高一数学《集合》练习题及答案详解.docx
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高一数学《集合》练习题及答案详解
1.已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是（）A．3∈AB．1∈A
C．0∈AD．－1∉A
【解析】集合A表示不等式3－3x>0的解集．显然3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式，故选C.
【答案】C
2.下列四个集合中，不同于另外三个的是（）A．{y|y＝2}B．{x＝2}
C．{2}D．{x|x2－4x＋4＝0}
【解析】{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合．故选B.
【答案】B
3.下列关系中，正确的个数为．
①∈R；②∉Q；③|－3|∉N*；④|－|∈Q.
【解析】本题考查常用数集及元素与集合的关系．显然∈R，
①正确；∉Q，②正确；
|－3|＝3∈N*，|－|＝∉Q，③、④不正确．
【答案】2
4.已知集合A＝{1，x，x2－x}，B＝{1,2，x}，若集合A与集合B
相等，求x的值．同一个集合
【解析】因为集合A与集合B相等，两者所含的元素必定完全相同，观察各自的元素，相同的元素有1，x，还剩下集合A的元素“x2－x”与集合B的元素“2”，如果A与B相同，那么“x2－x”与“2”一定相等，
所以x2－x＝2.∴x＝2或x＝－1.
当x＝2时，与集合元素的互异性矛盾．当x＝－1时，符合题意．
∴x＝－1.
一、选择题（每小题5分，共20分）1．下列命题中正确的（）
①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}
或{3,2,1}；③方程（x－1）2（x－2）＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上语句都不对
【解析】{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法
表示．故选C.
【答案】C
2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为（）A．{1,1}B．{1}
C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}
【解析】集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}．故选B.
【答案】B
3．已知集合A＝{x∈N*|－≤x≤}，则必有（）A．－1∈AB．0∈A
C.∈AD．1∈A
【解析】∵x∈N*，－≤x≤，
∴x＝1,2，
即A＝{1,2}，∴1∈A.故选D.
【答案】D
4.定义集合运算：
A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝
{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为（）
A．0B．2
C．3D．6
【解析】依题意，A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6，故选D.
【答案】D
二、填空题（每小题5分，共10分）
5.已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是．
【解析】由互异性知a2≠1，即a≠±1，故实数a不能取的值的集合是{1，－1}．
【答案】{1，－1}
6.已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝.
【解析】用数轴分析可知a＝6时，集合P中恰有3个元素3,4,5.
【答案】6
三、解答题（每小题10分，共20分）
7.选择适当的方法表示下列集合集．
（1）由方程x（x2－2x－3）＝0的所有实数根组成的集合；
（2）大于2且小于6的有理数；
（3）由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．
【解析】
（1）方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x（x2－2x－3）＝0}，有限集．
（2）由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集
合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2（3）用描述法表示该集合为M＝{（x，y）|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为
{（0,4），（1,3），（2,2），（3,1），（4,0）}．
8.设A表示集合{a2＋2a－3,2,3}，B表示集合
{2，|a＋3|}，已知5∈A且5∉B，求a的值．
【解析】因为5∈A，所以a2＋2a－3＝5，
解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去．当a＝－4时，|a＋3|＝1，符合题意，所以a＝－4.
9．（10分）已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}．
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵A中有两个元素，
∴方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，
∴即a＞－.∴a＞－，且a≠0.
（2）当a＝0时，A＝{－}；
当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，Δ＝
9＋16a＝0，即a＝－；
若关于x的方程无实数根，则Δ＝9＋16a＜0，即a＜－；
故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.
1．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－
7≥8－2x}，则A∪B等于（）
A．{x|x≥3}B．
{x|x≥2}
C．{x|2≤x＜3}D．{x|x≥4}
【解析】B＝{x|x≥3}．画数轴（如下图所示）可知选B.
【答案】B
2．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝
{0,3,6,9,12}，则A∩B＝（）
A．{3,5}B．{3,6}
C．{3,7}D．{3,9}
【解析】A＝{1,3,5,7,9}，B＝
{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，
∴A∩B＝{3,9}．故选D.
【答案】D
3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为．
【解析】
设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有（30-x）人，只参加乙项的有（25-x）人．（30-x）+x+（25-x）=50，∴x=5.
∴只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，
∴仅参加一项的有45人．
【答案】45
4．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B
＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值．
【解析】∵A∩B＝{9}，
∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－
4,9}．
此时A∩B＝{－4,9}≠{9}．故a＝5舍
去．
当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不符合
要求，舍去．
经检验可知a＝－3符合题意．
一、选择题（每小题5分，共20分）
1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若
A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为（）
A．0B．1
C．2D．4
【解析】∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D.
【答案】D
2．设S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－
5<0}，则S∩T＝（）A．ØB．{x|x<－}
C．{x|x>}D．{x|－【解析】S＝{x|2x＋1>0}＝{x|x>
－}，T＝{x|3x－5<0}＝{x|x<}，则S∩T＝
{x|－【答案】D
3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－
1≤x≤2}，则A∪B＝（）
A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0【解析】集合A、B用数轴表示如
图，
A∪B＝{x|x≥－1}．故选A.
