关于Duffing方程的报告.docx

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关于Duffing方程的报告

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1Duffing方程的基本概念

混沌系统对微弱信号具有极强的敏感性同时对噪声具有极大的抑制能力，它的这种性质证明了混沌系统具有可应用于小信号检测的潜力，从检测过程中分析混沌运动发生的间歇性。

Duffing方程是一个在混沌系统小信号检测中被广泛使用的一个典型的非线性方程，即存在于噪声中的信号可以被Duffing振子通过从混沌运动状态到周期振荡状态的改变测试出来。

Duffing方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象（或随机过程）的简单数学模型。

因此，在非线性振动理论中研究Duffing方程具有重要的意义。

它的标准形式为:

其中，

为阻尼系数。

g（x）是含有三次方项的非线性函数，f（x,t）为一周期函数。

Duffing方程通常作如下分类：

1）假设g（x）满足超线性条件:

则称Duffing方程是超线性的;

2）假设g（x）满足次线性条件:

则称Duffing方程是次线性的;

3）假设g（x）满足半线性条件:

则称Duffing方程式半线性的。

若将Duffing方程规范化，有以下四种基本类型：

1）

2）

3）

4）

其中，类型1为硬特性Duffing方程；类型2和4成为软特性Duffing方程；类型3称为日本型，日本学者上田研究较多，并发现了日本吸引子，也称为Ueda吸引子；美国科学家P.Holmes对类型4的Duffing方程进行了深入的研究，因此类型4也称为P.Holmes型Duffing方程。

Duffing方程系统是一个典型的非线性振动系统，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。

工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程来研究，如船的横摇运动、结构振动、化学键的破坏等，横向波动方程的轴向张力扰动模型，转子轴承的动力学方程也与Duffing系统基本相似，另外Duffing系统也非常广泛地被应用到实际工程中，例如尖锐碰摩转子的故障检测、微弱周期信号检测、电力系统周期振荡分析、周期电路系统的模拟与控制等。

关于Duffing系统还有许多问题尚未彻底研究清楚，如Duffing方程的分数谐波振动、超谐波振动、组合振动等等，而且研究结果中规律性的成果可以推广到其他类似系统。

因此从某种角度来说，对非线性Duffing系统的研究是研究许多复杂动力学系统的基础。

2典型的Duffing方程的具体形式

典型的Duffing方程的具体形式为：

其中x（t）和x（t）为状态变量，rcos（t）为周期驱动力，M为阻尼比，-x（t）+x3（t）为非线性恢复力。

一般为了便于对系统的分析，同时达到降阶的目的，将系统描述如下：

在时域中，用x（t）-t或x（t）-t关系曲线描述状态变量x（t）或x（t）随时间t的变化规律称为时序图。

以x（t）为横轴和x（t）为纵轴所构成的平面称为相平面。

在相平面上做x（t）-x（t）关系曲线，表征系统状态的相点（x（t），x（t））随时间变化的轨迹称为相迹图。

3混沌理论的特征和论点

3.1混沌理论的特征

目前人们把混沌看成是一种无周期的有序。

它包括如下特征：

混沌的内在确定性：

它表面上看起来跟噪声很相似，但是又完全不同于噪声，在系统方程完全确定的情况下，不用添加随机参数，系统却会表现出随机的、任意的，无周期的、不可预测又永不重复的行为。

