版高考数学理科一轮设计第910章教师用书人教A版.docx

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版高考数学理科一轮设计第910章教师用书人教A版

2018版高考数学（理科）一轮设计：

第9~10章教师用书（人教A版）

第1讲　直线的方程

最新考纲　1在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系知识梳理

1直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角

①定义：

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：

当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：

直线的倾斜角α的取值范围是[0，π）

（2）直线的斜率

①定义：

当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母表示，即＝tan__α；②斜率公式：

经过两点P1（x1，1），P2（x2，2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为＝2－1x2－x1

2直线方程的五种形式

名称几何条方程适用条

斜截式纵截距、斜率＝x＋b与x轴不垂直的直线

点斜式过一点、斜率－0＝（x－x0）

两点式过两点－12－1＝x－x1x2－x1

与两坐标轴均不垂直的直线

截距式纵、横截距xa＋b＝1

不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线

一般式

Ax＋B＋＝0

（A2＋B2≠0）所有直线

3线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为（x1，1），（x2，2），线段P1P2的中点的坐标为（x，），则x＝x1＋x22，＝1＋22，此公式为线段P1P2的中点坐标公式

诊断自测

1判断正误（在括号内打“√”或“×”）　精彩PPT展示

（1）直线的倾斜角越大，其斜率就越大（　　）

（2）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α（　　）

（3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等（　　）

（4）经过点P（x0，0）的直线都可以用方程－0＝（x－x0）表示（　　）

（）经过任意两个不同的点P1（x1，1），P2（x2，2）的直线都可以用方程（－1）（x2－x1）＝（x－x1）（2－1）表示（　　）

解析　

（1）当直线的倾斜角α1＝13°，α2＝4°时，α1＞α2，但其对应斜率1＝－1，2＝1，1＜2

（2）当直线斜率为tan（－4°）时，其倾斜角为13°

（3）两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等

（4）当直线的斜率不存在时，不可以用方程－0＝（x－x0）表示

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×　（）√

2（2017•衡水金卷）直线x－＋1＝0的倾斜角为（　　）

A30°B4°

120°D10°

解析　由题得，直线＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tanα＝1，又0°≤α＜180°故α＝4°，故选B

答案　B

3如果A•<0，且B•<0，那么直线Ax＋B＋＝0不通过（　　）

A第一象限B第二象限

第三象限D第四象限

解析　由已知得直线Ax＋B＋＝0在x轴上的截距－A>0，在轴上的截距－B>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限

答案　

4已知A（3，），B（4，7），（－1，x）三点共线，则x＝______

解析　∵A，B，三点共线，∴AB＝A，∴7－4－3＝x－－1－3，∴x＝－3

答案　－3

（必修2P100A9改编）过点P（2，3）且在两轴上截距相等的直线方程为________

解析　当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2＝0；

当截距不为0时，设直线方程为xa＋a＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝所以直线方程为x＋－＝0

答案　3x－2＝0或x＋－＝0考点一　直线的倾斜角与斜率

【例1】

（1）直线2xsα－－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是（　　）

Aπ6，π3Bπ4，π3

π4，π2Dπ4，2π3

（2）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，3）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________

解析　

（1）直线2xsα－－3＝0的斜率＝2sα，

因为α∈π6，π3，所以12≤sα≤32，

因此＝2•sα∈[1，3]

设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]

又θ∈[0，π），所以θ∈π4，π3，

即倾斜角的取值范围是π4，π3

（2）如图，∵AP＝1－02－1＝1，

BP＝3－00－1＝－3，

∴直线l的斜率∈（－∞，－3]∪[1，＋∞）

答案　

（1）B　

（2）（－∞，－3]∪[1，＋∞）

规律方法　

（1）①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π），斜率的取值范围是R

②正切函数在[0，π）不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围

（2）第

（2）问求解要注意两点：

①斜率公式的正确计算；②数形结合写出斜率的范围，切莫错误想当然认为－3≤≤1

【训练1】

（1）（2017•惠州质检）直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围是（　　）

A－1<<1B－1<<12

>1或<－1D>12或<－1

（2）直线l经过点A（3，1），B（2，－2）（∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________

