倒立摆实验报告根轨迹.docx
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倒立摆实验报告根轨迹
专业实验报告
欧阳光明（2021.03.07）
学生姓名
学号
指导老师
实验名称
倒立摆与自动控制原理实验
实验时间
2014年7月5日
一、实验内容
（1）完成.直线倒立摆建模、仿真与分析；
（2）完成直线一级倒立摆根轨迹校正与仿真控制实验：
1）理解并掌握根轨迹控制的原理和方法，并应用于直线一级倒立摆的控制；
2）在Simulink中建立直线一级倒立摆模型，通过实验的方法调整根轨迹参数并仿真波形；
3）当仿真效果达到预期控制目标后，下载程序到控制机，进行物理实验并获得实际运行图形。
二、实验过程
1.实验原理
（1）直线倒立摆建模方法
倒立摆是一种有着很强非线性且对快速性要求很高的复杂系统，为了简化直线一级倒立摆系统的分析，在实际的建模过程中，我们做出以下假设：
1、忽略空气阻力；
2、将系统抽象成由小车和匀质刚性杆组成；
3、皮带轮和传送带之间无滑动摩擦，且传送带无伸长现象；
4、忽略摆杆和指点以及各接触环节之间的摩擦力。
实际系统的模型参数如下表所示：
M
小车质量
0.618
kg
m
摆杆质量
0.0737
kg
b
小车摩擦系数
0.1
N/m/sec
l
摆杆转动轴心到杆质心的长度
0.1225
m
I
摆杆惯量
0.0034
kg*m*m
g
重力加速度
9.8
kg.m/s
（2）直线一级倒立摆根轨迹校正控制原理
基于根轨迹法校正的基本思想是：
假设系统的动态性能指标可由靠近虚轴的一对共轭闭环主导极点来表征，因此，可把对系统提出的时域性能指标的要求转化为一对期望闭环主导极点。
确定这对闭环主导极点的位置后，首先根据绘制根轨迹的相角条件判断一下它们是否位于校正前系统的根轨迹上。
如果这对闭环主导极点正好落在校正前系统的根轨迹上，则无需校正，只需调整系统的根轨迹增益即可；否则，可在系统中串联一个超前校正装置。
常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。
2.实验方法
（1）直线倒立摆建模、仿真与分析
利用牛顿-欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型；依照根轨迹设计的步骤得到系统的控制器，利用MATLABSimulink中的工具进行仿真分析。
（3）直线一级倒立摆根轨迹校正控制
利用MATLABSimulink来实现根轨迹校正控制参数设定和仿真，并利用该参数来设定只限一级倒立摆的根轨迹校正控制器值，分析和仿真倒立摆的运行情况。
3.实验装置
直线单级倒立摆控制系统硬件结构框图如图1所示，包括计算机、I/O设备、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件等几大部分，组成了一个闭环系统。
图1一级倒立摆实验硬件结构图
对于倒立摆本体而言，可以根据光电码盘的反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分法得到。
摆杆的角度由光电码盘检测并直接反馈到I/O设备，速度信号可以通过差分法得到。
计算机从I/O设备中实时读取数据，确定控制策略（实际上是电机的输出力矩），并发送给I/O设备，I/O设备产生相应的控制量，交与伺服驱动器处理，然后使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。
图2是一个典型的倒立摆装置。
铝制小车由6V的直流电机通过齿轮和齿条机构来驱动。
小车可以沿不锈钢导轨做往复运动。
小车位移通过一个额外的与电机齿轮啮合的齿轮测得。
小车上面通过轴关节安装一个摆杆，摆杆可以绕轴做旋转运动。
系统的参数可以改变以使用户能够研究运动特性变化的影响，同时结合系统详尽的参数说明和建模过程，我们能够方便地设计自己的控制系统。
图2一级倒立摆实验装置图
上面的倒立摆控制实验仪器，包括：
摆杆机构、滑块导轨机构基座，其特征在于：
其蜗杆通过轴承固定于基座上，与之啮合的涡轮扇的轴通过轴承固定于动座下边，大皮带轮轴一端联接电机，另一端电位计由支座固定于动座上并电机共轴，大皮带轮与2个小皮带轮通过皮带连结，并通过轴承固定于动座之上；滑块固定联接于皮带轮之间的皮带上，同时滑块与动座固定的导轨动配合；摆杆机构通过下摆支座与滑块绞接；控制箱连电位计，电机。
4.实验内容及步骤
1）设计根轨迹校正控制器。
（1）确定闭环期望极点
的位置，由最大超调量
，
可以得到
，取
，
由
得
rad，
其中
为位于第二象限的极点和原点的连线与实轴负方向的夹角。
图3性能指标与根轨迹关系图
又由
可以得到
，取
，于是可以得到期望的闭环极点为
。
（2）未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为
。
（3）计算超前校正装置应提供的相角，已知系统原来的极点在主导极点产生的滞后相角和为
