二元连续函数在有界闭区域上的最值研究毕业论文docx.docx

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楚雄师范学院

本科生毕业论文

题目：

二元连续函数在有界闭区域上的最值研究

系

（院）:

数学系

专

业：

数学与应用数学

姓

名：

韩金伟

学

号：

20091021135

指导教师：

黄英

职称：

副教授

论文字数：

5000字左右

完成日期：

2013

年5月

教务处抑制

摘要：

II

关键词：

II

Abstract:

Ill

Keywords:

Ill

1、弓丨言1

2、二元连续函数在有界闭区域上的最值研究1

一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值1

（一）二元连续函数在圆域上的最值1

（二）二元连续函数在椭圆域上的最值4

二、二元连续函数在多边形区域上的最值6

三、二元连续函数在其他图形所围成的闭区域上的最值8

（一）二元连续函数在扇形区域上的最值8

（二）二元连续函数在曲边梯形区域上的最值10

参考文献13

致谢14

二元连续函数在有界闭区域上的最值研究

摘要：

本文主要对二元连续函数在二次曲线围成的封闭区域，多边形区域和一些特殊图形围成的封闭区域上的最值进行了研究.

关键词：

二元函数；最值；闭区域；有界；圆域；椭圆域；扇形域

Continuousfunctionsoftwovariablesinthestudyregiononthe

closedboundaryvalue

Abstract：

Thisarticlemainlyforbivariatecontinuousfunctionformaclosedcurveofthesecondregion,formaclosedpolygonareaandanumberofspecialgraphicsontheregionalstudieswiththemostvalue.

Keywords：

Thebinaryfunction；Bestvalue；Closedareas；Bounded；Circulardomain；Ellipticaldomain；Fan-shapeddomain

1、引言

我们可以把二元函数看成是一元函数的一个推广，但是二元函数的最值问题却与一元函数的最值问题大有不同.首先，二元函数f（x,y）的定义域是平面点集，或是平面点集的子集，故二元函数f（x,y）的定义域和自变量要比一元函数/Xx）要复杂的多；其次，二元函数的最值可能出现在边界曲线上，所以二元函数的最值问题要比一元函数的最值问题更加复杂.二元函数的最值问题是高等数学的常见问题.但现有的材料和相关论文却相对很少，针对这一现状我们对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题展开了相应的研究，在不同的区域内二元连续函数的最值情况也是多种多样的,所以对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题进行研究也就成为了一个非常有意义的研究性问题之一.

2、二元连续函数在有界闭区域上的最值研究

一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值

（-）二元连续函数在圆域上的最值

如何求二元连续函数Z=f（x,y）在圆域D={（x,y）\（x-a）2+（y-b）2V八}上的最值，我们分两步处理，先求它在圆域內可能出现的最值，再求它在圆域边界上可能出现的最值.

首先我们对二元函数Z=f（x,y）求一阶偏导数，令

Z*—fy）=0,

[z；=_/>』）=0,其^{（x,y）\（x-a）2+（y-b）2

求出函数的驻点必亿,升）（心1,2,3,…）,因为必亿,升）（心1,2,3,…）不一定都是二元函数的极值点,所以还要对驻点进行判别，令A=z；=£（x;,z.）,B=Zxy=£；（兀j）,C=z；=.当

B2-AC<0时,p（x;,y;）（i=1,2,3,•••）是二元函数f（x,y）的极值点，所以它可能是最值点；当B2_4C=0时,p（x,,）（i=1,2,3,•••）不能判定是否是二元函数f（x,y）的极值点，它也可能是最值点；当B2-AC>0时,p（x,,y;）（i=1,2,3,•••）不是二元函数f（x,y）的极值点，也就不可能是最值点.[10H16-17]再将满足条件的B--ACV0的驻点代入到Z=f（x,y）中求出相应的函数值求函数f（.r,y）在圆域边界上的函数值，我们可用两种方法来求解.第•种方法是拉格朗日乘数法，引入拉格朗日函数/=f（x,y）-2[（x-a）2+（y-Z?

）2-r2],xe[a-r,a+r],对函数求一阶偏导数之后,令

lx=£（x,y）+2Ax-2aA.=0,

l'A=（X-a）2+（y-b）2-r2=0,

求解方程组可得到圆域边界上的极值点M=1,2,3,■■■）,代入到Z=f（x,y）中求得圆域边界上的函数值

Z.=f（xpy.）（j=l,2,3,---）.⑵

综合圆域内的函数值

（1）和圆域边界上的函数值

（2）,通过比较函数值的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值.

求圆周曲线上可能出现的最值点，我们还可以用转换法求解，将圆方程（x-a）2+（y-Z?

）2=r2变形为y=土护弋冷+b,把它代入到Z=f（x,y）中，可以得到相应的一个一元函数Z=f（%,+^/r2-（x-a）2+b）,xe[a-r,a+r],通过求这个一元函数的极值点，从而可得到函数Z=f（x,y）在圆域边界上可能出现的最值点，进而求得相应的函数值

Z,=f（xk,±^r2~（xk-a）2+b）（k=1,2,3,■■■）,（3）

再求Z=f（%,+^/r2-（x-a）2+Z?

