山东淄博中考数学解析.docx
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山东淄博中考数学解析
2019年山东省淄博市初中毕业、升学考试
数学
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题4分，共48分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2019山东淄博，题号1，分值4）比－2小1的实数是（）
A.－3B.3C.－1D.1
【答案】A.
【解析】由题意可列出：
－2－1＝－（2＋1）＝－3．
即比－2小1的数为－3．
故选：
A．
【知识点】实数的运算，有理数的减法
2．（2019山东淄博，题号2，分值4）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿人民币，将40亿用科学记数法表示为（）
A.40108B.4109C.401010D.0.41011
【答案】B.
【解析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1
时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．因此40亿可用科学记数法表示为4×109，故选：
B.
【知识点】科学记数法－表示较大的数
3．（2019山东淄博，题号3，分值4）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）
A.B.C.D.
【答案】D.
【解析】：
A、圆柱的主视图和左视图是长方形、俯视图是圆形，故本选项不符合题意；
B、三棱柱的主视图和左视图是相同的长方形，但是俯视图是一个三角形，故本选项不符合题意；
C、长方体的主视图和左视图是不一样的长方形，俯视图也是一个长方形，故本选项不符合题意；
D、球体的主视图、左视图和俯视图是相同的圆，故本选项符合题意．
故选：
D．
【知识点】简单几何体的三视图
4．（2019山东淄博，题号4，分值4）如图，小明从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从点B处沿东
偏南20°方向行走至C处，则∠ABC等于（）
答案】C．
解析】如图，由题意，得∠DAB＝40°，∠EBC＝20°，
∵南北方向上的两条直线是平行的，
∴AD∥BF，∴∠ABF＝∠DAB＝40°.又∵∠EBF＝90°，
∴∠CBF＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ABC＝∠ABF＋∠CBF＝40°＋70°＝110°.故选：
C.
【知识点】方向角，平行线的性质
1x15．（2019山东淄博，题号5，分值4）解分式方程2时，去分母变形正确的是（）
x22x
A.1x12（x2）B.1x12（x2）
C.1x12（2x）D.1x12（x2）
【答案】D.
【解析】方程两边同乘以x－2，得1x12（x2），故选：
D.
【知识点】解分式方程的步骤
6．（2019山东淄博，题号6，分值4）与下面科学计数器的按键顺序：
对应的任务是（）
0·6×5ab/c6+12yx4
A.0.66124B.0.65124C.0.656412D.0.65412
566
【答案】B
5
【解析】由计算器中输入顺序，对应的任务是0.6124，故选B.
6
【知识点】用科学计算器计算
7．（2019山东淄博，题号7，分值4）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影
部分的面积为（）
A.2B.2C.22D.6
【答案】B
【解析】由小正方形的面积为2，则其边长为2，大正方形的面积为8，则其边长为8＝22，所以阴影部分的面积为2×（22－2）＝2.
故选：
B.
【知识点】算术平方根，二次根式的计算，面积的计算
B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（
7
D.a
2
5
A.2aB.aC.3a
2
【答案】C.
【思路分析】在△BAC和△ADC中，∠C是公共角，∠CAD＝∠B.，则△BAC∽△ADC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，进而求出△ABD的面积.
BC
【解题过程】在△BAC和△ADC中，∵∠C是公共角，∠CAD＝∠B.，∴△BAC∽△ADC，∴2,
AC
SVABCBC2
∴VABC=（）24，又∵△ADC的面积为a，∴△ABC的面积为4a，∴△ABD的面积为3a.
SVDACAC
【知识点】相似三角形的判定和性质
22
9．（2019山东淄博，题号9，分值4）若x1x23,x12x225,则以x1,x2为根的一元二次方程是（）
A.x23x
20
B.x2
3x2
0C.x23x2
0
D.x2
3x20
【答案】A.
【思路分析】
已知
x1x23,再求出
x1gx2的值，进而求出以
x1,x2为根的一
元二次方程
【解题过程】
（x1
x2）2x12
2x2
2x1x2,
又∵x1x2
22
3,x1x25,
∴2x1x2
（x1
x2）2（x12
x22）
954,
∴x1,x22，
2
∴以x1,x2为根的一元二次方程是x23x20.
故选：
A.
