无刷直流电机数学模型完整版.docx
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无刷直流电机数学模型完整版
电机数学模型
以二相导通星形三相六状态为例，分析BLDC的数学模型及电磁转矩等特性。
为了便于分析，假定：
a）三相绕组完全对称，气隙磁场为方波，定子电流、转子磁场分布皆对称；b）忽略齿槽、换相过程和电枢反应等的影响；
c）电枢绕组在定子内表面均匀连续分布；
d）磁路不饱和，不计涡流和磁滞损耗。
则三相绕组的电压平衡方程可表示为：
（1）
式中：
为定子相绕组电压（V）；
为定子相绕组电流（A）；
为定子相绕组电动势（V）；L为每相绕组的自感（H）；M为每相绕组间的互感（H）；p为微分算子p=d/dt。
三相绕组为星形连接，且没有中线，则有
（2）
（3）
得到最终电压方程：
（4）
r
L-M
i
a
r
L-M
e
b
e
a
e
c
i
b
r
L-M
i
c
图.无刷直流电机的等效电路
无刷直流电机的电磁转矩方程与普通直流电动机相似，其电磁转矩大小与磁通和电流幅值成正比
（5）
所以控制逆变器输出方波电流的幅值即可以控制BLDC电机的转矩。
为产生恒定的电磁转矩，要求定子电流为方波，反电动势为梯形波，且在每半个周期内，方波电流的持续时间为120°电角度，梯形波反电动势的平顶部分也为120°电角度，两者应严格同步。
由于在任何时刻，定子只有两相导通，则：
电磁功率可表示为：
（6）
电磁转矩又可表示为：
（7）
无刷直流电机的运动方程为：
（8）
其中为电磁转矩；
为负载转矩；B为阻尼系数；为电机机械转速；J
为电机的转动惯量。
传递函数：
无刷直流电机的运行特性和传统直流电机基本相同，其动态结构图可以采用直流电机通用的动态结构图，如图所示：
U（s）
+
I（s）
1/RCt
T（s）
C
+
365/（GD^2s）
N（s）
-
-
T（s）
L
Ce
图2.无刷直流电机动态结构图
由无刷直流电机动态结构图可求得其传递函数为:
式中：
K为电动势传递系数，，Ce为电动势系数；
1
K为转矩传递函数，，R为电动机内阻，Ct为转矩系数；
2
T为电机时间常数，，G为转子重量，D为转子直径。
m
基于MATLAB的BLDC系统模型的建立
在Matlab中进行BLDC建模仿真方法的研究已受到广泛关注，已有提出采用节点电流法对电机控制系统进行分析，通过列写m文件，建立BLDC仿真模型，这种方法实质上是一种整体分析法，因而这一模型基础上修改控制算法或添加、删除闭环就显得很不方便；为了克服这一不足，提出在Matlab/Simulink中构造独立的功能模块，通过模块组合进行BLDC建模，这一方法可观性好，在原有建模的基础上添加、删除闭环或改变控制策略都十分便捷，但该方法采用快速傅立叶变换（FFT）方法求取反电动势，使得仿真速度受限制。
本文提出了一种新型的BLDC建模方法，将控制单元模块化，在Matlab/Simulink建立独立的功能模块：
BLDC本体模块、电流滞环控制模块、速度控制模块、参考电流模块、转矩计算模块和电压逆变模块，对这些功能模块进行有机整合，即可搭建出无刷直流电机系统的仿真模型。
在建模过程中，梯形波反电动势的求取方法一直是较难解决的问题[27,28]，本文采用分段线性法成功地化解了这一难点，克服了建模方法存在的不足。
Matlab6.5针对电气传动控制领域所设计的工具箱SimPowerSystemToolbox2.3已提供了PMSM的电机模型，但没有给出BLDC的电机模型。
因此，本文在分析
无刷直流电机数学模型的基础上，借助于
Matlab强大的仿真建模能力，在
Matlab/Simulink中建立了BLDC控制系统的仿真模型。
BLDC建模仿真系统采用双闭环控制方案：
下即为BLDC建模的整体控制框图，其中主要包括：
BLDC本体模块、电流滞环控制模块、速度控制模块、参考电流模块、转矩计算模块和电压逆变模块。
BLDC本体结构
（1）BLDCM
本体模块
在整个控制系统的仿真模型中，BLDCM
本体模块是最重要的部分，该模块根据
BLDC电压方程式（4）求取BLDC三相相电流，结构框图如图所示
图.BLDCM本体模块结构框图及其封装形式
在整个控制系统的仿真模型中，BLDC本体模块是最重要的部分，该模块根据BLDC电压方程式（2-4）求取BLDC三相相电流，而要获得三相相电流信号ia，ib，ic，必需首先求得三相反电动势信号ea，eb，ec控制框图如图2-11所示。
而BLDC建模过程中，梯形波反电动势的求取方法一直是较难解决的问题，反电动势波形不理想会造成转矩脉动增大、相电流波形不理想等问题，严重时会导致换相失败，电机失控。
因此，获得理想的反电动势波形是BLDC仿真建模的关键问题之一。
本文采用了分段线性法，如图2-12所示，将一个运行周期0°～360°分为6个阶段，每60°为一个换相阶段，每一相的每一个运行阶段都可用一段直线进行表示，根据某一时刻的转子位置和转速信号，确定该时刻各相所处的运行状态，通过直线方程即可求得反电动势波形。
分段线性法简单易行，且精度较高，能够较好的满足建模仿真的设计要求。
因而，本文采用分段线性法建立梯形波反电动势波形。
理想情况下，二相导通星形三相六状态的BLDC定子三相反电动势的波形如图2-12所示。
图中，根据转子位置将运行周期分为6个阶段：
0～π/3，π/3～2π/3，2π/3～π，π～4π/3，4π/3～5π/3，5π/3～2π。
以第一阶段0～π/3为例，A相反电动势处于正向最大值Em，B相反电动势处于负向最大值-Em，C相反电动势处于换相阶段，由正的最大值Em沿斜线规律变化到负的最大值-Em。
