浙江高考数学一轮复习随机事件的概率古典概型.docx
《浙江高考数学一轮复习随机事件的概率古典概型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江高考数学一轮复习随机事件的概率古典概型.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
浙江高考数学一轮复习随机事件的概率古典概型
第五节
随机事件的概率、古典概型
1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率
（1）频数、频率：
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝为事件A出现的频率．
（2）概率：
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
A发生⇒B发生
事件B包含事件A（事件A包含于事件B）
B⊇A
（或A⊆B）
相等关系
若B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A＝B
并（和）事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件（或和事件）
A∪B（或A＋B）
交（积）事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件（或积事件）
A∩B（或AB）
互斥事件
A∩B为不可能事件
事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，
P（A∪B）＝1
4．概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：
0≤P（A）≤1.
（2）必然事件的概率为1.
（3）不可能事件的概率为0.
（4）概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．
（5）对立事件的概率：
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P（A∪B）＝1，P（A）＝1－P（B）．
5．基本事件的特点
（1）任何两个基本事件是互斥的．
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
6．古典概型
（1）
（2）概率计算公式：
P（A）＝.
[小题体验]
1．（教材习题改编）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为____________；中10环的概率约为________．
解析：
中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.
答案：
0.9 0.2
2．（教材习题改编）如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是，取到方块的概率是，则取到黑色牌的概率是________．
答案：
3．（教材习题改编）一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．
解析：
先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为.
答案：
4．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
解析：
两数之和等于5有两种情况（1,4）和（2,3），总的基本事件有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10种．∴所求概率P＝＝.
答案：
1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．
2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
3．概率的一般加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B），此时P（A∩B）＝0.
[小题纠偏]
1．甲：
A1，A2是互斥事件；乙：
A1，A2是对立事件，那么（ ）
A．甲是乙的充分但不必要条件
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析：
选B 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．
2．从一副混合后的扑克牌（除去大、小王52张）中，随机抽取1张．事件A为“抽到红桃K”，事件B为“抽到黑桃”，则P（A∪B）＝________（结果用最简分数表示）．
解析：
∵P（A）＝，P（B）＝，
∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝＝.
答案：
[题组练透]
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都不中靶
解析：
选D 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．
2．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
解析：
设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．
答案：
A与B，A与C，B与C，B与D B与D
[谨记通法]
判断互斥、对立事件的2种方法
（1）定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
（2）集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
[题组练透]
1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为（ ）
A．49 B．0.5
C．0.51D．0.49
解析：
选C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为＝0.51.
2．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
217
200
300
85
98
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解：
（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
（3）与
（1）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1，
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
[谨记通法]
1．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
[提醒] 概率的定义是求一个事件概率的基本方法．
[典例引领]
某战士射击一次，问：
（1）若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？
（2）若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？
不够9环的概率为多少？
解：
（1）设中靶为事件A，则不中靶为.
则由对立事件的概率公式可得，
P（）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05.
即不中靶的概率为0.05.
（2）设命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，由题意知P（B）＝0.27，P（C）＝0.21，P（D）＝0.24.
记至少命中8环为事件E，
则P（E）＝P（B＋C＋D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）
＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72.
故至少命中8环的概率为0.72.
记至少命中9环为事件F，则不够9环为，
则P（F）＝P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝0.27＋0.21＝0.48.
则P（）＝1－P（F）＝1－0.48＝0.52.
即不够9环的概率为0.52.
[由题悟法]
求复杂互斥事件概率的2种方法
（1）直接法：
将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
（2）间接法：
先求此事件的对立事件，再用公式P（A）＝1－P（）求得，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．
[提醒] 应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和（或差）．
[即时应用]
（2019·洛阳模拟）经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：
（1）至多2人排队等候的概率是多少？
（2）至少3人排队等候的概率是多少？
解：
记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
（1）记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P（G）＝P（A∪B∪C）
＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
（2）法一：
记“至少3人排队等候”为事件H，则
H＝D∪E∪F，
所以P（H）＝P（D∪E∪F）
＝P（D）＋P（E）＋P（F）
＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：
记“至少3人排队等候”为事件H，
则其对立事件为事件G，
所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.
[题组练透]
1．（2019·浙江名校联考）春节期间，记者在天安门广场随机采访了6名外国游客，并从这6人中任意选取2人进行深度采访，则不同的选择情况有________种，若这6人中有2名游客会说汉语，则选取的2人中至少有1人会说汉语的概率为________．
解析：
不同的选择情况有C＝15种．
法一：
设“选取的2人中至少有1人会说汉语”为事件A，由题意知，P（）＝＝＝，则P（A）＝1－＝.
法二：
设“选取的2人中至少有1人会说汉语”为事件A，则P（A）＝＝＝.
答案：
15
2．（2019·嘉兴高三期末）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则恰好选到2名男生和1名女生的概率为________，所选3人中至少有1名女生的概率为________．
解析：
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，
基本事件总数n＝C＝20，
恰好选到2名男生和1名女生包含的基本事件个数m＝CC＝12，
∴恰好选到2名男生和1名女生的概率P1＝＝＝.
∵所选3人中至少有1名女生的对立事件是选到的3人都是男生，∴所选3人中至少有1名女生的概率P2＝1－＝.
答案：
3．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：
（单位：
人）
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
解：
（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15（人），
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.
（2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：
{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.
