代数方程复习教师版课件.docx
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代数方程复习教师版课件
基本内容代数方程复习
知识精要
讥刼力程卜
—、基本概念:
元整式方程：
方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。
另一边为零的方
二项方程：
一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项,程。
其一般式为
AxAn+b=O（其中a丰0,b丰0,n为正整数）.
双二次方程：
只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为：
axA4+bxA2+c=0（a丰0）
无理方程：
方程中含有根式，并且被开方数含有未知数的代数式.
二元二次方程组：
仅含有两个未知数，并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程
二、整式方程的解法
1.一元一次方程和一元二次方程的解法
2.含字母系数的整式方程的解法
3.特殊的高次方程的解法
（1）二项方程axnb0（a0,b0）的解法
二项方程的定义：
如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边
是零，那么这样的方程叫做二项方程。
关于x的一元n次二项方程的一般形式是
axnb0（a0,b0,n是正整数）
二项方程的解法及根的情况：
一般地，二项方程axnb0（a0,b0）可变形为xn-
a
可见，解一元n次二项方程，可以转化为求一个已知数的n次方根，运用开方运算可以求出
这个方程的根。
二项方程的根的情况：
对于二项方程axnb0（a0,b0），
当n为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当n为偶数时，如果ab0，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果ab0，那么方程没有实数根。
（2）双二次方程的解法
双二次方程的定义：
只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。
关于x的双二次方程的一般形式是ax4bx2c0（a0）
双二次方程的解法：
可以用换元法"解形如ax4bx2c0（a0,b0,c0）的双二次方程。
就是用y代替方程中的x2，同时用y2代替x4,将方程转化为关于y的一元二次方程ay2+by+c=0。
解这个关于y的一元二次方程即可。
（3）因式分解法解高次方程
解高于一次的方程，基本思想就是是降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。
用因式分解的方法时要注意：
一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。
三、可化为一元二次方程的分式方程的解
1适宜用去分母”的方法的分式方程
解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式
方程来解。
解分式方程要注意验根！
2•适宜用换元法”的分式方程
适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看
系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法
四、无理方程的解法
解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用两边平方”的方法解。
对有些
特殊的无理方程，可以用换元法”解。
解无理方程一定要验根！
在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。
1•只有一个含未知数根式的无理方程
当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；
然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。
2•有两个含未知数根式的无理方程
当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使乙个二次根式单独在一边，另
外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。
3•适宜用换元法解的无理方程
如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来
解。
、巩固训练:
已知下列关于X的方程：
2厂
（1）x5x1
0;
⑵x2
5x10;
（3）.x1
70;
（4）一a12x
7;
（5）、x
12;
（6）1-
二X—,3.
x
x3
.2x
其中无理方程是
_分式方程的是
整式方程的
二、热身练习解下列方程:
22
（2）6x3181
（1）bx2x21（b1）
三、列方程解应用题
（4）x4-9x2+14=0
小杰到达B地比小丽到达A地早1小时21分，求两人的行
进速度分别是多少?
解：
小杰的速度为x千米/小时，小丽的速度为y千米/小时
3x3y27
27
21
27
解得x
1
y
x
60
y
精解名题
例题1.解下列关于x的方程
（1）（3a-2）x=2（3-x）
解
（1）去括号，得3ax-2x=6-2x
移项，得3ax-2x+2x=6合并同类项，得3ax=6
当az0时，方程※是一元一次方程，解得
（2）bx2-1=1-x2（bz-1）
2
x
a
当a=0时，方程※变成0•x=6，这时不论x取什么值，等式0・x=6都不成立，因此方程无解。
（2）移项，得bx+x2=1+1合并同类项，得（b+1）x2=2因为bz-1，所以b+1z0
两边同除以b+1，得x2
当b+1>0时，由方程※解得x
.2b2
0,这时方程没有实数根。
2b2
b1
V2b2
所以，当b+1>0时，原方程的根是x1亠2,x2
b1
当b+1v0时，原方程没有实数根。
例题2.判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。
（1）x-64=0
（2）x+x=0
（1）
移项，
得
开方,
得
即
（3）
开方，
得
即
x3=64
x364x=4
x59
x59
例题3.解下列方程：
（1）2x3+7x2-4x=0
（2）x3-2x2+x-2=0
解：
（1）方程左边因式分解，得
2
x（2x+7x-4）=0
x（x+4）（2x-1）=0
得x=0或x+4=0或2x-仁0
1
原方程的根是x=0,x=-4,x=-
2
注意：
不要漏掉x=0这个根！
（2）方程左边因式分解，得
（x3-2x2）+（x-2）=0
2
x（x-2）+（x-2）=0
2
（x-2）（x+1）=0
即x-2=0或x+1=0
解方程x-2=0得x=2
方程x2+仁0没有实数根
所以，原方程的根是x=2
例4解方程：
红」2
x2x1
1
解：
解：
设y，则原方程化为y22y30
x
解得y13,y21当y13时，得x1
11
当y11时，得x,经检验，X11，x2是原方程的解。
33
5解:
（X
例题6解下列方程：
（1）x222x10
（2）x2.x1
（1）原方程可变形为x222x1
2
两边平方，得x-2=2x+1
整理，得x2-2x-3=0
解得x1=-1,x2=3
经检验，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。
所以，原方程的根是x=3
例题7解方程2..x22x43x26x4
解：
设x22x4=y,则3x2-6x+12=3y2，则3x2-6x=3y2-12
2
原方程化为2y=3y-12+4
整理，得3y-2y-8=0
4
解得y1=2，y2=
3
当y=2时，-x22x4=2，x22x4=4，解得x=0或x=2；
X1
y1
X2
y2
4X3
2,
X3
aX43
例9.列方程解应用题
AB两地盛产柑桔，A地有柑桔200吨，B地有柑桔300吨.现将这些柑桔运到CD两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A地运往CD两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A地运往C仓库的柑桔重量为x吨，AB两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和Yb元.