混沌的分形性质：

比如Lorenz吸引子，Henon吸引子都是混沌吸引子，它们都具有分形的结构；

混沌的标度不变性：

混沌现象是没有周期的，它是一种无序中的有序。

再由经分岔而走向混沌的通道中，还遵从Feigenbaum常数系。

混沌系统对初始值极其敏感：

就像“蝴蝶效应”一样，只要系统的初始值有微小的变化，就会使系统的结果出现巨大的改变。

由此可知对系统长期行为的预测是不能进行的，是不准确的。

3.2混沌理论的主要论点

耗散结构：

混沌系统被人们认为是具有耗散结构的，其中存在不同的子系统，它们都是不稳定的，互相不成比例也不相称，有时候达到某种状态时会出现混沌，此状态成为临界点或临界状态。

有时候也会趋向另一个层次的耗散结构。

蝴蝶效应：

这其实指的就是系统的初值敏感性。

比如，巴西的一只蝴蝶拍打翅膀，在一段时间以后，就会造成美国某个州的飓风。

这就是著名的蝴蝶效应，大气就是一个非线性的系统，有时候会出现混沌。

奇异的引子：

通俗的讲，吸引子只存在于耗散系统当中，由于有能量的消耗，随着时间的推移，相体积就会越来越小，维数也会越来越小。

最终达到一个极限状态，这就是吸引子，而不会回到原状态了。

而混沌吸引子不仅对初始状态高度敏感，而且还具有分数维结构。

它在整体上是稳定的，而在局部上有时是不稳定的，无法预测它的未来状态，所以法国物理学家儒勒和泰肯首次把它叫做奇异吸引子。

回馈机能：

1984年Prigogine提出，系统的过去决定着它未来的走向。

在系统的运行过程中——系统的结构可由非线性方程表示出——由吸引子产生出结果，并且回馈至系统成为新的输入。

系统就这样反复的进行并产生新的结构，所以此系统是不可逆的。

非线性：

就像前面提到的一样，理想的线性系统是不存在的，都是经过非线性系统的线性化近似得来的，世界上的系统都是非线性系统，世界万物之间都存在着复杂的联系，是不可分割的。

混沌系统也是非线性的。

3.3混沌的检测方法

检测混沌现象的方法有很多种，比如自关联函数、KS熵、宽频带功率谱、波形图与相轨图、庞加莱映射图等，其中最主要的就是以下几种：

功率谱：

系统运动的功率谱是数字信号处理的主要内容之一，可以通过信号处理系统得到，也可以通过A/D转换，把模拟信号转换成数字信号以后，通过计算机运算得出。

在功率谱图中周期运动通常表现为尖锋，当系统出现混沌时，功率谱图会中出现"噪声背景"和宽锋。

这也是研究系统从分岔走向混沌的重要方法。

相空间重构：

相空间重构技术是检测混沌的简单而有效的办法。

它的主要原理就是区别噪声和混沌相轨线的区别。

混沌是一个成体稳定和局部不稳定的混合体，它对初值相当的敏感。

而且混沌运动在相轨线中表现出不规则的螺旋型曲线，这是它和噪声的重大区别。

这种方法也存在很大的局限性，当系统超过2维的时候，你将很难把它同噪声区别开来。

李雅普诺夫指数和维数：

在非线性动力学的长期研究中，普遍使用李雅普诺夫指数和维数来判断系统的状态。

因为，混沌吸引子是整体上稳定的，而在局部又是不稳定的，是伸长与折叠的结果。

所以，根据李雅普诺夫指数的定义，如果混沌吸引子形成局部不稳定的身长，则至少有一个李雅普诺夫指数为正，只有混沌吸引子才有这样的特征，因此也成为定量判断混沌吸引子的依据。

与指数类似，根据李雅普诺夫维数的计算公式也可以定量的判断混沌是否存在。

众所周知，混沌吸引子是具有分数维结构的，它的分数维维数反映了它与其他吸引子相区别的特征。

4典型混沌系统和混沌同步的简介

4.1典型混沌系统的介绍

混沌从表述形式上大体包括两大类：

以微分方程表述的时间连续函数和以状态方程表述的时间离散函数。

时间离散系统多用于扩频通信，而时间连续函数多见于保密通信之中。

介于本文主要考虑连续系统在保密通信之中的应用，这里就重点介绍连续时间混沌系统中的典型模型：

Lorenz系统、蔡氏电路、统一混沌系统。

4.1.1Lorenz系统

混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。

他提出了著名的Lorenz方程组：

（4-1）

这是一个三阶常微分方程组。

它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t，一般称作自治方程。

式中x表示对流强度，y表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz和xy为非线性项，b是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素（如贝纳对流上下板的温度差△T）和抑制对流因素（如（Prandtl）数粘性）之比，是系统（4-1）的主要控制参数。

是普朗特数（v和k分别为分子粘性系数和热传导系数），c代表与对流纵横比有关的外形比，且a和c为无量纲常数。

在参数范围为

时，Lorenz系统均处于混沌态。

在混沌区域内选择系统参数a=10,b=28，c=8/3，取系统的初始状态为[x（0）,y（0）,z（0）]=[10,10,10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图4.1所示，二维吸引子如图4.3所示，图4.2所示分别为分量x、y随时间t的变化情况。