，
所以一次校正装置提供的相角为
。
（4）设计超前校正装置，已知
，对于最大的
值的
角度
。
图4根轨迹校正计算图
按最佳确定法作图规则，在上图中画出相应的直线，求出超前校正装置的零点和极点，分别为
，
校正后系统的开环传递函数为
。
（5）由幅值条件
，反馈为单位反馈，所以可得
。
（6）于是我们得到了系统的控制器
（2）直线倒立摆建模、仿真与分析
1）应用经典力学的理论，结合实验手册建立直线一级倒立摆系统的抽象数学模型；
（3）直线一级倒立摆PID控制实验
1）PID控制参数设定及仿真
在Simulink中建立如图5所示的直线一级倒立摆模型。
图5基于根轨迹校正控制的直线一级倒立摆Simulink仿真模型
点击“Simulation”菜单，在下拉菜单中选择“SimulationParameters”，在下面窗口中设置“Simulationtime”以及“Solveroptions”等选项。
设置仿真步长为0.01秒。
图6SimulationParameters界面
点击运行仿真，双击“Scope”模块观察仿真结果：
图7直线一级倒立摆的根轨迹校正仿真结果（一阶控制器）
可以看出，系统能较好的跟踪阶跃信号，但是存在一定的稳态误差，修改控制器的零点和极点，可以得到不同的控制效果，多次改变参数后，选取仿真结果最好的参数进行根轨迹校正控制物理实验。
2）根轨迹校正控制实验
双击快捷方式“元创兴便携式倒立摆实物控制”，在左侧的SelectExperiment模块中选择实验编号2，然后单击右侧对应的EnabledSubsystem模块后出现以下界面。
图8根轨迹校正实验模块组成
把仿真得到的参数输入根轨迹校正控制器，点击“OK”保存参数；
点击编译程序，完成后点击使计算机和倒立摆建立连接；
点击运行程序，缓慢提起倒立摆的摆杆到竖直向上的位置，在程序进入自动控制后松开，当小车运动到正负限位的位置时，用工具挡一下摆杆，使小车反向运动。
5、实验延伸拓展
在学习本次根轨迹校正控制实验的同时，我查阅了更多的资料，并尝试运用matlab自带的工具箱来获得更加稳定的根轨迹校正控制器的值。
（1）根据已知参数，执行下面的matlab文件，可以依次得到系统的状态空间表达式、系统的传递函数，以及零极点增益表达式如下：
M=0.618;
m=0.0737;
b=0.1;
l=0.1225;
I=0.0034;
g=9.8;
p=（I*（M+m）+M*m*l^2）;
A=[0100;
0-（I+m*（l^2））*b/p（m^2）*g*（l^2）/p0;
0001;
0-m*l*b/pm*g*l*（M+m）/p0];
B=[0;（I+m*l^2）/p;0;m*l/p];
C=[1000;0010];
D=[0;0];
Gz=ss（A,B,C,D）
Gc=tf（Gz）
Gs=zpk（Gz（2,1））
%------end---------
1、状态空间表达式
Gz=
a=
x1x2x3x4
x10100
x20-0.14850.26320
x30001
x40-0.297420.160
b=
u1
x10
x21.485
x30
x42.974
c=
x1x2x3x4
y11000
y20010
d=
u1
y10
y20
2、传递函数表达式
Gc=
Frominputtooutput...
1.485s^2+1.319e-15s-29.15
1:
--------------------------------------
s^4+0.1485s^3-20.16s^2-2.915s
2.974s-5.151e-18
2:
----------------------------------
s^3+0.1485s^2-20.16s-2.915
Continuous-timetransferfunction.
3、零极点增益表达式
Gs=
2.9745s
------------------------------
（s-4.488）（s+4.492）（s+0.1446）
Continuous-timezero/pole/gainmodel.
（2）SISOTOOL进行根轨迹分析
>>SISOTOOL（Gs）
打开SISODesignTOOL得到系统开环传递函数的根轨迹图，并调节ControlandEstimationToolsManager|ControlArchitecture窗口，使得控制器C在反馈通道
图9ControlArchitecture窗口
打开Edit|SISOToolPreferences|Options|选择Zero/pole/gain，没有添加控制器的开环传递函数根轨迹如图所示，
图10开环传递函数根轨迹
然后在MatlabCommandWindow中再输入：
>>pole（Gs）
ans=
4.4884
-4.4923
-0.1446
可以看到传递函数的极点分布为：
两个左半平面的极点和一个右半平面的极点，以及一个在原点的零点，构成了非最小相位系统，显然，系统是不稳定，由于传递函数有一个极点位于右半平面.