【答案】A
4．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是（）
A．1B．2
C．3D．4
【解析】集合M必须含有元素a1，
a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}
或M＝{a1，a2，a4}．故选B.
【答案】B
二、填空题（每小题5分，共10分）5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝
{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是．
【解析】A＝（－∞，1]，B＝[a，＋
∞），要使A∪B＝R，只需a≤1.
【答案】a≤1
6．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是．
【解析】由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，则A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，
{3,5}，{1,3,5}．
【答案】4
三、解答题（每小题10分，共20分）
7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2
－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.
【解析】由A∪B＝{1,2,3,5}，B＝
{1,2，x2－1}得x2－1＝3或x2－1＝5.
若x2－1＝3则x＝±2；若x2－1＝5，则x＝±；综上，x＝±2或±.
当x＝±2时，B＝{1,2,3}，此时A∩B＝
{1,3}；
当x＝±时，B＝{1,2,5}，此时A∩B＝
{1,5}．
8．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<
－1或x>5}，若A∩B＝Ø，求a的取值范围．
【解析】由A∩B＝Ø，
（1）若A＝Ø，
有2a>a＋3，∴a>3.
（2）若A≠Ø，
如图：
∴，解得-≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是{a|-≤a≤2或
a>3}．
9．（10分）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小
组的有多少人？
【解析】设单独参加数学的同学为x人，参加数学化学的为y人，单独参加化学的为z人．
依题意解得
∴同时参加数学化学的同学有8人，
答：
同时参加数学和化学小组的有8人．
1.集合{a，b}的子集有（）A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解析】集合{a，b}的子集有Ø，{a}，{b}，{a，b}共4个，故选
D.
【答案】D
2.
下列各式中，正确的是（）A．2∈{x|x≤3}B．2∉{x|x≤3}C．2⊆{x|x≤3}D．{2}{x|x≤3}
【解析】2表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但2不在集合
中，故2∉{x|x≤3}，A、C不正确，又集合{2}⃘{x|x≤3}，故D不正确．
【答案】B
3.集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C.则集合A的个数是．
【解析】若A＝Ø，则满足A⊆B，A⊆C；若A≠Ø，由A⊆B，A⊆C知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，
b}．
【答案】4
4.已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x【解析】
将数集A表示在数轴上（如图所示），要满足A⊆B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}．
一、选择题（每小题5分，共20分）
1.集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是（）
A．5B．6
C．7D．8
【解析】由题意知A＝{0,1,2}，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C.
【答案】C
2.在下列各式中错误的个数是（）
①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；
④{0,1,2}＝{2,0,1}
A．1B．2
C．3D．4
【解析】①正确；②错．因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系；③正确；④正确．两个集合的元素完全一样．故选A.
【答案】A
3．已知集合A＝{x|－1BB．AB
C．BAD．A⊆B
【解析】如图所示，
，由图可知，BA.故选C.
【答案】C4．下列说法：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何
集合的真子集；④若ØA，则A≠Ø.
其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法错
误；③空集不是它自身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．故选B.
【答案】B
二、填空题（每小题5分，共10分）
5．已知Ø{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是．
【解析】∵Ø{x|x2－x＋a＝0}，
∴方程x2－x＋a＝0有实根，
∴Δ＝（－1）2－4a≥0，a≤.
【答案】a≤
6．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝.
【解析】∵B⊆A，∴m2＝2m－1，即（m－1）2＝0∴m＝1，当
m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}满足B⊆A.
【答案】1
三、解答题（每小题10分，共20分）
7．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y.
【解析】从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A＝B，则x＝0或y＝0.
（1）当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
（2）当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由
（1）知x＝0应舍去．综上知：
x＝1，y＝0.
8．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|（x－2）（x－a）＝0}，且N⊆M，求实数a的值．
【解析】由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3.因此，M＝{2，－3}．
若a＝2，则N＝{2}，此时NM；
若a＝－3，则N＝{2，－3}，此时N＝M；若a≠2且a≠－3，则N＝{2，a}，
此时N不是M的子集，
故所求实数a的值为2或－3.
9．（10分）已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈Z}，P＝{x|x＝＋，p∈Z}，请探求集合M、N、P之间的关系．
【解析】M＝{x|x＝m＋，m∈Z}
＝{x|x＝，m∈Z}．
N＝{x|x＝－，n∈Z}
＝
P＝{x|x＝＋，p∈Z}
＝{x|x＝，p∈Z}．
∵3n－2＝3（n－1）＋1，n∈Z.
∴3n－2,3p＋1都是3的整数倍加1，
从而N＝P.
而6m＋1＝3×2m＋1是3的偶数倍加1，
∴MN＝P.
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