图4.1Lorenz系统的吸引子

图4.2分量x随时间t的变化情况

图4.3Lorenz系统的x-y相图

总体上，Lorenz吸引子由左右两个环套而成，每个环绕着一个不动点，它实际上是一条双螺旋的曲线，就像以十分灵巧的方式交织起来的一对蝴蝶的翅膀。

这个吸引子中的环和螺线有无穷的深度，它们之间可以无限靠近，但永远不会相交，仅占据有限的空间，具有无穷嵌套的复杂结构。

例如，随着时间的演化，每一个环都靠得很近的无穷多层，每层上都密密麻麻的排列着无穷多个螺线，它代表系统的相点在右侧转几圈后又跳到左侧转几圈，运动轨道无法预测什么时候从这一侧过渡到另一侧，并且它所绕各自中心的方式和圈数也是个明显的随机数。

这就是混沌状态。

4.1.2蔡氏电路

在诸多用于混沌研究的非线性电路系统中，有一类是分段线性的非线性系统，它们共同的特点是易于进行数学分析和物理实现。

其中蔡氏电路最为著名。

在许多文献中都以蔡氏电路为基础研究了混沌现象。

它的优点在于极为简单的系统就产生了极为复杂的动力学行为，人们从不同角度研究蔡氏电路以及它的变形电路，发现了几乎所有目前已知的动力学现象，如倍周期分叉、周期运动、阵发性混沌、奇异非混沌、混沌等。

蔡氏电路及其变形电路己经成为研究动力学行为的一个重要模型，而且蔡氏电路的应用研究已经遍及诸多领域，如保密通信、手写特征识别、音乐的产生，以及利用蔡氏电路组成的时空系统进行轨迹识别等。

蔡氏电路是一个三维自治振荡系统，如图4.4（a）所示，由四个线性元件电感L,电阻R，电容C1，C2和非线性电阻N组成。

蔡氏电路可由以下状态方程描述：

（4-2）

其中G=1/R，

是蔡氏二极管的分段线性

特性，如图4.7（b），表示

（4-3）

现简化电路，令

，我们可得到该电路的无量纲方程：

（4-4）

其中

（4-5）

（a）蔡氏电路

（b）

伏安特性

图4.4蔡氏电路及其非线性电阻特性

分析该混沌电路模型有如下特点：

（1）方程（4-4）关于状态空间原点是对称的，即式（4-4）中的（（x,y,z）用（-x,-y,-z）代替时，方程保持不变。

且在状态空间的三个子空间

中各有一个平衡点，分别记为：

，其中

。

（2）在上述的子空间中，方程均属线性，取：

令

则系统的状态方程可写成：

（4-6）

蔡氏二极管的伏安特性与参数

的选取有关，其中

的大小直接关系到蔡氏电路的解行为和吸引子的结构。

为简便起见，将蔡氏电路中的吸引子分成两类：

当

，称为第一种蔡氏吸引子；当

称为第二种蔡氏吸引子。

这里只仿真第一类混沌吸引子。

取

时，初始值为

，其吸引子如图4.5，4.6所示。

图4.5蔡氏电路第一类混沌吸引子

图4.6蔡氏电路的

相图

4.1.3统一混沌系统

1963年，美国气象学家E.N.Lorenz在对流实验中发现了第一个混沌吸引子，Lorenz吸引子为混沌研究提供了一个重要模型。

七十年代以来掀起了一股揭示混沌现象，研究混沌理论的热潮。

1999年，陈关荣教授在研究混沌反控制过程中发现了一个与Lorenz类似的混沌吸引子--Chen吸引子[24]。

2002年，吕金虎、陈关荣等又提出了一个新的混沌系统--统一混沌系统[25-27]，这一系统连接了Lorenz吸引子和Chen吸引子。

统一混沌系统的数学模型为：

（4-7）

式（4-7）中

为系统参数，当

时系统均为混沌态。

当

时，统一系统属于广义Lorenz系统；当

时，统一系统属于广义Chen系统；

属于广义

系统。

现以

为例，给出统一混沌系统吸引子的数值仿真结果，如图4.7，4.8所示。

图4.7统一混沌系统的吸引子

图4.8统一混沌系统的

相图

理论分析和数值实验表明，Chen吸引子相比Lorenz吸引子具有类似但不同、而且是更加复杂的拓扑结构和动力学性质。

统一混沌系统本质上是Lorenz系统和Chen系统的凸组合，代表了由中间无穷多个混沌系统组成的整个族，具有连接Lorenz系统和Chen系统的重要作用。

当参数

由0增加到1时，系统（4-7）由Lorenz吸引子穿过临界吸引子然后连续演变到Chen吸引子。

当

=0.8时，统一混沌系统的最大Lyapunov指数达到Lyapunov指数谱的最高峰，

。