届人教A版真题模拟演练之统计与概率 统 计.docx
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届人教A版真题模拟演练之统计与概率统计
统 计
1.（2016·山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：
小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A.56B.60C.120D.140
2.（2016·江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________.
3.（2016·北京）某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.
4.（2016·四川）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：
吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.
5.（2016·全国Ⅰ）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：
元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
（1）若n＝19，求y与x的函数解析式；
（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
考点1 随机抽样
1.（2015·北京）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A.90B.100C.180D.300
2.（2014·湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（ ）
A.p1＝p2＜p3B.p2＝p3＜p1
C.p1＝p3＜p2D.p1＝p2＝p3
3.（2015·湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示
13
14
15
00345668889
11122233445556678
0122333
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________.
考点2 用样本估计总体
4.（2015·陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A.167B.137C.123D.93
5.（2015·安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为（ ）
A.8B.15C.16D.32
6.（2014·广东）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
图1 图2
A.200，20B.100，20
C.200，10D.100，10
7.（2014·陕西）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a（a为非零常数，i＝1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（ ）
A.1＋a，4B.1＋a，4＋a
C.1，4D.1，4＋a
8.（2014·江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：
cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.
考点3 变量的相关性
9.（2015·新课标全国Ⅰ）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：
万吨）柱形图.以下结论不正确的是（ ）
A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
10.（2015·福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程
＝
x＋
，其中
＝0.76，
＝
－
.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为（ ）
A.11.4万元B.11.8万元
C.12.0万元D.12.2万元
11.（2014·重庆）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数
＝3，
＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A.
＝0.4x＋2.3B.
＝2x－2.4
C.
＝－2x＋9.5D.
＝－0.3x＋4.4
12.（2014·湖北）根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为
＝bx＋a，则（ ）
A.a>0，b>0B.a>0，b<0
C.a<0，b>0D.a<0，b<0
1.（丰台区2015届高三上学期期末）高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查，假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是（ ）
A.两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同
B.两组同学的样本平均数一定相等
C.两组同学的样本标准差一定相等
D.该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同
2.（2016·湖南衡阳二模）
右侧茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为20棵的概率是________.
3.（2016·湖北七校联考）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：
分）
甲组
乙组
9
x 2
7 4
0
1
2
9
5 y 8
4
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A.2，5B.5，5
C.5，8D.8，8
4.（2015·安徽宿州模拟）某种商品的广告费支出x与销售额y（单位：
万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为
＝6.5x＋17.5，则表中的m的值为（ ）
x
2
4
5
6
8
y
30
40
m
50
70
A.45B.50C.55D.60
5.（2015·山东泰安一模）根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
得到的回归方程为
＝bx＋a.若a＝7.9，则x每增加1个单位，y就（ ）
A.增加1.4个单位B.减少1.4个单位
C.增加1.2个单位D.减少1.2个单位
6.（2015·安徽江南十校模拟）将
甲、乙两名篮球运动员在5场篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若
甲，
乙分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是（ ）
A.
甲＞
乙，且甲队员比乙队员成绩稳定
B.
甲＞
乙，且乙队员比甲队员成绩稳定
C.
甲＜
乙，且甲队员比乙队员成绩稳定
D.
甲＜
乙，且乙队员比甲队员成绩稳定
7.（2016·重庆模拟）据我国西部各省（区，市）2013年人均地区生产总值（单位：
千元）绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间[28，38）上的频率是（ ）
A.0.3B.0.4C.0.5D.0.7
8.（2016·陕西西安一模）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ）
A.12B.13
C.14D.15
9.（2016·山东青岛一模）已知数据x1，x2，x3，…，x50，500（单位：
公斤），其中x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3，…，x50，500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（ ）
A.平均数增大，中位数一定变大
B.平均数增大，中位数可能不变
C.平均数可能不变，中位数可能不变
D.平均数可能不变，中位数可能变小
10.（2016·山东济宁一模）如
图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为________.