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
h随时间t的变化情
10．（2019山东淄博，题号10，分值4）从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度况如图所示，则对应容器的形状为（）
答案】C思路分析】由函数图象，结合容器的形状，根据单位时间内液面高度的变化解答.解题过程】从函数图象上观察得，注入容器酒精时，随着时间t的增加，液面高度也在不断增加，但是，增加的高度是由慢快慢快，在速度一定的情况下，容器的形状应该相应的变大变小变大变小，故选：
C.
【知识点】函数图象
2
11．（2019山东淄博，题号11，分值4）将二次函数yx24xa的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）
A.a>3B.a<3C.a>5D.a<5
【答案】D.【思路分析】先把二次函数解析式化为顶点式，再利用二次函数的平移规律表示出平移后的二次函数解析式，与y＝2联立成一元二次方程，根据两函数有两个交点，则△>0,列出不等式求出a的范围.
【解题过程】∵yx24xa（x2）2（a4），向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式为
2
y（x1）2（a3），
令2（x1）2（a3），即x22xa40，
由⊿44（a4）>0，得a<5.
【知识点】二次函数图象的平移规律，抛物线与直线的交点问题，一元二次方程根的判别式
12．（2019山东淄博，题号12，分值4）如图，OA1B1,A1A2B2,A2A3B3,⋯是分别以A1,A2,A3,⋯为直角顶点，
一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1,y1）,C2（x2,y2）,C3（x3,y3）,⋯均在反比
4
例函数y（x>0）的图象上，则y1y2Ly100的值为（）
x
A.210B.6C.42D.27
【答案】20
【思路分析】根据△OC1A1是等腰直角三角形，过点C1作C1M⊥x轴，则C1M＝OM＝MA1，所以可设C1的坐标是（a，a），把（a，a）代入解析式得到a＝2，从而求出A1的坐标是（4，0），再根据△C2A1A2是等腰直角三角形，设C2的纵坐标是b，则C2的横坐标是4＋b，把（4＋b，b）代入函数解析式得到b的值，故可得出C2的纵坐标y2，同理可以得到C3的纵坐标，⋯C100的纵坐标，根据规律可以求出y1＋y2＋⋯＋y100．
【解题过程】如图，过点C1作C1M⊥x轴，
∵△OC1A1是等腰直角三角形，∴C1M＝OM＝MA1，
4
设C1的坐标是（a，a）（a>0），，把（a，a）代入解析式y（a>0）中，得a＝2，
x
∴y1＝2,
∴A1的坐标是（4，0），
又∵△C2A1A2是等腰直角三角形，
∴设C2的纵坐标是b（b>0），则C2的横坐标是4＋b，
把（4＋b，b）代入函数解析式得b＝4，解得b＝22﹣2，
4b
∴y2＝22﹣2，
∴A2的坐标是（42，0），
设C3的纵坐标是c（c>0），则C3横坐标为42＋c，把（42＋c，c）代入函数解析式得c＝4
42
解得c＝23﹣22，
∴y3＝23﹣22.
∵y1＝21﹣20，y2＝22﹣21，y3＝23﹣22，⋯
∴y100＝2100﹣299，
∴y1＋y2＋y3＋⋯＋y100＝2＋22﹣2＋2﹣22＋⋯＋2100﹣299＝2100＝20.
【知识点】规律探究问题，反比例函数图象和性质，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，二次根式的计算
二、填空题：
本大题共5小题，每小题4分，共20分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
132
13．（2019山东淄博，题号13，分值4）单项式a3b2的次数是
2
【答案】5
【解析】单项式的次数是所有字母指数的和，即2＋3＝5.
【知识点】单项式的概念及单项式的次数
32
14．（2019山东淄博，题号14，分值4）分解因式：
x35x26x＝
【答案】x（x3）（x2）
【解析】x35x26x＝x（x25x6）x（x3）（x2）.
【知识点】因式分解，提取公因式法，十字相乘法
α<180°）
15．（2019山东淄博，题号15，分值4）如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0<
得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝度
【答案】90°
【解析】∵旋转图形的对称中心到对应点的距离相等，∴分别作边AC和A1C1的垂直平分线，两直线相交于点D，则点D即为旋转中心，连接AD，A1D，∴∠ADA1＝α＝90°
【知识点】旋转对称图形的性质，旋转角
16．（2019山东淄博，题号16，分值4）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任取两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦?
