最新小学奥数所有知识点大汇总最全.docx

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最新小学奥数所有知识点大汇总最全

1．和差倍问题

　　和差问题和倍问题差倍问题

　　已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数

　　一、和差倍问题

（一）和差问题：

已知两个数的和及两个数的差；求这两个数。

　　方法①：

（和－差）÷2= 较小数；和-较小数=较大数

　　方法②：

（和+差）÷2=较大数；和-较大数=较小数

　　例如：

两个数的和是15；差是5；求这两个数。

　　方法：

（15-5）÷2=5；（15+5）÷2=10.

（二）和倍问题：

已知两个数的和及这两个数的倍数关系；求这两个数。

　　方法：

和÷（倍数+1）=1倍数（较小数）

　　1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数）

　　或 和-1倍数（较小数）=几倍数（较大数）

　　例如：

两个数的和为50；大数是小数的4倍；求这两个数。

　　方法：

50÷（4+1）=10  10×4=40

（三）差倍问题：

已知两个数的差及两个数的倍数关系；求这两个数。

　　方法：

差÷（倍数-1）=1倍数（较小数）

　　1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数）

　　或 和-倍数（较小数）=几倍数（较大数）

　　例如：

两个数的差为80；大数是小数的5倍；求这两个数。

　　方法：

80÷（5-1）=20  20×5=100

　　和与差和与倍数差与倍数

　　2．年龄问题的三个基本特征：

　　①两个人的年龄差是不变的；

　　②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

　　③两个人的年龄的倍数是发生变化的；两人年龄的倍数关系是变化的量；

　　解答年龄问题的一般方法是：

　　几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄；

　　几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差．

　　3．归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量；一般是那个“单一量”；题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

　　关键问题：

根据题目中的条件确定并求出单一量；

　　4．植树问题

　　基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树；两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树；两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树；只有一端植树封闭曲线上植树

三、植树问题

（一）不封闭型（直线）植树问题

　　1、直线两端植树：

棵数=段数+1=全长÷株距+1；

　　全长=株距×（棵数-1）；

　　株距=全长÷（棵数-1）；

　　2、直线一端植树：

全长=株距×棵数；

　　棵数=全长÷株距；

　　株距=全长÷棵数；

　　3、直线两端都不植树：

棵数=段数-1=全长÷株距-1；

　　株距=全长÷（棵数+1）；

（二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题

　　棵数=总距离÷棵距；

　　总距离=棵数×棵距；

　　棵距=总距离÷棵数．

　　5．鸡兔同笼问题

　　基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题；就是把假设错的那部分置换出来；

　　基本思路：

　　①假设；即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

　　②假设后；发生了和题目条件不同的差；找出这个差是多少；

　　③每个事物造成的差是固定的；从而找出出现这个差的原因；

　　④再根据这两个差作适当的调整；消去出现的差。

　　基本公式：

　　①把所有鸡假设成兔子：

鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

　　②把所有兔子假设成鸡：

兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

　　关键问题：

找出总量的差与单位量的差。

【鸡兔问题公式】

（1）已知总头数和总脚数；求鸡、兔各多少：

　　（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；

　　总头数-兔数=鸡数。

　　或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；

　　总头数-鸡数=兔数。

　　例如；“有鸡、兔共36只；它们共有脚100只；鸡、兔各是多少只？

”

　　解一（100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；

　　36-14=22（只）……………………………鸡。

　　解二（4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；

　　36-22=14（只）…………………………兔。

　　（答略）

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数；当鸡的总脚数比兔的总脚数多时；可用公式

　　（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

　　总头数-兔数=鸡数

　　或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；

　　总头数-鸡数=兔数。

（例略）

　　（3）已知总数与鸡兔脚数的差数；当兔的总脚数比鸡的总脚数多时；可用公式。

　　（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

　　总头数-兔数=鸡数。

　　或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；

　　总头数-鸡数=兔数。

（例略）

　　（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法；可以用下面的公式：

　　（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

　　例如；“灯泡厂生产灯泡的工人；按得分的多少给工资。

每生产一个合格品记4分；每生产一个不合格品不仅不记分；还要扣除15分。

某工人生产了1000只灯泡；共得3525分；问其中有多少个灯泡不合格？

”