根据转子位置和转速信号，就可以求出各相反电动势变化轨迹的直线方程，其它5个阶段，也是如此。
据此规律，可以推得转子位置和反电动势之间的线性关系，如表2-1所示，从而采用分段线性法，解决了在BLDC本体模块中梯形波反电动势的求取问题。
a
b
c
Em
e
-Em
Em
e
-Em
Em
e
-Em
pos
pos
pos
0π/32π/3π4π/35π/32π
图.三相反电动势波形
转子位置和反电动势之间的线性关系表
转子位置
0~π/3
e
a
K*w
e
b
-K*w
e
c
K*w*（（per-pos）/
π/3~2π/3K*w
K*w*（（pos-π/6
-per）/（π/6）-1）
（π/6）+1）
-K*w
2π/3~π
K*w*（（per+2*π/3
-pos）/（π/6）+1）
K*w
-K*w
π~4π/3-K*wK*w
K*w*（（pos-π-per）
/（π/6）-1）
4π/3~5π/3-K*w
K*w*（（per+4*π/3
-pos）/（π/6）+1）
K*w
5π/3~2π
K*w*（（pos-5*π/3
-per）/（π/6）-1）
-K*w
K*w
表中：
K为反电动势系数（V/（r/min），pos为角度信号，w为转速信号，转数per=fix（pos/（2*pi））*2*pi，fix函数是实现取整功能。
根据上式，用M文件编写反电势系数的S函数如下：
反电动势S函数（emf.m）
%=========================================================
%BLDCM模型中反电动势函数
%=========================================================
function[sys,x0,str,ts]=emf（t,x,u,flag）
switchflag
case0,%初始化设置
[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;
case3,%输出量计算
sys=mdlOutputs（t,x,u）;
case{1,2,4,9}
sys=[];
otherwise
%未定义标志
%错误处理
error（['unhandledflag=',num2str（flag）]）;
end
%=========================================================%mdlInitializeSizes进行初始化，设置系统变量的大小%=========================================================
function[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes（）
sizes=simsizes;
%取系统默认设置
sizes.NumContStates=0;
sizes.NumDiscStates=0;
sizes.NumOutputs=3;
sizes.NumInputs=2;
sizes.DirFeedthrough=1;
sizes.NumSampleTimes=1;
sys=simsizes（sizes）;
x0=[];
str=[];
ts=[-10];
%=========================================================%mdlOutputs计算系统输出%=========================================================
functionsys=mdlOutputs（t,x,u）
globalk;
globalPos;
globalw;
k=0.060;
w=u
（1）;
Pos=u
（2）;
%V/（r/min）反电动势系数%转速（rad/s）
%角度（rad）
ifPos>=0&Pos<=pi/3
sys=[k*w,-k*w,k*w*（（-Pos）/（pi/6）+1）];
elseifPos>=pi/3&Pos<=2*pi/3
sys=[k*w,k*w*（（Pos-pi/3）/（pi/6）-1）,-k*w];
elseifPos>=2*pi/3&Pos<=pi
sys=[k*w*（（2*pi/3-Pos）/（pi/6）+1）,k*w,-k*w];
elseifPos>=pi&Pos<=4*pi/3
sys=[-k*w,k*w,k*w*（（Pos-pi）/（pi/6）-1）];
elseifPos>=4*pi/3&Pos<=5*pi/3
sys=[-k*w,k*w*（（4*pi/3-Pos）/（pi/6）+1）,k*w];
elsePos>=5*pi/3&Pos<=2*pi
sys=[k*w*（（Pos-5*pi/3）/（pi/6）-1）,-k*w,k*w];
end
转矩计算模块
根据BLDC数学模型中的电磁转矩方程式，可以建立图5.7所示的转矩计算模块，模块输入为三相相电流与三相反电动势，通过加、乘模块即可求得电磁转矩信号Te。
转矩计算模块结构框图及其封装形式
转速计算模块
根据运动方程式（2.4），由电磁转矩、负载转矩以及摩擦转矩，通过加乘、积分环节即可得到转速信号，求得的转速信号经过积分就可得到电机转角信号，如图
转速计算模块结构框图及其封装形式
电流滞环控制模块
在这个仿真模块中采用滞环控制原理来实现电流的调节，使得实际电流随跟定电流的变化。
模块结构框图如图5.10所示[40]，输入为三相参考电流和三相实际电流，输出为PWM逆变器控制信号。
电流滞环控制模块结构框图及其封装
参考电流模块
