（2），故D正确；C无法推出，故选C.
2.?
x€0,1,8Xvlogax+1恒成立，则实数a的取值范围是
答案av1
1
解析当0vxv3时，函数y=8X—1的图象如图中实线所示.
•/?
x€0,
8XVlOgaX+1恒成立,
3
1
•••当x€0,3时，y=logax的图象恒在y=8X—1的图象的上方（如图中虚线所示）.Ty
111
=logax的图象与y=8—1的图象交于点3，1时，a=7，.・.：
wav1.
333
热点3数形结合化解平面向量问题
例3
（1）（2019•东北三省三校高三第二次模拟）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大
约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成
的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的
一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DI2AF,则（）
t2t1t
ba*9AC>27ab
答案D
解析设Di2A12，因此BD=Ai1，又由题意可得/ADB=120°,
所以AB=AD+BD—2AD-BD-cos/ADB=32+12-6cos120°=13,因此AB=13;
延长AD交BC于M记/DAB=0，/AMB=a,
AD+AB—BD9+13—1713
则COs/DAB=2AD-AB=两总备，
所以sin/DAB=、；1—cos2ZDAB=；
又由题意易知/DAB=ZDBM贝Ua=120°—0,在三角形DBM中，由正弦定理可得
BMDMBD
sinZMDBsinZDBMsinZDMB
BMDM1
即sin60°=sin0=sin—120°—0—，
所以AD=
312
AM=—AMc113
3+1
因为bm=4bc所以BM=1BC即AM—AB=4（Ac—Ab,
⑵给定两个长度为1的平面向量Omdob它们的夹角为牛如图所示，点c在以o为圆
心的圆弧AB上运动.若OC=xOAFyOB其中x,y€R,贝Ux+y的最大值为，此时Z
AO=.
答案2n3
解析由图示和题意可知，A（1,0）,B—2,-2
COSa=x—
2y，
X=COSa
sin
y,
解得
y=爭in
由OOxOAFyOB得
n
a+"6.
所以x+y=cosa+3sina=2sin
2
又a€0,-3，所以当a=-3时，X+y取得最大值2.
建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解.
1.（2019•马鞍山市第二次教学质量监测）已知圆C,C2,C3是同心圆，半径依次为1,2,3,
过圆C上点M作C的切线交圆C2于AB两点，P为圆C3上任一点，则PA-勺取值范围为（）
A.[—8,—4]B.[0,12]
C.[1,13]D.[4,16]
答案C
解析设同心圆的圆心为O,由切线性质可知OMLAB又过圆C上点M作C的切线交圆
OM1
C2于A,B两点，•••OA=OB=2,OM=1，在Rt△OAM中,sin/OA=2，二/OAB=ZOAM
=6,根据OA=OB=2,可知/OAB=ZOBA=-6,•./AO=2^,pA-PB=（pb^6A•（商OB
663
—>2~>—>—>—>—>—>—>—>—>—>2n->—>
=|PO2+PO・O聊OA・PO^OAOB9+PO・（OB+OA+|OAIOB•cos==7—OP・（OB^
3
OA.•••OMLABOA=OB
•••M是AB的中点，根据向量加法的几何意义得OAF-B=2-M代入上式得，PA-PB=7—
—P・（—BFSA=7—2—P-—M=7—2|—P|-MCos〈—P—M=7—6cos〈OP,—M,•/<—p—M
€[0,n],•••COS〈OpOM€[—1,1],•••PA-PB€[1,13]，故选C.
2.如图，在梯形ABCDKAB//CDCD=2,ZBAD=-4，若°B-°C=2AB-AD,则°D-AC
答案12
解析解法一：
因为AB・AC=2Ab-AD
所以Ac—ab-°b=Ab-Ad所以Ab-dc=°B-AD
n
因为AB/CDCD=2,/BAD=
4
所以2|AB=|AB|ADCosn,化简得IAD=22.
故AD-AC=AD-（ADFDC=|AD2+Ad-DC=（22）2+22X2cos寸=12.
解法二：
如图，建立平面直角坐标系xAy.
依题意，可设点Qmm,C（mF2,m,B（n,0）,其中m>0,n>0,则由AB-AC=2AB-Ad得（n,0）•（mF2,n）=2（n,0）•（mm,所以n（m+2）=2nm化简得m=2.
~A~A2
故AD-AC=（mm•（mF2,m）=2m+2m=12.
热点4数形结合化解圆锥曲线问题
B.
3
A.-
5
-7
3
5
C.5
答案C
解析双曲线的一条渐近线方程为y=bx,•••双曲线的渐近线被圆Mx2+y2—10x=0即
a
（x—5）2+y2=25所截得的两条弦长之和为12,设圆心到渐近线的距离为d,贝Ud=25—9=
52=4，即5b=4c,b=4c.•/a2=c2—b2=25c2,
:
a2+b2525
•/AB分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，•|AF—BP=2a,根据正弦定理
2c
—APBPABfrAP."BP.f2c|sinP|2R
sinBsinAsinP2R2R2R|sinA-sinB|BPAP
2R—2R
2c
2a
5
=3,故选C.
3
22
xy
⑵已知A（1,1）为椭圆9+"5=1内一点，Fi为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF|
+1PA的最大值和最小值.
22
XVL
解由9+5=1可知a=3,b=：
5,c=2,左焦点Fi（—2,0），右焦点冃（2,0）
由椭圆定义，知|PF|=2a—|PFF=6—|P冋,
•|PF|+IPA=6—IP冋+IPA=6+IPA—|PF2|.
如图，由||PA—|P^||W|A冋=；2—12+0—12=2,
知—•2W|PA—|PR|<■2.
当点P在AR的延长线上的点P2处时，取右“=”，
当点P在AR的反向延长线上的点P1处时，取左“=”，
即|PA—|P冋的最大、最小值分别为2,—2.
于是|PF|+|PA的最大值是6+叮2，最小值是6—2.
与圆锥曲线有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解•但一味的强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.
22
xy
1.椭圆5+4=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点MN,当厶FMN勺周长最大
时，△FMN勺面积是（）
4,5
5
答案C
解析如图，设椭圆的右焦点为F',连接MF,NF.因为|MF+|NF+|MF|+
|MN=
a2-b2=5-4=1,所以此时厶FMN的面积
1
S=-x2X
5
5
|NF|>|Mff+|NF|+|MN，所以当直线x=m过椭圆的右焦点时，△FMN勺周长最大•此时
故选C.
2
xo
2•（2019•四川省成都市第七中学高三下学期三诊）已知双曲线C：
•2—4y2=1（a>0）的右
a
顶点到其一条渐近线的距离等于手，抛物线E：
y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则
抛物线E上的动点M到直线li：
4x-3y+6=0和I2：
x=-1的距离之和的最小值为（）
A.1B.2
C.3D.4
答案B
2
x2
解析由双曲线方程—-4y=1（a>0）可得，双曲线的右顶点为（a,0），渐近线方程为y=
a
1
±2^x，即x±2ay=0.t双曲线的右顶点到渐近线的距离等于
•••双曲线的焦点为（1,0）.又抛物线E：
y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,
•••p=2,二抛物线的方程为y2=4x，焦点坐标为F（1,0）.如图,
设点M到直线I1的距离为|MA，到直线I2的距离为|MB，则|MB=|MF,•|MA+|MB=|MA+|MF・结合图形可得当A,MF三点共线时，|MA+|MB=|MA+|MF最小，且最小
|4X1+6|
值为点F到直线I1的距离d=—22_=2.故选B.
V4+3
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