解析　

（1）设直线的斜率为，则直线方程为－2＝（x－1），直线在x轴上的截距为1－2

令－3<1－2<3，解不等式得<－1或>12

（2）直线l的斜率＝1＋23－2＝1＋2≥1，∴＝tanα≥1

又＝tanα在0，π2上是增函数，因此π4≤α<π2

答案　

（1）D　

（2）π4，π2

考点二　直线方程的求法

【例2】根据所给条求直线的方程：

（1）直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为1010；

（2）直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12；

（3）直线过点（，10），且到原点的距离为

解　

（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式

设倾斜角为α，则sinα＝1010（0≤α<π），

从而sα＝±31010，则＝tanα＝±13

故所求直线方程为＝±13（x＋4）

即x＋3＋4＝0或x－3＋4＝0

（2）由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa＋12－a＝1，

又直线过点（－3，4），

从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9

故所求直线方程为4x－＋16＝0或x＋3－9＝0

（3）当斜率不存在时，所求直线方程为x－＝0满足题意；

当斜率存在时，设其为，

则所求直线方程为－10＝（x－），

即x－＋10－＝0

由点线距离公式，得|10－|2＋1＝，解得＝34

故所求直线方程为3x－4＋2＝0

综上知，所求直线方程为x－＝0或3x－4＋2＝0

规律方法　根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性

【训练2】求适合下列条的直线方程：

（1）经过点P（4，1），且在两坐标轴上的截距相等；

（2）经过点A（－1，－3），倾斜角等于直线＝3x的倾斜角的2倍；

（3）经过点B（3，4），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形

解　

（1）设直线l在x，轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点（0，0）和（4，1），

∴l的方程为＝14x，即x－4＝0

若a≠0，则设l的方程为xa＋a＝1，

∵l过点（4，1），∴4a＋1a＝1，

∴a＝，∴l的方程为x＋－＝0

综上可知，直线l的方程为x－4＝0或x＋－＝0

（2）由已知：

设直线＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α

∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34

又直线经过点A（－1，－3），

因此所求直线方程为＋3＝－34（x＋1），

即3x＋4＋1＝0

（3）由题意可知，所求直线的斜率为±1

又过点（3，4），由点斜式得－4＝±（x－3）

所求直线的方程为x－＋1＝0或x＋－7＝0

考点三　直线方程的综合应用

【例3】已知直线l：

x－＋1＋2＝0（∈R）

（1）证明：

直线l过定点；

（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于A，交轴正半轴于B，△AB的面积为S（为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程

（1）证明　直线l的方程可化为（x＋2）＋（1－）＝0，

令x＋2＝0，1－＝0，解得x＝－2，＝1

∴无论取何值，直线总经过定点（－2，1）

（2）解　由方程知，当≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2，在轴上的截距为1＋2，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2≤－2，1＋2≥1，解得>0；

当＝0时，直线为＝1，符合题意，故的取值范围是[0，＋∞）

（3）解　由题意可知≠0，再由l的方程，

得A－1＋2，0，B（0，1＋2）

依题意得－1＋2<0，1＋2>0，解得>0

∵S＝12•|A|•|B|＝12•1＋2•|1＋2|

＝12•（1＋2）2＝124＋1＋4

≥12×（2×2＋4）＝4，

“＝”成立的条是>0且4＝1，即＝12，

∴Sin＝4，此时直线l的方程为x－2＋4＝0

规律方法　在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值

【训练3】已知直线l过点P（3，2），且与x轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△AB的面积的最小值及此时直线l的方程

解　法一　设直线方程为xa＋b＝1（a＞0，b＞0），

点P（3，2）代入得3a＋2b＝1≥26ab，得ab≥24，

从而S△AB＝12ab≥12，

当且仅当3a＝2b时等号成立，这时＝－ba＝－23，

从而所求直线方程为2x＋3－12＝0

法二　依题意知，直线l的斜率存在且＜0

则直线l的方程为－2＝（x－3）（＜0），

且有A3－2，0，B（0，2－3），

∴S△AB＝12（2－3）3－2

＝1212＋（－9）＋4（－）≥1212＋2（－9）•4（－）

＝12×（12＋12）＝12

当且仅当－9＝4－，即＝－23时，等号成立，

即△AB的面积的最小值为12

故所求直线的方程为2x＋3－12＝0[思想方法]

1直线的倾斜角和斜率的关系：

（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率

（2）直线的倾斜角α和斜率之间的对应关系：

α0°0°<α<90°90°90°<α<180°

0>0不存在<0

2在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况

[易错防范]