参考电流模块的作用是根据电流幅值信号Is和位置信号给出三相参考电流，输出的三相参考电流直接输入电流滞环控制模块，用于与实际电流比较进行电流滞环控制。
转子位置和三相参考电流之间的对应关系如表所示，参考电流模块的这一功能可通过S函数编程实现，程序如下
参考电流S函数（mod.m）
function[sys,x0,str,ts]=mod（t,x,u,flag）
switchflag
case0,
[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;
case3,
sys=mdlOutputs（t,x,u）;
case2,
sys=[];
case9,
sys=[];
otherwise
error（['unhandledflag=',num2str（flag）]）;
end
function[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes（）
sizes=simsizes;
sizes.NumContStates=0;
sizes.NumDiscStates=0;
sizes.NumOutputs=1;
sizes.NumInputs=1;
sizes.DirFeedthrough=1;
sizes.NumSampleTimes=1;
sys=simsizes（sizes）;
x0=[];
str=[];
ts=[-10];
functionsys=mdlOutputs（t,x,u）
globalPos;
globalw;
globalTheta;
Theta=u;
b=fix（Theta/（2*pi））;%取整
ifTheta==0
sys=0;
elseif（Theta/（2*pi））==b
sys=2*pi;
else
sys=Theta-b*2*pi;
end
end
Pos=sys;%位置
表5.2转子位置和三相参考电流之间的对应关系表
转子位置
I_arI_brI_cr
0~π/3
π/3~2π/3
2π/3~π
π~4π/3
Is
Is
0
-Is
-Is
0
Is
Is
0
-Is
-Is
0
4π/3~5π/3-Is
0
Is
5π/3~2π
0
-Is
Is
5.2.5位置计算模块
电机转角信号到电机位置信号的转换可通过S函数编程实现，程序如下位置计算S函数（is.m）
function[sys,x0,str,ts]=is（t,x,u,flag）
switchflag
case0,
[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;
case3,
sys=mdlOutputs（t,x,u）;
case2,
sys=[];
case9,
sys=[];
otherwise
error（['unhandledflag=',num2str（flag）]）;
end
function[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes（）
sizes=simsizes;
sizes.NumContStates=0;
sizes.NumDiscStates=0;
sizes.NumOutputs=3;
sizes.NumInputs=2;
sizes.DirFeedthrough=1;
sizes.NumSampleTimes=1;
sys=simsizes（sizes）;
x0=[];
str=[];
ts=[-10];
functionsys=mdlOutputs（t,x,u）
globalIs;
globalPos;
Is=u
（1）;%电流
Pos=u
（2）;%位置
ifPos>=0&Pos<=pi/3
sys=[Is,-Is,0];
elseifPos>=pi/3&Pos<=2*pi/3
sys=[Is,0,-Is];
elseifPos>=2*pi/3&Pos<=pi
sys=[0,Is,-Is];
elseifPos>=pi&Pos<=4*pi/3
sys=[-Is,Is,0];
elseifPos>=4*pi/3&Pos<=5*pi/3
sys=[-Is,0,Is];
elsePos>=5*pi/3&Pos<=2*pi
sys=[0,-Is,Is];
end
5.2.6电压逆变器模块
逆变器对BLDC来说，首先是功率变换装置，也就是电子换向器，每一个桥臂上的一个功率器件相当于直流电动机的一个机械换向器，还同时兼有PWM
电流调节器功能。
对逆变器的建模，本文采用Simulink的SimPowerSystem工具箱提供的三相全桥IGBT模块。
由于在Matlab新版本（如Matlab7.0）中SimPowerSystem工具箱和Simulink工具箱不可以随便相连的，中间必须加上受控电压源（或者受控电压源、电压表、电流表）。
本文给IGBT的A、B、C三相加三个电压表，输出的Simulink信号可以与BLDC直接连接，如图5.11所示。
逆变器根据电流控制模块所控制PWM信号，顺序导通和关断，产生方波电流输出。
电压逆变器模块结构框图及其封装
基于Matlab/Simulink建立了BLDC控制系统的仿真模型，并对该模型进行了BLDC双闭环
控制系统的仿真。
仿真中，BLDC电机参数设置为：
定子相绕组电阻R＝1Ω，定子相绕组自感L＝0.02H，互感M＝-0.061H，转动惯量J＝0.005kg·m2，阻尼系数B=0.0002N·m·s/rad，额定转速n＝1000r/min，极对数p＝1，220V直流电源供电。
总体模型：
存在问题：
仿真速度慢，且示波器值均为0
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