三角形的证明一元一次不等式.docx
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三角形的证明一元一次不等式
第1讲：
特殊三角形的性质与判定
一、知识回顾：
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
等边对等角
等角对等边
等边三角形的性质与判定
（1）等边三角形的每个内角都等于60°。
（2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。
如果一个等腰三角形中有一个角等于60°，那么这个三角形是等边三角形。
直角三角形的性质与判定
直角三角形两锐角互余
有两个内角互余的三角形是直角三角形
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写为“HL”）
直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半
勾股定理
勾股定理逆定理
四、典型例题分析：
1、已知：
如图∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC。
求证：
AB＝AC
2、在上图中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？
如果结论成立，你能证明这个结论吗？
3：
△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于________.
、
4：
△ABC中，BD⊥AC与D，AB=6,AD=4,BC=5,DC=_______。
5，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于_________________
第五题图第六题图
6、△ABC中，AB=AC=10，BD⊥AC于D，CD=2，则BC等于_______.
达标训练
1、如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、如果等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为＿＿＿＿＿。
3、如果等腰三角形有一个角等于50°，那么另两个角为＿＿＿＿＿。
4、如果等腰三角形有一个角等于120°，那么另两个角为＿＿＿＿。
5、在△ABC中，∠A＝40°，当∠B等于多少度数时，△ABC是等腰三角形？
6、如图，△ABC中，AB＝AC，角平分线BD、CE相交于点O，
求证：
OB＝OC。
7、如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝2∠B，由这些条件你能得到哪些结论？
请证明你的结论。
8、已知：
如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。
求证：
△ADE是等边三角形。
9．在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点．（）
（A）高（B）角平分线（C）中线（D）边的垂直平分线
10．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（）
（1）AD平分∠EDF；
（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
11．如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件_______或；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件或．
12.如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P.Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=时,才能使ΔABC≌ΔPQA.
13.如图,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D,DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为___________cm.
14.如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF.求证：
AB=AC
15.已知：
如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.
你能说明BE与DF相等吗？
第2讲：
垂直平分线与角平分线
知识点：
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等
角平分线上的点到角两边的距离相等
在角的内部，如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点就在这个角的平分线上
三角形的三个角的角平分线相交于一点，这一点到三条边的距离相等
例题精讲
例1、已知：
如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。
例2、如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，
求证BE=CF；
例3、△ABC中，AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。
（1）已知：
CD=4cm,求AC长
（2）求证：
AB=AC+CD
当堂训练：
1、已知：
线段AB及一点P，PA=PB，则点P在上。
2、已知：
如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直
平分线交BC于D则∠ADC=。
3、△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线
交AC于D则∠DBC的度数。
4、△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，则∠B∠BAE，∠C∠GAF，若∠BAC=1260，则∠EAG=。
5、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分
AB，则△BCD的周长是。
6、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
7、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）
A、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；
C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。
8、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）
A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不能确定
9、等腰Rt△ABC中，AB=AC,BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是。
11、在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，BC=CM，BD：
DC：
=4：
3，则点D到AB的距离为___________。
12、在RT△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是是斜边AB的垂直平分线，且DE=1CM，则AC=_______________.
13、OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）
A：
PD=PEB：
OD=OEC：
∠DPO=∠EPOD：
PD=OD
14、△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°
15、与相交的两直线距离相等的点在（）
A：
一条直线上B：
一条射线上C：
两条互相垂直的直线上D：
以上都不对
16、到一个角的两边距离相等的点在。
17、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:
DC=4:
3,则D到AB的距离为.
18、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC=cm。
19、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则∠BAO和∠CAO的大小关系为。
20、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是。
21、已知：
OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD求证：
BE=BF
1、（2013•雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．100°
2、（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：
S△ABC=1：
3．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
3、（2013•曲靖）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠AOE= ．
4、（2013成都市）如图，
，若AB∥CD，CB平分
，则
______度.
5、（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
第三讲：
三角形的证明单元复习
一、等腰、等边三角形
1、在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________.
2、已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是_________．
3、等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．
4、等腰三角形的两边长分别为4厘米和6厘米，这个三角形的周长为_______
5、等腰三角形的两边分别是7cm和3cm，则周长为_________.
6、由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________，大角对_________.
8、等腰三角形中的一个角等于
，则另两个内角的度数分别为（ ）
A、
，
B、
，
C、
，
D、
，
或
，
9、等腰三角形的一个外角等于
，则这个三角形的三个内角分别为（ ）
A、
，
，
B、
，
，
C、
，
，
D、
，
，
或
，
，
10、如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大
，那么顶角为（ ）
A、
B、
C、
D、
11、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）
A.17B.22C.13D.17或22
12、如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是
A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
13、如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，则图中共有等腰三角形
A.1个B.2个C.3个D.4个
14、如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，
交AC于E，若DE=4cm，AE=5cm，则AC等于
A.5cmB.4cm
C.9cmD.1cm
15、如图，在
中，AB=AC，
，BD和CE分别是
和
的平分线，且相交于点P.在图中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）.
A．9个B．8个C．7个D．6个
16、如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC等于_________度.
17、给出下列命题，正确的有（）
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形
A.1个B.2个C.3个D.4个
18、如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（）
A.等边三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形
19、边长为2cm的等边三角形的面积为cm2
二、直角三角形
1、一个三角形的两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边的长为（）
（A）3（B）
（C）3或
（D）3或
2、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是
．
3、有一块边长为24米的正方形绿地，如图3所示，在绿地旁边
处
有健身器材，由于居住在
处的居民践踏了绿地，小明想在
处树
立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？
”请你计算后帮小明在标牌的“▇”
填上适当的数字是（）.
A、23米B、24米C、25米D、26米
4、等腰直角三角形一条直角边的长为1cm，那么它斜边长上的高是 cm.
5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A．2，3，4B．10，8，4
C．7，25，24D．7，15，12
6、分别有下列几组数据：
①6、8、10②12、13、5③17、8、15④4、11、9其中能构成直角三形的有：
（ ）
Ａ、４组 Ｂ、３组 Ｃ、２组 Ｄ、１组
7、适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为（）
①
②
∠A=450;③∠A=320,∠B=580;④
⑤
A.2个;B.3个;C.4个;D.5个
8、一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行。
上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处（如图），上午9时行到C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是海里（结果保留根号）.
9、△ABC中，∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（ ）
A、5cmB、6cmC、
cmD、8cm
10、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB=．
11、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
12、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
三、角平分线
1、已知⊿ABC中，∠A=
，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC=
2、给出下列结论，正确的有（）
①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；
③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题
A.1个B.2个C.3个D.4个
3、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_________.
4、△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D。
若DC=7，则D到AB的距离是.
5、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）
A、4cmB、6cmC、8cmD、10cm
6、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为cm.
7、如图1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
图1图2
8、如图2，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=_________cm.
9、如图19，在中，
，AC=BC，AD平分
交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm.你能否求出
的
周长？
若能，请求出；若不能，请说明理由.
四、线段的垂直平分线
1、在
中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为
，则底角B的大小为________.
2、在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，则∠DBC的度数是.
3、如右图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10cm，则BD=__________cm；若PA=10cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm.
2、4题图
4、如上图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是
A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm
5、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数为.
6、如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC
于点
，若
，则
_______.
7、在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于______度.
8、如图，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（）
A、2B、3C、4D、5
9、如下中图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.
10、已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上.
11、如左下图，AC=AD，BC=BD，则
A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对
12、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
13、如图5，
表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，
则可供选择的地址有（）.
A．1处B．2处C．3处D．4处
14、在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。
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