）,xe[a-r,a+r]的端点值

Zkl=f（a-r,+b）,Zk2=f（a+r,b）.（4）

最后通过比较所得函数值

（1）,（3）和（4）的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值.

例1求二元函数/（x,y）=x2+2y2-x2y2+6在有界闭区域£>={（x,y）Ix2+y2<4}±的最直

解由

=2x-2妒=o,

[fy（x,y）=4y-2/y=0,其中{（x,y）I/+y?

<4},

知二元函数/（x,y）的驻点为Pi（",l）,p2（-V2,l）,p3（V2,-l）,p4（-V2,-l）,p5（0,0）.再进一步

求出A=f；（x,y）=2-2y2,B=y）=-4xy,C=y）=4-2x2.当驻点为“（",1）时，B2-AC=24〉0,所以驻点P1（V2,1）不是二元函数f（x,y）的极值点（即不是最值点），故舍去.同理，当驻点为血（-血」），卩3（血，T），几（-血，T）时,都分别求得B2-AC=24>0,所以驻点血（-血,1），必（、伍，-1），P4（-V2-1）都不是二元函数f（x,y）的极值点（即不是最值点），故全部舍去.当驻点为卩5（0,0）时,B2-AC=-S<0,所以驻点必（0,0）是函数的极值点，代入f（x,y）可

得函数值f（0,0）=6.对于二元函数f（x,y）在圆周曲线/+y2=4上的最值,我们分别用两种方法讨论.

1）拉格朗日乘数法.设l=x~+2y--x-y~+6+2（/+y2-4）,xe[-2,2],对它求阶偏数之后,

lx=2x-2xy2+2Ax=0,

<（=4y-2x'y+2A.y=0,

l\=x2+y2-4=0,

-re[-2,2]可知隆（0,2）,M6（0,-2）,M7（2,0）,Ms（-2,0）也是可能的最值点，分别代入到f（x,y）

中求得可能的最值有去（0,2）=14,人（0,—2）=14,人（2,0）=10,厶（—2,0）=10.综合上述圆域内

31

和圆域边界上所得出的最值有6,—,10和14,通过比较最值的大小可得到二元连续函数f（x,v）

4-

在圆域上的最大值为14,最小值为6.

2）转换法.将圆方程转化为y2=4-x2,xe[-2,2],把它代入到二元函数f（x,y）中，得到一个一元

函数/（.r）=.r4-5.x2+14,对它求■阶导数可得/'（.r）=4.r3-10.r,令f（x）=4疋—10x=0,求解

方程可得一元函数fix）的极值点有%!

=0,^2=^|和£

R31[531

/（X）中,求得圆域边界上的函数值为f（0）=14,=.再求得曲线端点处

31的函数值为f（-2）=10,几2）=10.综合上述圆域内的函数值和圆域边界上的函数值有6,14,—

4

和10,通过比较函数值的大小可以得到二元函数f（x,y）在圆域上的最大值为14,最小值为6.

（-）二元连续函数在椭圆域上的最值

22

求二元连续函数z=y（x,y）在椭圆域D={（x,y）I二+刍V1}上的最直我们可以分为椭圆crb-

域内的函数最值和椭圆域边界上的函数最值两部分进行求解.

首先对二元连续函数Z=f（x,y）求一阶偏导数，令

Z*—fx（x,y）=0,

J22

z；=f'y（X,y）=0,其中{（x,y）12+£<1}

求解方程组可得函数f（x,y）的驻点/?

（%,,y;）（i=1,2,3,•••）,因为驻点p;（x;,y,）（z=1,2,3,•••）不一定都是f（x,y）的极值点，所以还要对驻点进行判别，令A=Z；=£（x,,y,）,B=Z；=（x;,y,）

C=Z；=同在圆域内的判别方法一样，将B2-AC<0的驻点代入到Z=f（x,y）中求

出相应的函数值

Z;=f（x,.,Z）a=l,2,3,---）.⑸

对于二元函数在椭圆域边界上的最值，我们同样可以用两种方法来进行讨论.方法一:

拉格朗日

22

乘数法•令I=f（x,y）-2（—+—1）,xg[-,对它求一阶偏导数之后，令

ab

.‘2Ax

a

二*（3）+等=0,

22

I一―_o

V~a2b2-

解方程组可得到椭圆域边界上的极值点M.（xry.）（j=l,2,3,---），代入函数乙=f（x,y）中，求得椭

圆域边界上的函数值

综合上述得出椭圆域内的函数值（4）和椭圆域边界上的函数值（5），通过比较所得函数值的大小可得到二元函数f（x,y）在椭圆域上的最大值和最小值.

X

方法二:

转换法.将椭圆方程亠+

a'

值（即二元函数f（x,y）在椭圆域边界上可能的函数值）得

综合上述椭圆域内的函数值（5）和椭圆域边界上的函数值（7）与（8），通过比较所得函数值的大小可得到二元函数在椭圆域上的最大值和最小值.

例2求二元函数弘y—+2在椭圆区域”{（“于+亍]}上的最大值和最

小值.

解由

f；（x,y）=2x=0,

J22

几（*,y）=-2y=0,其中{（x,y）I—7+忤<1}

I■a~d

可得f（x,y）唯一的驻点p（0,0）