　　解一（4×1000-3525）÷（4+15）

　　=475÷19=25（个）

　　解二1000-（15×1000+3525）÷（4+15）

　　＝1000-18525÷19

　　=1000-975=25（个）（答略）

　　（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”；运到完好无损者每只给运费××元；破损者不仅不给运费；还需要赔成本××元……。

它的解法显然可套用上述公式。

）

　　（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数；求鸡兔各多少的问题）；可用下面的公式：

　　〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；

　　〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。

　　例如；“有一些鸡和兔；共有脚44只；若将鸡数与兔数互换；则共有脚52只。

鸡兔各是多少只？

”

　　解〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2

　　=20÷2=10（只）……………………………鸡

　　〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2

　　=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）

　　鸡兔同笼；这是一个古老的数学问题；在现实生活中也是普遍存在的．重点掌握鸡兔同笼问题的解法--假设法；并会将这种方法应用到一些实际问题中.

　　解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

　　鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

　　兔数=鸡兔总数-鸡数

　　当然；也可以先假设全是鸡；那么就有：

　　兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

　　鸡数=鸡兔总数-兔数

6．盈亏问题

　　基本思路：

先将两种分配方案进行比较；分析由于标准的差异造成结果的变化；根据这个关系求出参加分配的总份数；然后根据题意求出对象的总量．

　按不同的方法分配物品时；经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈；如果物品不够就叫亏；这就是盈亏问题的含义．

　　一般地；一批物品分给一定数量的人；第一种分配方法有多余的物品（盈）；第二种分配方法则不足（亏）；当两种分配方法相差n个物品时；那就有：

　　盈数+亏数=人数×n；

　　这是关于盈亏问题很重要的一个关系式．

　　解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括：

　　（盈+亏）÷两次分得之差=人数或单位数；

　　（盈-盈）÷两次分得之差=人数或单位数；

　　（亏-亏）÷两次分得之差=人数或单位数．

　　解盈亏问题的关键是要找到：

什么情况下会盈；盈多少？

什么情况下"亏"；"亏"多少？

找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因．

　　另外在解题后；应进行验算．

　　基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

　　关键问题：

确定对象总量和总的组数。

　　7．牛吃草问题

　　基本思路：

假设每头牛吃草的速度为“1”份；根据两次不同的吃法；求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因；即可确定草的生长速度和总草量。

　　基本特点：

原草量和新草生长速度是不变的；

　　关键问题：

确定两个不变的量。

　　基本公式：

　　生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

　　总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

　　8．周期循环与数表规律

　　周期现象：

事物在运动变化的过程中；某些特征有规律循环出现。

　　周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

　　关键问题：

确定循环周期。

　　闰年：

一年有366天；

　　①年份能被4整除；②如果年份能被100整除；则年份必须能被400整除；

　　平年：

一年有365天。

　　①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除；但不能被400整除；

　　9．平均数

　　基本公式：

①平均数=总数量÷总份数

　　总数量=平均数×总份数

　　总份数=总数量÷平均数

　　②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

　　基本算法：

　　①求出总数量以及总份数；利用基本公式①进行计算.

　　②基准数法：

根据给出的数之间的关系；确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准；求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和；就是所求的平均数；具体关系见基本公式②。

　　10．抽屉原理

　　抽屉原则一：

如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里；那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

　　例：

把4个物体放在3个抽屉里；也就是把4分解成三个整数的和；那么就有以下四种情况：

　　①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

　　观察上面四种放物体的方式；我们会发现一个共同特点：

总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体；也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

　　抽屉原则二：

如果把n个物体放在m个抽屉里；其中n>m；那么必有一个抽屉至少有：

　　①k=[n/m]+1个物体：

当n不能被m整除时。

　　②k=n/m个物体：

当n能被m整除时。

　　理解知识点：

[X]表示不超过X的最大整数。

　　例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

　　关键问题：

构造物体和抽屉。

也就是找到代表物体和抽屉的量；而后依据抽屉原则进行运算。

10.1、方阵问题

　　在方阵问题中；横的排叫做行；竖的排叫做列；如果行数和列数都相等；则正好排成一个正方形；就是所谓的"方阵"。

　　方阵的基本特点是：

　　①方阵不论在哪一层；每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层；每边上的人数就少2；每层总数就少8．

