图，在△ABC中，AB=BC，点点D在AB的延长线上．

（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．

①作∠CBD的平分线BM；

②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F．

（2）由

（1）得：

BF与边AC的位置关系是

【答案】

（1）作图见解析；

（2）BF∥AC．

【解析】

试题分析：

（1）①利用角平分线的作法得出BM；

②首先作出BC的垂直平分线，进而得出BC的中点，进而得出边BC上的中线AE；

（2）利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得出即可．

试题解析：

（1）①如图所示：

BM即为所求；

②如图所示：

AF即为所求；

（2）∵AB=BC，

∴∠CAB=∠C，

∵∠C+∠CAB=∠CBD，∠CBM=∠MBD，

∴∠C=∠CBM，

∴BF∥AC．

考点：

作图—复杂作图；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．

2.（20xx.山东济宁，第19题,8分）（本题满分8分）

如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角.

实践与操作：

根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）作∠DAC的平分线AM；

（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF.

猜想并证明：

判断四边形AECF的形状并加以证明.

【答案】

【解析】

试题分析：

（1）根据题意画出图形即可；

（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠ACB=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再根据线段的垂直平分线的性质可知：

OA=OC,∠AOF=∠COE=90°，AE=EC，FA=FC,由OA=OC,∠AOF=∠COE=90°，∠CAM=∠ACB可证明AOF≌△COE，即可得到AF=EC.因此可由AF∥BC，AF=EC,得证四边形AECF是平行四边形．最后可由AC⊥EF得证结论：

菱形.

试题解析：

（1）

（2）猜想：

四边形AECF是菱形

证明：

∵AB=AC，AM平分∠CAD

∴∠B=∠ACB，∠CAD=2∠CAM

∵∠CAD是△ABC的外角

∴∠CAD=∠B+∠ACB

∴∠CAD=2∠ACB

∴∠CAM=∠ACB

∴AF∥CE

∵EF垂直平分AC

∴OA=OC,∠AOF=∠COE=

∴AOF≌△COE

∴AF=CE

在四边形AECF中，AF∥CE，AF=CE

∴四边形AECF是平行四边形

又∵EF⊥AC

∴四边形AECF是菱形

考点：

角平分线，线段的垂直平分线的基本作图，等腰三角形的内外角，三角形全等，菱形的判定

3.（20xx.××市，第18题，3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E，F分别为线段BC，

DB上的动点，且BE=DF.

（Ⅰ）如图①，当BE=时，计算的值等于；

（Ⅱ）当取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　　.

图①

第（18）题

图②

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）如图（见试题分析），取格点H、K,连接BH、CK，相交于点P.连接AP，与BC相交于点E.取格点M、N，连接DM、CN,相交于点G.连接AG，与BD相交，得点F.线段AE、AF即为所求.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE=；

（Ⅱ）

考点：

勾股定理；三角形全等的判定即性质；最短距离问题.