1求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率

2根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性

3截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1直线3x－＋a＝0（a为常数）的倾斜角为（　　）

A30°B60°120°D10°

解析　直线的斜率为＝tanα＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°

答案　B

2已知直线l过圆x2＋（－3）2＝4的圆心，且与直线x＋＋1＝0垂直，则直线l的方程是（　　）

Ax＋－2＝0Bx－＋2＝0

x＋－3＝0Dx－＋3＝0

解析　圆x2＋（－3）2＝4的圆心为点（0，3），又因为直线l与直线x＋＋1＝0垂直，所以直线l的斜率＝1由点斜式得直线l：

－3＝x－0，化简得x－＋3＝0

答案　D

3直线x＋（a2＋1）＋1＝0的倾斜角的取值范围是（　　）

A0，π4B3π4，π

0，π4∪π2，πDπ4，π2∪3π4，π

解析　∵直线的斜率＝－1a2＋1，∴－1≤＜0，则倾斜角的范围是3π4，π

答案　B

4（2017•高安市期中）经过抛物线2＝2x的焦点且平行于直线3x－2＋＝0的直线l的方程是（　　）

A6x－4－3＝0B3x－2－3＝0

2x＋3－2＝0D2x＋3－1＝0

解析　因为抛物线2＝2x的焦点坐标为12，0，直线3x－2＋＝0的斜率为32，所以所求直线l的方程为＝32x－12，化为一般式，得6x－4－3＝0

答案　A

（2016•广州质检）若直线l与直线＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，－1），则直线l的斜率为（　　）

A13B－13－32D23

解析　依题意，设点P（a，1），Q（7，b），则有a＋7＝2，b＋1＝－2，解得

a＝－，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋＝－13

答案　B

6（2017•深圳调研）在同一平面直角坐标系中，直线l1：

ax＋＋b＝0和直线l2：

bx＋＋a＝0有可能是（　　）解析　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0选项B符合

答案　B

7（2016•衡水一模）已知直线l的斜率为3，在轴上的截距为另一条直线x－2－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为（　　）

A＝3x＋2B＝3x－2

＝3x＋12D＝－3x＋2

解析　∵直线x－2－4＝0的斜率为12，

∴直线l在轴上的截距为2，∴直线l的方程为＝3x＋2，故选A

答案　A

8（2017•福州模拟）若直线ax＋b＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），则该直线在x轴、轴上的截距之和的最小值为（　　）

A1B24D8

解析　∵直线ax＋b＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），

∴a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，

∴a＋b＝（a＋b）1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba•ab＝4，

当且仅当a＝b＝2时上式等号成立

∴直线在x轴，轴上的截距之和的最小值为4

答案　

二、填空题

9已知三角形的三个顶点A（－，0，），B（3，－3），（0，2），则B边上中线所在的直线方程为________

解析　B的中点坐标为32，－12，∴B边上中线所在直线方程为－0－12－0＝x＋32＋，即x＋13＋＝0

答案　x＋13＋＝0

10若直线l的斜率为，倾斜角为α，而α∈π6，π4∪2π3，π，则的取值范围是________

解析　当π6≤α<π4时，33≤tanα<1，∴33≤<1

当2π3≤α<π时，－3≤tanα<0，

即－3≤＜0，∴∈33，1∪[－3，0）

答案　[－3，0）∪33，1

11过点（3，－4），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________

解析　①若直线过原点，则＝－43，

所以＝－43x，即4x＋3＝0

②若直线不过原点，设直线方程为xa＋a＝1，

即x＋＝a则a＝3＋（－4）＝－1，

所以直线的方程为x＋＋1＝0

答案　4x＋3＝0或x＋＋1＝0

12直线l：

（a－2）x＋（a＋1）＋6＝0，则直线l恒过定点________

解析　直线l的方程变形为a（x＋）－2x＋＋6＝0，

由x＋＝0，－2x＋＋6＝0，解得x＝2，＝－2，

所以直线l恒过定点（2，－2）

答案　（2，－2）

能力提升题组

（建议用时：

1分钟）

13已知直线l过点（1，0），且倾斜角为直线l0：

x－2－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（　　）

A4x－3－3＝0B3x－4－3＝0

3x－4－4＝0D4x－3－4＝0

解析　由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：

x－2－2＝0的斜率为12，则tanα＝12，

所以直线l的斜率＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－122＝43，所以由点斜式可得直线l的方程为－0＝43（x－1），

即4x－3－4＝0

答案　D

14（2017•成都诊断）设P为曲线：

＝x2＋2x＋3上的点，且曲线在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则点P横坐标的取值范围为（　　）

A－1，－12B[－1，0]

[0，1]D12，1

解析　由题意知′＝2x＋2，设P（x0，0），则＝2x0＋2因为曲线在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则0≤≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－12

答案　A

1已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋＝8（2≤x≤3）有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________

解析　设直线l与线段2x＋＝8（2≤x≤3）的公共点为P（x，）

则点P（x，）在线段AB上移动，且A（2，4），B（3，2），

设直线l的斜率为

又A＝2，B＝23

如图所示，可知23≤≤2

∴直线l的斜率的取值范围是23，2

答案　23，2

16在平面直角坐标系x中，设A是半圆：

x2＋2＝2（x≥0）上一点，直线A的倾斜角为4°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作A的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________