　　②每边人（或物）数和每层总数的关系：

　　每层总数=[每边人（或物）数1]×4；每边人（或物）数=每层总数÷4+1．

　　③实心方阵：

总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数．

　11．定义新运算

　　基本概念：

定义一种新的运算符号；这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

　　基本思路：

严格按照新定义的运算规则；把已知的数代入；转化为加减乘除的运算；然后按照基本运算过程、规律进行运算。

　　关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。

　　注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律；特别注意运算顺序。

　　②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

　　12．数列求和

　　等差数列：

在一列数中；任意相邻两个数的差是一定的；这样的一列数；就叫做等差数列。

　　基本概念：

首项：

等差数列的第一个数；一般用a1表示；

　　项数：

等差数列的所有数的个数；一般用n表示；

　　公差：

数列中任意相邻两个数的差；一般用d表示；

　　通项：

表示数列中每一个数的公式；一般用an表示；

　　数列的和：

这一数列全部数字的和；一般用Sn表示．

　　基本思路：

等差数列中涉及五个量：

a1；an；d；n；sn；；通项公式中涉及四个量；如果己知其中三个；就可求出第四个；求和公式中涉及四个量；如果己知其中三个；就可以求这第四个。

　　基本公式：

通项公式：

an=a1+（n－1）d；

　　通项＝首项＋（项数一1）公差；

　　数列和公式：

sn；=（a1+an）n2；

　　数列和＝（首项＋末项）项数2；

　　项数公式：

n=（an+a1）d＋1；

　　项数=（末项-首项）公差＋1；

　　公差公式：

d=（an－a1））（n－1）；

　　公差=（末项－首项）（项数－1）；

　　关键问题：

确定已知量和未知量；确定使用的公式；

　　13．二进制及其应用

　　十进制：

用0～9十个数字表示；逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义；十位上的2表示20；百位上的2表示200。

所以234=200+30+4=2102+310+4。

　　=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+……+A3102+A2101+A1100

　　注意：

N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）

　　二进制：

用0～1两个数字表示；逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。

（2）=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7

　　+……+A322+A221+A120

　　注意：

An不是0就是1。

　　十进制化成二进制：

　　①根据二进制满2进1的特点；用2连续去除这个数；直到商为0；然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。

　　②先找出不大于该数的2的n次方；再求它们的差；再找不大于这个差的2的n次方；依此方法一直找到差为0；按照二进制展开式特点即可写出。

　　14．加法乘法原理和几何计数

　　加法原理：

如果完成一件任务有n类方法；在第一类方法中有m1种不同方法；在第二类方法中有m2种不同方法……；在第n类方法中有mn种不同方法；那么完成这件任务共有：

m1+m2.......+mn种不同的方法。

　　关键问题：

确定工作的分类方法。

　　基本特征：

每一种方法都可完成任务。

　　乘法原理：

如果完成一件任务需要分成n个步骤进行；做第1步有m1种方法；不管第1步用哪一种方法；第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法；第n步总有mn种方法；那么完成这件任务共有：

