带电粒子在磁场中运动之临界与极值问题.docx
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带电粒子在磁场中运动之临界与极值问题
考点4.6临界与极值问题
考点461“放缩圆〞方法解决极值问题
1、圆的“放缩〞
当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的
强弱B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化•在确定粒
子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件.如下图，粒子进入长方
形边界OABC形成的临界情景为②和④
面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B,方向垂直
/'V
••*“曲**
**■
••«■•••
ph◎加曾
于纸面向外。
一带电粒子的质量为m，电荷量为q〔q>0〕。
粒
子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。
该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。
不计重
力。
粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为〔〕
mv3mv2mv4mv
A.B.C.D_
2qBqBqBqB
3.〔多项选择〕长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如
以下图所示，磁感应强度为B,板间距离也为L,板不带电，现有
质量为m,电荷量为q的带正电粒子〔不计重力〕，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度
v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是〔〕
a、使粒子的速度v<4m
B使粒子的速度v>；m
A.
2qBL
g
B.
2qBLv>
qBL
qBL
C.\
D.v>m
5.
如下图，条形区域
AA'、BB中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为
B,
d.—束带正电的某
AA'、BB为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度为
种粒子从AA'上的0点以大小不同的速度沿着AA成60°角方向射入磁场，当粒子的速度小于某一值vo时，粒子在磁场区域内的运动
时间为定值to；当粒子速度为vi时，刚好垂直边界BB射出磁场.不计粒子所受重力•求：
（i）粒子的比荷q；
⑵带电粒子的速度vo和vi.
6.如下图，两个同心圆，半径分别为r和2r,在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里
的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m,带电荷量为q,假设粒子速度方向都和纸面平行.
（1）图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°,要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，那么初速度的大小是多少？
（2）要使粒子不穿出环形区域，那么粒子的初速度不能超过多少？
7.如下图，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大
值之间的各种数值•静止的带电粒子带电荷量为+q，质量为m〔不计重力〕，从点P经电
场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B,方向垂直于
纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为0=45°孔Q到板的下端C
的距离为L,当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求:
〔1〕两板间电压的最大值Um；
〔2〕CD板上可能被粒子打中的区域的长度x;
〔3〕粒子在磁场中运动的最长时间tm.
8.如下图，0P曲线的方程为：
y=1—0.4.：
6.25-x〔x,y单位均为m〕，在OPM区域存在水平
向右的匀强电场，场强大小E1=200N/C〔设为I区〕,PQ右边存在范围足够大的垂直纸面向
内的匀强磁场，磁感应强度为B=0.仃〔设为H区〕，与x轴平行的刚上方〔包括PN存在竖直
向上的匀强电场，场强大小E2=100N/C〔设为川区〕,
PN的上方h=3.125m处有一足够长的紧靠y轴水平放置的荧光屏AB,OM的长度为a=6.25m。
今在曲线OP上同时由静止释放质量m=1.6x125kg，电荷量e=1.6x110c的带正电的粒子2000个〔在OP上按x均匀分布〕。
不考虑粒子之间的相互作用，不计粒子重力，求：
〔1〕粒子进入n区的最大速度值；
〔2〕粒子打在荧光屏上的亮线的长度和打在荧光屏上的粒子数;
〔3〕粒子从出发到打到荧光屏上的最长时间。
2.定圆“旋转〞
考点462旋转圆〞方法解决极值问题
当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r是确定的•在确定粒子
运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如下图为粒子进入单边界磁场时的情景.
【例题】如下图，在0纟w：
3a区域内存在与xy平
面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0
时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大
量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0—180°范围内.沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上
P（,'3a,a）点离开磁场.求：
⑴、粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m;
⑵、此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围;
⑶、从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间.
屏上的一个小孔.PC与MN垂直.一群质量为m、带电量为一q的粒子〔不计重力〕，以相
同的速率v,从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域.
12.如下图，边界OA与0C之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源
S.某一时刻，粒子源S向平行于纸面的各个方向发射出大量带正电荷的同种粒子〔不计粒子
的重力及粒子间的相互作用〕，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界0C射出磁场•/AOC=60°从边界oc射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T〔t为粒子
最长时间为〔
T
A二
在磁场中运动的周期〕，那么从边界0C射出的粒子在磁场中运动的
〕
T2T5T
B2C•亍Dp
13.