（3）通过添加超前滞后校正得到相对稳定的系统
依次添加的零点-5与极点-100构成超前校正器，添加的零点-1与极点0构成滞后校正，最后拖动系统闭环主导极点，使其向左半平面移动，从而调节增益k，并同时观察阶跃响应曲线和Nyquist曲线，使得系统稳定，并同时达到设计指标。
所添加的零点-1与极点0构成滞后校正，滞后校正网络实质上是一个低通滤波器，对低频信号有较高的增益，从而减小了系统的稳态误差，同时由于滞后校正在高频段的衰减作用，使增益剪切频率移到较低的频率上，保证了系统的稳定性。
从而有助于改善系统的稳态性能，并且能够保持理想的瞬态性能。
所添加的零点-5与极点-100构成超前校正器，能够产生如下影响：
（1）渐近线向左移动，有利于改善系统的瞬态性能；
（2）改变根轨迹的分布图，使超前校正装置的零极点分布合理，并有助于改善系统的瞬态特性。
图11阶跃响应曲线和Nyquist曲线
图12根轨迹在原点处局部放大的根轨迹
绘制阶跃响应曲线和Nyquist曲线
图13阶跃响应曲线和Nyquist曲线
可以看出摆杆角度最终小于0.04rad，稳定时间在3.0-3.5s之间。
按照操作步骤6的方法导出此时控制器的传递函数.
（4）导出控制器的传递函数
Cs=
484.98（s+1）（s+5）
------------------
s（s+100）
Cs=tf（Cs）
Cs=
485s^2+2910s+2425
-----------------------
s^2+100s
对此时的控制器传递函数进行离散化如下，
c2d（Cs,0.005）
ans=
485z^2-958.5z+473.6
-------------------------
z^2-1.607z+0.6065
（5）Simulink仿真
1、基于线性模型的Simulink仿真
分别从信号源库（Sources）、数学运算库（MathOperations）、连续系统库（Continuous）、常用模块（CommonlyUsedBlocks）、输出方式库（Sinks）中将阶跃信号发生器（Step）、相加器（Sum）、状态空间模型（State-Space）、传递函数（TransferFcn）、分线器（Demux）、示波器（Scope）选中，并将其拖至模型窗口。
按要求将各个模块如图连接好。
四个示波器分别显示小车位置，小车速度，摆杆摆角，摆杆角速度。
图14根轨迹校正的simulink仿真图
运行后，双击Scope和Scope2得到小车位置和摆杆角度的单位阶跃响应的曲线：
图15小车位置图16摆杆角度
由图可知，摆杆能够稳定，但是小车的位置不能够控制。
由于直线一级倒立摆是单输入单输出模型，在设计时只把摆杆角度作为控制目标，而没有涉及小车的位置，小车位移在阶跃输入下信号线性增加，所以小车在单方向运动，不能稳定在某个位置，最终会触发限位开关。
2、基于非线性模型的Simulink仿真
控制器采用线性方程仿真所设计的摆杆角度控制器,在课后习题有涉及计算环节，不再详述。
图17基于非线性模型的Simulink仿真
图18小车位置图19摆杆角度
三、结果
1.完成直线倒立摆建模、仿真与分析
运行后，倒立摆经过手动起摆，到达平衡位置后稳定；如果给以一定范围内的干扰，倒立摆能较快地重新恢复平衡状态。
需要注意的是，尽量让小车处于轨道中间位置附近。
2.完成直线一级倒立摆根轨迹校正控制实验
（1）倒立摆平衡实验结果如下图所示：
图20直线一级倒立摆根轨迹校正控制实验结果
从图中可以看出，倒立摆可以实现较好的稳定性。
（2）扰动实验
在系统处于稳态时，考察系统的抗扰动能力。
在给定干扰的情况下，小车位置和摆杆角度的变化曲线如下图所示：
图21直线一级倒立摆根轨迹控制实验结果2（施加干扰）
可以看出，系统可以较好的抵换外界干扰，在干扰停止作用后，系统能很快回到平衡位置。
（3）实验结果分析
从图21所示的变化曲线可知，当小车位置受到外界干扰而变化时，系统控制程序总能使其在一定时间内，逐渐回到一个固定角度范围内；如果不受到干扰，将一直保持在这个角度范围内，最后趋于定值，保持稳定。
通过本次实验，对根轨迹校正控制理论以及倒立摆的相关知识有了一定的了解，实现了利用根轨迹校正理论来控制直线一级倒立摆。
实验证明，根轨迹在倒立摆控制中，在精度、稳定性和抗干扰性上面都有良好的表现，并且其系统成本低、安装简单、维护调试方便，更易于扩展。
实验指导教师评语：
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