11.（2016·山东实验中学模拟）在某次测量中得到的A样本数据如下：
582，584，584，586，586，586，588，588，588，588.若B样本数据恰好是A样本数据都加20后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A.众数B.平均数C.中位数D.标准差
12.（2015·淄博模拟）某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A、B、C、D、E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人.
（1）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；
（2）若等级A、B、C、D、E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；
（3）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率.
13.（2016·山西阳泉模拟）某机械厂今年进行了五次技能考核，其中甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，成绩统计情况如茎叶图所示（其中a是0～9的某个整数）
（1）若该厂决定从甲乙两人中选派一人去参加技能培训，从成绩稳定性角度考虑，你认为谁去比较合适？
（2）若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析，在抽取的两次成绩中，求至少有一次成绩在（90，100]之间的概率.
统 计
【三年高考真题演练】
[2016年高考真题]
1.D [设所求人数为N，则N＝2.5×（0.16＋0.08＋0.04）×200＝140，故选D.]
2.0.1 [
＝
＝5.1，则方差s2＝
[（4.7－5.1）2＋（4.8－5.1）2＋（5.1－5.1）2＋（5.4－5.1）2＋（5.5－5.1）2]＝0.1.]
3.解
（1）如题图所示，用水量在[0.5，3）的频率的和为：
（0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3）×0.5＝0.85.
∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，
∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.
（2）当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为：
（0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3）×4＋0.15×3×4＋[0.05×（3.5－3）＋0.05×（4－3）＋0.05×（4.5－3）]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5（元）.
即该市居民该月的人均水费估计为10.5元.
4.解
（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5）中的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.
由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.
（2）由
（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.
（3）因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85.所以2.5≤x<3.由0.3×（x－2.5）＝0.85－0.73，
解得x＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.
5.解
（1）当x≤19时，y＝3800；
当x>19时，y＝3800＋500（x－19）＝500x－5700.
所以y与x的函数解析式为
y＝
（x∈N）.
（2）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.
（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
（3800×70＋4300×20＋4800×10）＝4000，
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
（4000×90＋4500×10）＝4050.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
[两年经典高考真题]
1.C [由题意抽样比为
＝
，∴该样本的老年教师人数为900×
＝180（人）.]
2.D [由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p1＝p2＝p3，故选D.]
3.4 [由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名.]
4.B [由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：
110×70%＋150×（1－60%）＝137.故选B.]
5.C [法一 由题意知，x1＋x2＋…＋x10＝10
，
s1＝
，
则
＝
[（2x1－1）＋（2x2－1）＋…＋（2x10－1）]
＝
[2（x1＋x2＋…＋x10）－n]＝2
－1，
所以S2＝
＝
＝2s1，故选C.
法二 由方差的性质可得.]
6.A [由题图1知该地区中小学生的总人数为2000＋4500＋3500＝10000，因此样本容量为10000×2%＝200.又高中生人数为2000，所以应抽取的高中生人数为2000×2%＝40.由题图2知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为40×50%＝20.故选A.]
7.A [
＝
＝
＝
＋a＝1＋a.s2＝[x1＋a－（1＋a）]2＋[x2＋a－（1＋a）]2＋…＋[x10＋a－（1＋a）]2＝
＝4.]
8.24 [由题意，在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为（0.015＋0.025）×10×60＝24.]
9.D [从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；
2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；
虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.]
10.B [回归直线一定过样本点中心（10，8），∵
＝0.76，∴
＝0.4，由
＝0.76x＋0.4得当x＝15万元时，
＝11.8万元.故选B.]
11.A [由变量x与y正相关知C、D均错，又回归直线经过样本中心（3，3.5），代入验证得A正确，B错误.故选A.]
12.B [由样本数据可知y值总体上是随x值的增大而减少的.故b＜0，又回归直线过第一象限，故纵截距a＞0.故选B.]