m1×m2.......×mn种不同的方法。

　　关键问题：

确定工作的完成步骤。

　　基本特征：

每一步只能完成任务的一部分。

　　直线：

一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动；形成的轨迹。

　　直线特点：

没有端点；没有长度。

　　线段：

直线上任意两点间的距离。

这两点叫端点。

　　线段特点：

有两个端点；有长度。

　　射线：

把直线的一端无限延长。

　　射线特点：

只有一个端点；没有长度。

　　①数线段规律：

总数＝1+2+3+…+（点数一1）；

　　②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；

　　③数长方形规律：

个数=长的线段数×宽的线段数：

　　④数长方形规律：

个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

　　15．质数与合数

　　质数：

一个数除了1和它本身之外；没有别的约数；这个数叫做质数；也叫做素数。

　　合数：

一个数除了1和它本身之外；还有别的约数；这个数叫做合数。

　　质因数：

如果某个质数是某个数的约数；那么这个质数叫做这个数的质因数。

　　分解质因数：

把一个数用质数相乘的形式表示出来；叫做分解质因数。

通常用短除法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

　　分解质因数的标准表示形式：

N=；其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数；且a1

　　求约数个数的公式：

P=（r1+1）×（r2+1）×（r3+1）×……×（rn+1）

　　互质数：

如果两个数的最大公约数是1；这两个数叫做互质数。

　16．约数与倍数

　　约数和倍数：

若整数a能够被b整除；a叫做b的倍数；b就叫做a的约数。

　　公约数：

几个数公有的约数；叫做这几个数的公约数；其中最大的一个；叫做这几个数的最大公约数。

　　最大公约数的性质：

　　1、几个数都除以它们的最大公约数；所得的几个商是互质数。

　　2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

　　3、几个数的公约数；都是这几个数的最大公约数的约数。

　　4、几个数都乘以一个自然数m；所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

　　例如：

12的约数有1、2、3、4、6、12；

　　18的约数有：

1、2、3、6、9、18；

　　那么12和18的公约数有：

1、2、3、6；

　　那么12和18最大的公约数是：

6；记作（12；18）=6；

　　求最大公约数基本方法：

　　1、分解质因数法：

先分解质因数；然后把相同的因数连乘起来。

　　2、短除法：

先找公有的约数；然后相乘。

　　3、辗转相除法：

每一次都用除数和余数相除；能够整除的那个余数；就是所求的最大公约数。

　　公倍数：

几个数公有的倍数；叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个；叫做这几个数的最小公倍数。

　　12的倍数有：

12、24、36、48……；

　　18的倍数有：

18、36、54、72……；

　　那么12和18的公倍数有：

36、72、108……；

　　那么12和18最小的公倍数是36；记作[12；18]=36；

　　最小公倍数的性质：

　　1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

　　2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

　　求最小公倍数基本方法：

1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法

　　17．数的整除

　　一、基本概念和符号：

　　1、整除：

如果一个整数a；除以一个自然数b；得到一个整数商c；而且没有余数；那么叫做a能被b整除或b能整除a；记作b|a。

　　2、常用符号：

整除符号“|”；不能整除符号“”；因为符号“∵”；所以的符号“∴”；

　　二、整除判断方法：

　　1.能被2、5整除：

末位上的数字能被2、5整除。

　　2.能被4、25整除：

末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

　　3.能被8、125整除：

末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

　　4.能被3、9整除：

各个数位上数字的和能被3、9整除。

　　5.能被7整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

　　6.能被11整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

　　②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

　　③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

　　7.能被13整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

　　②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性质：

　　1.如果a、b能被c整除；那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

　　2.如果a能被b整除；c是整数；那么a乘以c也能被b整除。

　　3.如果a能被b整除；b又能被c整除；那么a也能被c整除。

　　4.如果a能被b、c整除；那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

　　18．余数及其应用

　　基本概念：

对任意自然数a、b、q、r；如果使得a÷b=q……r；且0

　　余数的性质：

　　①余数小于除数。

　　②若a、b除以c的余数相同；则c|a-b或c|b-a。

　　③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

　　④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

　　19．余数、同余与周期

　　一、同余的定义：

　　①若两个整数a、b除以m的余数相同；则称a、b对于模m同余。

　　②已知三个整数a、b、m；如果m|a-b；就称a、b对于模m同余；记作a≡b（modm）；读作a同余于b模m。

　　二、同余的性质：

　　①自身性：

a≡a（modm）；

　　②对称性：

若a≡b（modm）；则b≡a（modm）；

　　③传递性：

若a≡b（modm）；b≡c（modm）；则a≡c（modm）；

　　④和差性：

若a≡b（modm）；c≡d（modm）；则a+c≡b+d（modm）；a-c≡b-d（modm）；

　　⑤相乘性：

若a≡b（modm）；c≡d（modm）；则a×c≡b×d（modm）；

　　⑥乘方性：

若a≡b（modm）；则an≡bn（modm）；

　　⑦同倍性：

若a≡b（modm）；整数c；则a×c≡b×c（modm×c）；

　　三、关于乘方的预备知识：

　　①若A=a×b；则MA=Ma×b=（Ma）b

　　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

　　四、被3、9、11除后的余数特征：

　　①一个自然数M；n表示M的各个数位上数字的和；则M≡n（mod9）或（mod3）；

　　②一个自然数M；X表示M的各个奇数位上数字的和；Y表示M的各个偶数数位上数字的和；则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod11）；

　　五、费尔马小定理：

如果p是质数（素数）；a是自然数；且a不能被p整除；则ap-1≡1（modp）。

　　20．分数与百分数的应用

　　基本概念与性质：

　　分数：

把单位“1”平均分成几份；表示这样的一份或几份的数。

　　分数的性质：

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外）；分数的大小不变。

　　分数单位：

把单位“1”平均分成几份；表示这样一份的数。

　　百分数：

表示一个数是另一个数百分之几的数。

　　常用方法：

　　①逆向思维方法：

从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。

　　②