解析　直线A的方程为＝x，

代入半圆方程得A（1，1），

∴H（1，0），直线HB的方程为＝x－1，

代入半圆方程得B1＋32，－1＋32

所以直线AB的方程为－1－1＋32－1＝x－11＋32－1，

即3x＋－3－1＝0

答案　3x＋－3－1＝0

第2讲　两直线的位置关系

最新考纲　1能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离知识梳理

1两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为1，2，则有l1∥l2⇔1＝2特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行

（2）两条直线垂直

如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为1，2，则l1⊥l2⇔1•2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直

2两直线相交

直线l1：

A1x＋B1＋1＝0和l2：

A2x＋B2＋2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1＋1＝0，A2x＋B2＋2＝0的解一一对应

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解

3距离公式

（1）两点间的距离公式

平面上任意两点P1（x1，1），P2（x2，2）间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）2＋（2－1）2

特别地，原点（0，0）与任一点P（x，）的距离|P|＝x2＋2

（2）点到直线的距离公式

平面上任意一点P0（x0，0）到直线l：

Ax＋B＋＝0的距离d＝|Ax0＋B0＋|A2＋B2

（3）两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线l1：

Ax＋B＋1＝0，l2：

Ax＋B＋2＝0间的距离d＝|1－2|A2＋B2

诊断自测

1判断正误（在括号内打“√”或“×”）　精彩PPT展示

（1）当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有1＝2ͤl1∥l2（　　）

（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1（　　）

（3）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交（　　）

（4）已知直线l1：

A1x＋B1＋1＝0，l2：

A2x＋B2＋2＝0（A1，B1，1，A2，B2，2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0（　　）

（）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离（　　）

解析　

（1）两直线l1，l2有可能重合

（2）如果l1⊥l2，若l1的斜率1＝0，则l2的斜率不存在

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√　（）√

2（2016•北京卷）圆（x＋1）2＋2＝2的圆心到直线＝x＋3的距离为（　　）

A1B2

2D22

解析　圆（x＋1）2＋2＝2的圆心坐标为（－1，0），由＝x＋3得x－＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝2

答案　

3（2017•郑州调研）直线2x＋（＋1）＋4＝0与直线x＋3－2＝0平行，则＝（　　）

A2B－3

2或－3D－2或－3

解析　直线2x＋（＋1）＋4＝0与直线x＋3－2＝0平行，则有2＝＋13≠4－2，故＝2或－3故选

答案　

4直线2x＋2＋1＝0，x＋＋2＝0之间的距离是________

解析　先将2x＋2＋1＝0化为x＋＋12＝0，

则两平行线间的距离为d＝|2－12|2＝324

答案　324

（必修2P89练习2改编）已知P（－2，），Q（，4），且直线PQ垂直于直线x＋＋1＝0，则＝________

解析　由题意知－4－2－＝1，所以－4＝－2－，所以＝1

答案　1考点一　两直线的平行与垂直

【例1】

（1）已知两条直线l1：

（a－1）x＋2＋1＝0，l2：

x＋a＋3＝0平行，则a等于（　　）

A－1B2

0或－2D－1或2

（2）已知两直线方程分别为l1：

x＋＝1，l2：

ax＋2＝0，若l1⊥l2，则a＝________

解析　

（1）若a＝0，两直线方程分别为－x＋2＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；

当a≠0时，两直线平行，则有a－11＝2a≠13，解得a＝－1或2

（2）因为l1⊥l2，所以12＝－1

即（－1）•－a2＝－1，解得a＝－2

答案　

（1）D　

（2）－2

规律方法　

（1）当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，的系数不能同时为零这一隐含条

（2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论

【训练1】

（1）（2017•重庆一中检测）若直线l1：

（a－1）x＋－1＝0和直线l2：

3x＋a＋2＝0垂直，则实数a的值为（　　）

A12B3214D34

（2）（2017•西安模拟）已知a，b为正数，且直线ax＋b－6＝0与直线2x＋（b－3）＋＝0平行，则2a＋3b的最小值为________

解析　

（1）由已知得3（a－1）＋a＝0，解得a＝34

（2）由两直线平行可得，a（b－3）＝2b，即2b＋3a＝ab，2a＋3b＝1又a，b为正数，所以2a＋3b＝（2a＋3b）•2a＋3b＝13＋6ab＋6ba≥13＋26ab•6ba＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，故2a＋3b的最小值为2

答案　

（1）D　

（2）2

考点二　两直线的交点与距离问题

【例2】

（1）已知直线＝x＋2＋1与直线＝－12x＋2的交点位于第一象限，则实数的取值范围是________

（2）直线l过点P（－1，2）且到点A（2，3）和点B（－4，）的距离相等，则直线l的方程为________

解析　

（1）法一　由方程组＝x＋2＋1，＝－12x＋2，

解得x＝2－42＋1