青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是
3
【答案】3
5
解析】解法1：
列表如下
女
女
女
男
男
女
女，女
女，女
女，男
女，男
女
女，女
女，女
女，男
女，男
女
女，女
女，女
女，男
女，男
男
女，男
女，男
女，男
男，男
男
女，男
女，男
女，男
男，男
所有可能的结果数为20，选中一男一
女的结果数为12，
所以，选中一男一女的概率
P＝12
3.
20
5.
解法2：
画树状图如下
所有可能的结果数为20，
选中一男一
女的结果数为12，
所以，选中一男一女的概率
12P＝
3
20
5.
【知识点】用列表法或树状图法求事件的概率
17．（2019山东淄博，题号17，分值4）如图，以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，
使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF.
13
如图1，当CD＝AC时，tan1;
214
15
如图2，当CD＝AC时，tan2;
3212
1
如图3，当CD＝41AC时，tan3
7
24
1
tan
依次类推，当CD＝AC（n为正整数）时，
n1
∴tann
2n12n1n（2n2）2n（n1）
知识点】几何变换，规律探究题
三、解答题：
本大题共7个小题，共52分。
解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
x5
18．（2019山东省淄博市，18，5分）解不等式：
＋1>x－3．
2【思路分析】解不等式的步骤：
解不等式，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.【解题过程】x－5＋2>2x－6,
x－2x>－6＋5－2,
－x>－3,
x<3.
【知识点】解不等式，不等式性质.
19．（2019山东省淄博市，19，5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：
∠E＝∠C．
思路分析】证明△ABC和△ADE全等.
解题过程】∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC,即∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，
AB＝AD
BACDAE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠E＝∠C．
AC＝AE
知识点】全等三角形的判定，SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
20．（2019山东省淄博市，20，8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年3
月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10~60岁年龄段
市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：
组别
年龄段
频数（人数）
第1组
10≤x<20
5
第2组
20≤x<30
a
第3组
30≤x<40
35
第4组
40≤x<50
20
第5组
50≤x<60
15
20
（3）×300万＝60万.
100
A、B两种产
【知识点】频数，直方图，扇形统计图，
21．（2019山东省淄博市，21，8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的
品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润＝售价－成本），其每件产品的成本和售价信息如下表：
A
B
成本（单位：
万元/件）
2
4
售价（单位：
万元/件）
5
7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少?
【思路分析】根据销售总额为2060万元，总利润为1020万元列关于二元一次方程组，从而求得两种产品的销售件数
【解题过程】设A种产品销售件数为x件，B种产品销售件数为y件，由题意列方程得
5x7y2060x160
解得，
3x3y1020y180
答：
A种产品销售件数为160件，B种产品销售件数为180件.【知识点】二元一次方程组的应用
22．（2019山东省淄博市，22，8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：
①BC是⊙O的切线；②CD2＝CECA；
（2）
若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积。
思路分析】
（1）①BC是⊙O的切线，需连接DO，再证DO⊥BC；
CDCE
②由CD2＝CECA，需证CD＝CE,从而证△CDE∽△CAD；
CACD
（2）由F为弧AD的中点可得△DFO、△AOF是等边三角形，由此求出⊙O的半径.
【解题过程】
（1）①连接DO，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵DO＝AO，∴∠EAD＝∠ADO，∴∠BAD＝∠ADO，∴BA∥DO，∴∠CDO＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠CDO＝90°，∴BC是⊙O的切线；
②连DE，∵AE是直径，∴∠ADE＝90°，∴∠CDE＋∠ADB＝90°，又∵∠ADB＋∠BAD＝90°，∠BAD＝∠DAE，
（2）连接OD、FO、DF，∵点F是劣弧AD的中点，
∴D?
F＝?
AF，∴∠AOF＝∠DOF，∠BAD＝∠ADF，∵∠BAD＝∠EAD，∴∠EAD＝∠ADF，∴DF∥AC，∴∠AOF＝∠DFO，又∵∠DFO＝∠FDO，∴∠DFO＝∠FDO＝∠DOF
＝60°，又∴DF∥AC，∴S△DFA＝S△DFO,
连DE，∴△DEO是等边三角形，∴∠CDE＝30°＝∠C，∴CE＝DE＝DO＝3，
123
∴S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝
2
知识点】切线判定方法，相似三角形的判定，等边三角形判定，等底等高的三角形面积相等，扇形面积计算
23．（2019山东省淄博市，23，10分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M．连接MD，MG，MB．
（1）试证明DM⊥MG，并求MB的值；
MG
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0°<α<90°）．其它条件不变，问
（1）中MB的值有变化吗?