[谨记通法]
1．求古典概型概率的步骤
（1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（2）分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（3）利用公式P（A）＝，求出事件A的概率．
2．基本事件个数的确定方法
方法
适用条件
列表法
此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法
树状图法
树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求
排列、组合法
此法适合于基本事件数对应某排列数或组合数时的计数
[锁定考向]
古典概型在高考中常与平面向量、解析几何等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．
常见的命题角度有：
（1）古典概型与平面向量相结合；
（2）古典概型与直线、圆相结合；
（3）古典概型与函数相结合．
[题点全练]
角度一：
古典概型与平面向量相结合
1．设平面向量a＝（m,1），b＝（2，n），其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥（a－b）”为事件A，则事件A发生的概率为（ ）
A. B.
C.D.
解析：
选A 有序数对（m，n）的所有可能结果为：
（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．由a⊥（a－b），得m2－2m＋1－n＝0，即n＝（m－1）2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为（2,1）和（3,4），共2个，所以所求的概率P（A）＝＝.
角度二：
古典概型与直线、圆相结合
2．（2019·洛阳统考）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆（x－2）2＋y2＝2有公共点的概率为________．
解析：
依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组（a，b）有（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6），共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆（x－2）2＋y2＝2有公共点，即满足≤，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，a＝4时，有3种，a＝5时，有2种，a＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.
答案：
角度三：
古典概型与函数相结合
3．已知函数f（x）＝cos，a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f（x）在[0,4]上零点的个数不小于4的概率为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选B 依题意，函数f（x）在[0,4]上零点的个数不小于4等价于函数f（x）的周期的倍不大于4，即×≤4，解得a≥，故a＝4,5,6，而所有a的值共6个，所以函数f（x）在[0,4]上零点的个数不小于4的概率为.
[通法在握]
解决古典概型交汇命题的方法
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
[演练冲关]
1．（2019·湘中名校联考）从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1，1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 从集合A，B中随机选取后组合成的数对有（－2，－1），（－2,1），（－2,3），（－1，－1），（－1,1），（－1,3），（2，－1），（2,1），（2,3），共9种，要使直线ax－y＋b＝0不经过第四象限，则需a＞0，b＞0，共有2种满足题意，所以所求概率P＝，故选A.
2．（2019·宁海模拟）m∈{－2，－1,0,1,2}，n∈{－1,0,1}，随机抽取一个m和一个n，使得平面向量a＝（m，n），满足|a|＞2的概率为________．
解析：
当m＝－2,2，n＝－1,1时，满足|a|＞2.所以概率为＝.
答案：
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．（2019·宁波四校联考）甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）
A. B.
C.D.
解析：
选A ∵甲、乙两人参加学习小组的所有事件有（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9个，其中两人参加同一个小组的事件有（A，A），（B，B），（C，C），共3个，∴两人参加同一个小组的概率为＝.
2．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为（ ）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红球、黑球各一个
解析：
选D 红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件，故不是对立事件．
3．（2019·绍兴质检）5个车位分别停放了A，B，C，D，E5辆不同的车，现将所有车开出后再按A，B，C，D，E的次序停入这5个车位，则在A车停入了B车原来的位置的条件下，停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 若C停在原来位置上，则剩下三辆车都不停在原来位置上，共有9种方法，故所求概率为＝.
4．（2019·杭州高级中学联考）甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则不同的选法共有________种，2人所选课程至少有一门相同的概率为________．
解析：
甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则不同的选法共有CC＝36种.2人所选课程至少有一门相同，有36－C＝30种，∴2人所选课程至少有一门相同的概率为＝.
答案：
36
5．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________；事件B发生的概率为________．
解析：
设P（A）＝x，P（B）＝3x，
∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝x＋3x＝0.64.
∴P（A）＝x＝0.16，P（B）＝3x＝0.48.
答案：
0.16 0.48
二保高考，全练题型做到高考达标
1．（2019·宁波模拟）一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选D 抛掷两次该玩具共有16种情况：
（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），…，（4,4）．其中乘积是偶数的有12种情况：
（1,2），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）．所以两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是P＝＝.
2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则下面事件是互斥事件但不是对立事件的为（ ）
A．恰有1个白球和全是白球；
B．至少有1个白球和全是黑球；
C．至少有1个白球和至少有2个白球；
D．至少有1个白球和至少有1个黑球．
解析：
选A 由题意可知，事件C、D均不是互斥事件；A、B为互斥事件，但B又是对立事件，满足题意只有A，故选A.
3．（2019·安徽淮北一模）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选B 由题意知共有25种基本事件，其中没有相邻的两个人站起来包括如下情况：
没有人站起来，有1种基本事件；只有一个人站起来，有C＝5种基本事件；有两个人站起来，只有13,14,24,25,35这5种基本事件，因此所求概率为＝.
4．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选B 如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝＝.
5．已知集合M＝，N＝，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C 易知过点（0,0）与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x（斜率小于0的无需考虑），集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有（1,2），（1,3），（1,4），（2,4），共4个，故所求的概率是＝.
6．（2018·诸暨质检）用1,2,3,4,5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，则千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2（比如1524）的概率为________．
解析：
用1,2,3,4,5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，基本事件总数n＝A＝120，
其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的基本事件有：
1352,1425,1524,3142,3152,3524,3514,5241,5314，5142，共10个
∴千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2（比如1524）的概率为＝.
答案：
7．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
解析：
由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.
由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为
P（A）＝1－P（B）＝1－＝.
答案
升级会员 