【两年模拟试题精练】
1.D [∵两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，
∴每一个个体被抽到的概率都为
，
∴该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同，故选D.]
2.
[记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵树依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是（A1，B1）（A1，B2）（A1，B3）（A1，B4）（A2，B1）（A2，B2）（A2，B3）（A2，B4）（A3，B1）（A3，B2）（A3，B3）（A3，B4）（A4，B1）（A4，B2）（A4，B3）（A4，B4）.设选出的两名同学的植树总棵数为20为事件C，则C中的结果为4个，它们是（A3，B1）（A4，B1）（A3，B3）（A4，B3），故所求概率为P（C）＝
.]
3.C [∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5，∵乙组数据的平均数为16.8，∴9＋15＋10＋y＋18＋24＝16.8×5，∴y＝8，故选C.]
4.B [因为线性回归方程为
＝6.5x＋17.5恒过样本中心点，而
＝5，∴
＝50，则m＝50，故选B.]
5.B [因为回归方程为
＝bx＋a恒过样本中心点（5，0.9），所以b＝－1.4，则x每增加一个单位，y就减少1.4个单位，故选B.]
6.B [根据茎叶图，知：
甲的平均成绩为
甲＝
＝25.6
乙的平均成绩为
乙＝
＝22.6
甲的方差为s
＝
×[（14－25.6）2＋（25－25.6）2＋（26－25.6）2＋（30－25.6）2＋（33－25.6）2]＝41.84，
乙的方差为s
＝
[（16－22.6）2＋（20－22.6）2＋（22－22.6）2＋（24－22.6）2＋（31－22.6）2]＝24.64；
∴
甲＞
乙，s
>s
，即甲运动员比乙运动员平均得分高，乙队员比甲队员成绩稳定.]
7.A [依题意，由图可估计人均地区生产总值在区间[28，38）上的频率是1－（0.08＋0.06）×5＝0.3，选A.]
8.A [1000÷50＝20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项，以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an＝8＋（n－1）×20＝20n－12.由751≤20n－12≤1000，解得38.15≤n≤50.6.再由n为正整数可得39≤n≤50，且n∈Z，故做问卷C的人数为12.故应选A.]
9.B [由题意，数据x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，故选B.]
10.40 [前3个小组的频率和为1－（0.0375＋0.0125）×5＝0.75，所以第2小组的频率为
×0.75＝0.25，所以抽取的人数为：
＝40.]
11.D [由标准差的定义及计算公式可知，原数据统一加上或减去一个数后，标准差不变，故选D.]
12.解
（1）因为“代数”科目中成绩等级为B的考生有20人.
所以该小组有20÷0.25＝80（人）.
所以该小组同学中“几何”科目成绩等级为A的人数为
80×（1－0.375－0.375－0.15－0.025）＝80×0.075＝6人.
（2）该考场考生“代数”科目的平均分为
1×0.2＋2×0.1＋3×0.375＋4×0.25＋5×0.075＝2.9.
（3）因为两科考试中，共有12人次得分等级为A.又恰有4人的两科成绩等级均为A.
所以还有4人有且只有一个科目得分为A.
设得到成绩等级为A的这8人编号为1～8号，其中1～4号是两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，构成的所有基本事件有：
{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{1，7}，{1，8}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{2，7}，{2，8}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{3，7}，{3，8}，{4，5}，{4，6}，{4，7}，{4，8}，{5，6}，{5，7}，{5，8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，共有28个基本事件.
由于被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.
记事件B“随机抽取两人进行座谈交流，这两人的两科成绩等级均为A”.所以事件B中包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个.则P（B）＝
＝
.
13.解
（1）由已知中的茎叶图可得：
甲的平均分为：
（88＋89＋90＋91＋92）＝90，
由甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，
故乙的平均分：
（84＋88＋89＋90＋a＋96）＝90，解得：
a＝3.
则S
＝
[（88－90）2＋（89－90
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