MG若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．
【思路分析】
（1）由M是EF的中点，构造全等三角形，
（2）根据菱形＋∠EAB＝2α可以设连接特殊线段，根据特殊垂直证明四边形TBFD为矩形，再设边长为2和1
在直角三角形用α和边长2和1表示出MB和MG最后求出比值MB412
MGtan2
【解题过程】
（1）延长GM交DE于H，∵EF的中点M，∴EM＝FM，∵正方形ABDE、正方形BCFG，∴AB∥DE∥
∠AMH=∠FMG
GF，∴∠HEM＝∠GFM，在△EHM和△FGM中，EMFM，∴△EHM≌△FGM（ASA）,∴HM＝MG，GF
∠HEM=∠GMF
＝EH，∵AB＝2BC，∴GF＝EH＝DH＝DG，∴DM是△HDG底边上的中线，∴DM⊥MG；
设AB＝4，BC＝2，易求MB＝1EF＝122425，MG＝2BC＝2，∴MB=2=10
222MG55
由题知AD⊥EB、EF⊥GC，DF⊥BF，∠EAT＝∠BAT＝∠GBQ＝∠CBQ＝α∴四边形TBFD为矩形∴DF＝TB∵G为BD的中点
1∴MG＝DF
2
由题设AB＝2，
在RT△EBF中由勾股定理得
全等三角形判定，等腰三角形三线合一,倍长中线构造全等
24．（2019山东省淄博市，24，12分）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A（3，0），B（－1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在点P，使得△PAM为直角三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求
CI的最小值．
思路分析】
（1）将A、B两点坐标代入抛物线表达式；
（2）△PAM是直角三角形，分类讨论：
当点P、A、M分别是直角顶点时的情况，构造相似三角形；
（3）（方法1）由
（1）得DA＝OA＝3，设D（x,y），△ADG的内切圆半径为r，表示内心I（x＋r,r）,DG＝y,AG＝3－x
333
由两点距离公式可得DA，r，CI，联立方程组解得当CI2在x5，y=51最小，此时CI也最小，
2105
方法2）如图，由内心易知：
∠DIA＝135°，∠DAI＝∠OAI，△DAI≌△OAI（SAS），∴∠DIA＝∠OIA＝135°，则
33
在△CIA中，CI≥CT－IT＝10-2，当C、I、T三点一线时，CImin=10-2
2min2
∴y＝－x2＋2x＋3.
（2）假设存在点P，使△PAM是直角三角形.
当点M为直角顶点，过M作CD⊥y轴，过A作AD⊥x轴，交CD于D，CD交y轴于C，∵∠AMP＝90°，∴∠CMP
17
∴PC＝，∴P1（0,）;
2
2
当点
A为直角顶点，过
A作CD⊥x轴，过
M作MD⊥y轴交AD于D，
过P作PC⊥y轴交CD于C，
同上△CPA∽
△DAM，∴PC＝
AC3AC
，∴＝，
3
∴AC＝，∴P2（0,－
3）;
AD
MD42
2
2
当点
P为直角顶点，过
M作CM⊥y轴于C，
∴△CPM∽△OAP，∴
PC
＝CM，∴
＝，∴
PC＝1，∴
＝，∴
PC＝1或3，
AO
PO
34-PC
∴P3（0,3），P4（0,1）.
综上所述，使△PAM是直角三角形的点P的是
P1（0,7），P2（0,－3），P3（0,3），P4（0,1）.
22
（3）（方法1）由
（1）得DA＝OA＝3，∴DG＝y,AG＝3－x
设D（x,y），
△ADG的内切圆半径为r，则△ADG的内心I为（x＋r,r）,
由两点距离公式可得DA2
x3
2
y2
329①
由等面积法得
r＝
DG+AG
DA
x3=y2x②
∴CI2
2
2③
由①②③得
CI
35
10
35
5
91225
2
CI2在x
方法2）
3
2
简解：
如图，由内心易知：
∠
1305，
y=5351最小，
此时
CI也最小，
CImin
91225=
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