任意角14.docx

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任意角14

　任意角

学习目标

　1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.

知识点一　角的相关概念

思考1　将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？

答　有顺时针和逆时针两种旋转方向.

思考2　如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？

答　不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.

（1）角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

（2）角的分类：

按旋转方向可将角分为如下三类：

类型

定义

图示

正角

按逆时针方向旋转形成的角

负角

按顺时针方向旋转形成的角

零角

一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角

知识点二　象限角

思考　把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边（除端点外）可能落在什么位置？

答　终边可能落在坐标轴上或四个象限内.

在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.

象限角：

终边在第几象限就是第几象限角；

轴线角：

终边落在坐标轴上的角.

知识点三　终边相同的角

思考1　60°，－660°，－300°，420°，780°的角的终边有什么关系？

答　相同.－660°＝60°－2×360°，－300°＝60°－360°，420°＝60°＋360°，780°＝60°＋2×360°.

思考2　如何表示与60°终边相同的角？

答　60°＋k·360°（k∈Z）.

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

类型一　象限角的判定

例1　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.

（1）－150°；

（2）650°；（3）－950°15′.

解　

（1）因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.

（2）因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.

（3）因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.

反思与感悟　本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础.

跟踪训练1　给出下列四个命题：

①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中真命题有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案　D

解析　对于①：

如图1所示，－75°角是第四象限角；

对于②：

如图2所示，225°角是第三象限角；

对于③：

如图3所示，475°角是第二象限角；

对于④：

如图4所示，－315°角是第一象限角.

类型二　终边相同的角的应用

例2　在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.

（1）最大的负角；

（2）最小的正角；（3）[360°，720°）的角.

解　

（1）与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°（k∈Z），由于－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.

（2）由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.

（3）由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.

反思与感悟　求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.

跟踪训练2　写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.

解　由终边相同的角的表示知，与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}.

∵－720°≤β＜360°，

即－720°≤k·360°－1910°＜360°（k∈Z），

∴3

≤k＜6

（k∈Z）.故取k＝4,5,6.

k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；

k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；

k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.

类型三　区域角的表示

例3　写出y＝±x（x≥0）所夹区域（不包括边界）内的角的集合.

解　当α终边落在y＝x（x≥0）上时，角的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}；

当α终边落在y＝－x（x≥0）上时，角的集合为{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z}；

所以，按逆时针方向旋转有集合：

S＝{α|－45°＋k·360°＜α＜45°＋k·360°，k∈Z}.

反思与感悟　解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界的差异.

跟踪训练3　写出第一象限角的集合M.

解　第一象限角的集合表示为

M＝{β|k·360°＜β＜90°＋k·360°，k∈Z}.

拓展　第二、三、四象限角的集合的表示法：

P＝{β|90°＋k·360°＜β＜180°＋k·360°，k∈Z}；

N＝{β|180°＋k·360°＜β＜270°＋k·360°，k∈Z}；

Q＝{β|270°＋k·360°＜β＜360°＋k·360°，k∈Z}.

说明　区间角的集合的表示不唯一.

1.下列说法正确的是（　　）

A.终边相同的角一定相等

B.钝角一定是第二象限角

C.第一象限角一定不是负角

D.小于90°的角都是锐角

答案　B

2.与600°角终边相同的角可表示为（　　）

A.k·360°＋220°（k∈Z）

B.k·360°＋240°（k∈Z）

C.k·360°＋60°（k∈Z）

D.k·360°＋260°（k∈Z）

答案　B

解析　∵600°＝360°＋240°，

∴与600°终边相同的角可表示为k·360°＋240°（k∈Z）.

3.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（　　）

A.A＝BB.B＝C

C.A＝CD.A＝D

答案　D

解析　直接根据角的分类进行求解，容易得到答案.

4.集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于（　　）

A.{－36°，54°}

B.{－126°，144°}

C.{－126°，－36°，54°，144°}

D.{－126°，54°}

答案　C

解析　令－180°＜k·90°－36°＜180°，则－144°＜k·90°＜216°，当k＝－1,0,1,2时，不等式均成立，所对应的角分别为－126°，－36°，54°，144°，故选C.

5.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.

答案　270°

解析　由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°（k∈Z）.又180°<α<360°，所以2

1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.

2.关于终边相同的角的认识

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

注意：

（1）α为任意角；

（2）k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋（－α）；

（3）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；

（4）k∈Z这一条件不能少.

　一、选择题

1.把－1485°化成k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（　　）

A.315°－5×360°B.45°－4×360°

C.－315°－4×360°D.－45°－10×180°

答案　A

解析　可以估算－1485°介于－5×360°与－4×360°之间.∵0°≤α＜360°，

∴k＝－5，则α＝315°.

2.－435°角的终边所在的象限是（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案　D

解析　－435°＝－360°－75°，

－75°是第四象限角，∴－435°为第四象限角.

3.与405°角终边相同的角是（　　）

A.k·360°－45°，k∈ZB.k·180°－45°，k∈Z

C.k·360°＋45°，k∈ZD.k·180°＋45°，k∈Z

答案　C

解析　∵405°＝360°＋45°，

∴与405°终边相同的角是k·360°＋45°，k∈Z.

4.若α＝45°＋k·180°（k∈Z），则α的终边在（　　）

A.第一或第三象限B.第二或第三象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限

答案　A

解析　当k＝2n，n∈Z时，α＝45°＋n·360°，终边在第一象限.

当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝225°＋n·360°，终边在第三象限.

5.若α是第四象限角，则180°－α是（　　）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案　C

解析　可以给α赋一特殊值－60°，

则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.

6.已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是（　　）

A.第一象限角B.第一、二象限角

C.第一、三象限角D.第一、四象限角

答案　C

解析　由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°（k∈Z），故k·180°<α<90°＋k·180°（k∈Z），按照k的奇偶性进行讨论.当k＝2n（n∈Z）时，n·360°<α<90°＋n·360°（n∈Z），∴α在第一象限；当k＝2n＋1（n∈Z）时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°（n∈Z），∴α在第三象限.故α在第一或第三象限.

二、填空题

7.与2013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________.

答案　213°　－147°

解析　与2013°角的终边相同的角为2013°＋k·360°（k∈Z）.当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角.

8.已知α∈（0°，360°），α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝________.

答案　60°

9.角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.

答案　150°＋k·360°，k∈Z

解析　∵30°与150°的终边关于y轴对称，

∴β的