（1）请填写下表后分别求出Ya,Yb与X之间的函数关系式，并写出定义域；
产J地L•库―
C
D
总计
A
x吨
200吨
B
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
（2）试讨论AB两地中，哪个运费较少;
解：
26.
（1）解:
二*一仓库
产地库^
C
D
总计
A
x吨
（200x）吨
200吨
B
（240x）吨
（60x）吨
300吨
总计
240吨
260吨
500吨
yA5x5000（0Yb3x4680（0（2）当Ya
Yb时，
5x
5000
3x
468Q
x
40；
当Ya
Yb时，
5x
5000
3x
468Q
x
40；
当Ya
Yb时，
5x
5000
3x
4680,
x
40.
当x
40时，
Ya
Yb即两地运费相等；
当0例10.如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m）,用80m长的篱笆围一个矩形场地.
⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?
⑵能否使所围矩形场地的面积为810mf，为什么？
解：
⑴设所围矩形ABC啲长AB为x米，则宽AD为米.
依题意，得...，、-「一
即,,L.J.1...-
解此方程，得1'1.1
t墙的长度不超过45m,「.i'不合题意，应舍去.
当小一二时，一■丨一［-I■-I-■.■
所以，当所围矩形的长为30m宽为25m时，能使矩形的面积为750m2.
⑵不能•因为由；•_：
：
!
-■.-■:
得
r1-30x4-1（520=a
又•••「：
=（—80）2-4X1X1620=—80V0,
•••上述方程没有实数根.
因此，不能使所围矩形场地的面积为810m
巩固练习
1.
解方程：
一L
x1
完后记着要验根
解：
方程两边都乘以（x1）（x1），得
x2x2（x1）（x1）（x1）,x3
经检验：
x3是原方程的根
2.解方程
分析：
直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现
（x6）与x7）、x2）与x3）的值相差1,而分子也有这个特点，因此，可将分母
式的等值性质求值。
方程两边通分，得
11
（x6）（x7）（x2）（x3）所以（x6）（x7）（x2）（x3）即8x36
9
x
2
9
经检验：
原方程的根是x
2
22
3.解方程：
6y12_y4go
y4y4y4y4y4
分析：
此题若用一般解法，则计算量较大。
当把分子、分母分解因式后，会发现分子与
分母有相同的因式，于是可先约分。
解：
原方程变形为：
6（y2）（y2）（y2）y20
220（y2）（y2）（y2）（y2）
约分，得兀H扁市
方程两边都乘以（y2）（y2），得
22
6（y2）（y2）y0
整理，得2y16
y8
经检验：
y8是原方程的根。
注：
分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。
因此要学会根据方
程结构特点，用特殊方法解分式方程。
4•若解分式方程亘m^—产生增根，则m的值是（）
x1xxx
A.1或2B.1或2
分析：
分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。
由题意得增根是：
x0或x1,化简原方程为：
2x2（m1）（x1）2,把x0或x1代入解得m1或2，故选择D
5.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60
棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？
分析：
利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：
设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树,
60x12066x
x20
经检验：
x20是原方程的根
x222
答：
甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。
说明：
在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
6.轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行
中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。
求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：
在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取
水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：
设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时
经检验：
x17
x17是原方程的根
y3
答：
水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。
7.m为何值时，关于x的方程—3会产生增根?
x2x4x2
解：
方程两边都乘以x24，得2x4mx3x6
整理，得（m1）x10
当m
1时，x10
m1
如果方程产生增根，那么x2
4
0，即x2或x2
（1）
若x2，贝U102
m4
m1
（2）
若x2，则10
2
m6
m1
（3）
综上所述，当m4或（
6时
■，原方程产生增根
说明：
分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
8.某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总
共用4天完成了任务•求改进操作方法后，每天生产多少件产品？
解：
设改进操作方法后每天生产二件产品，则改进前每天生产「丄.件产品.
依题意有
XX-10
整理得亍口.....一.
解得■或人一二•二.；一匚时，人…|一［「.「，，；一〔舍去.
.二=■:
'〔•
答：
改进操作方法后每天生产60件产品
自我测试
3.解方程:
2x912
4.求x为何值时，代数式的值等于2?
x3x3x
5.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成
2
了全部工程。
已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的2，求甲、乙
3
两队单独完成各需多少天？
参考答案
1.由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为（Sav）千米。
2.把方程两边都乘以x3，得2x3mx5m.
若方程有增根，则x3,即53mm2应选B。
3.
（1）分析：
方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都
相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。
因此，可利用11—裂项,
n（n1）nn1
即用“互为相反数的和为o”将原方程化简
1_1
x9x10
即2x21
经检验：
原方程的根是x
（2）分析：
用因式分解（提公因式法）简化解法
解：
X（-l
1x
因为其中的—
1x
2
"x21
2
1?
4
—）0x
4
~~4
x
2
1x1x
1x2
2
1x2
4
1x4
x0
经检验：
x0是原方程的根。
2x
9
1
2
4.解:
由已知得
-2
x
3
x3
x
即2
3
1
22
x3
x
3
x
31
2
—
0
x
3x
3
x
经检验：
x3是原方程的根。
2
32x912
当x3时，代数式丝芒—2的值等于2。
2x3x3x
5.设：
乙队单独完成所需天数x天，则甲队单独完成需2x天。
3
111
由题意，得_2（_—）1
xx2
x
3
m123
即1
xxx
解得：
x6
经检验x6是原方程的根
2
x6时，三x4
3
答：
甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。
下面解方程
（1）、（3）:
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