〔多项选择〕如下图，宽d=2cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂
直纸面向内.现有一群带正电的粒子从0点以相同的速率
沿纸面不同方向进入磁场，假设粒子在磁场中做匀速圆周运
1
XX
动的轨道半径均为r=5cm,那么〔〕
XX
XX
A.右边界：
-4cmvyw4cnrt勺范围内有粒子射出
XX:
XX
2xAMn
B.右边界：
y>4cm和yv-4cm的范围内有粒子射出
XX
C.左边界：
y>8cm的范围内有粒子射出
XX
XX:
D.左边界：
Ovyw8cm的范围内有粒子射出
14.如下图，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，
P为磁场边界上的一
点•大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内沿各个方向
C、与y轴正方向成120。
角射出的粒子在磁场中运动的时间最长
D、与y轴正方向成90。
角射出的粒子在磁场中运动的时间最长
16.如下图，在矩形区域abed内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.在ad边
中点0的粒子源，在t=0时刻垂直于磁场发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od的夹角分布在0〜180°范围内•沿Od方向发射的粒子在t=to时刻刚好从磁场边界ed上的P点离开磁场，ab=1.5L,be=，'‘3L，粒子在磁场中做圆周运动的半径R=L,不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求：
（1）
粒子在磁场中的运动周期T;
（2）粒子的比荷；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间.
17.如下图，在xOy坐标系坐标原点O处有一点状的放射源，它向xOy平面内的x轴
上方各个方向发射a粒子，a粒子的速度大小均为Vo,在02
E3mvo
轴正方向的匀强电场，场强大小为2qd，其中q与m分别为a粒子的电量和质量；
在d为一块很大的平面感光板垂直于xOy平面且平行于x轴，放置于y=2d处，如下图.观
察发现此时恰好无粒子打到ab板上.（不考虑a粒子的重力及粒子间的相互作用），求:
（1）a粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小及距y轴的最大距离
（2）磁感应强度B的大小；
（3）
将ab板至少向下平移多大距离才能使所有的粒子均能打到板上？
此时ab板上被a粒子打中的区域的长度.
考点463最小磁场区域求解问题
18.一带电粒子，质量为m、电荷量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第I象限所示的区域〔以下图所示〕•为了使该粒子能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.假设此磁场
仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计.
19.在如下图的平面直角坐标系xOy中，有一个圆形区域的匀强磁场〔图中未画出〕，磁场方
向垂直于xOy平面，O点为该圆形区域边界上的一点.现有一质量为m、带电荷量为+q
的带电粒子〔不计重力〕从O点以初速度V0沿x轴正方向进入磁场，粒子经过y轴上P点时速度方向与y轴正方向夹角为0
=30°OP=L,求:
〔1〕磁感应强度的大小和方向；
〔2〕该圆形磁场区域的最小面积.
e1
\
y
\\
乂
y
0
%%
20.如下图，MN为绝缘板，CD为板上两个小孔，AO为CD的中垂线，在MN的下方有匀强磁场，方向垂直纸面向外（图中未画出），质量为m电荷量为q的粒子（不计重力）以某一速度从A点平行于MN的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场（电场方向指向0点），图中虚线圆弧的半径为R,其所在处场强大小为E,假设
离子恰好沿图中虚线做圆周运动后从小孔C垂直于MN进入下方磁场.
（1）求粒子运动的速度大小;
（2）粒子在磁场中运动，与MN板碰撞，碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，之后恰好从小孔D进入MN上方的一个三角形匀强磁场，从A点射出磁场，那么三角形磁场区域最小面积为多少？
MN上下两区域磁场的磁感应强度大小之比为多少？
（3）
粒子从A点出发后，第一次回到A点所经过的总时间为多少？
21.电子对湮灭是指电子“e〞和正电子“?
〞碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是
正电子发射计算机断层扫描（PET及正子湮灭能谱学（PAS的物理根底•如下图,
在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且一・=2L,Q点在负y轴上某处.在第I象限内有平行于y轴的匀强电场，在第n象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，一|-=L,在第W象限内有一未知的圆形区域（图中未画出），未知圆形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里.一束速度大小为vo的电
子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出电场区域；另
束速度大小为班切的正电子束从Q点沿与y轴正向成45。
角的方向射入第W象限，而后进入未知圆形磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向相反.正负电子质量均为m、电量均为e,
电子的重力不计.求：
（1）圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和
第I象限内匀强电场的场强E的大小；
（2）电子子从A点运动到P点所用的时间；
（3）Q点纵坐标及未知圆形磁场区域的最小面积
S.
22.如下图的直角坐标系中，在直线x=—2lo到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反
的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。
在电场左边界上A（—2lo,—lo）到C（—2lo,0）区域内，连续分布着电量为+q、
质量为m的粒子.从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度vo沿x轴
正方向射入电场.假设从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A（0,lo）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图.不计粒子的重力及它们间的相互作用.
⑴求匀强电场的电场强度E;
⑵求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？
⑶假设以直线x=2lo上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2lo与圆形磁场边界的
一个交点处，而便于被收集，那么磁场区域的最小半径是多大？
相应的磁感应强度B是多
大？
■
■*
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1
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1
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0
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