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Fourier变换练习题全有答案docx
积分变换练习题
第一章
Fourier
变换
________系_______专业
班级
姓名__________
学号_______
§1
Fourier
积分
§2
Fourier
变换
一、选择题
1．设f（t）
（t
t0），则F
[
f（t）]
[]
（A）1
（B）2
（C）ejt0
（D）ej
t0
F[f（t）]
（tt0）e
it
dt
e
i
t
e
it0
tt0
二、填空题
1．设a
0，f（t）
eat,
t
0，则函数f（t）的Fourier积分表达式为
eat,
t
0
2acost
dt
0a2
2
0
F（）
[f（t）]
f（t）eitdt=eateitdt
eateitdt
F
0
R
0
=lim
e（a
i）tdt
lim
e（a
i）tdt
R
R
R
0
（ai）t
R
（ai）t0
=lim
e
lim
e
1
1
2
2a
2;
R
（ai）0
R
ai
R
ai
ai
a
F1[F（
）]
1
F（
）ei
td
=
1
a
2
2a
2（cos
tisin
t）d
2
2
=2a
cos
t
d
0
a2
2
1
2．设F[f（t）]（），则f（t）
2
F
1[（）]
1
（）eitd=1eit
1
2
2
0
2
3．设f（t）sin2t，则F[f（t）]
（）
[
（
2）（
2）]
2
1
F[f（t）]
f（t）eitdt=sin2
tei
tdt
1
cos2teitdt
2
1
eitdt
1
（e2it
e2it）eitdt
（
）
[（
2）
（2）]
2
4
2
4．设
（t）为单位脉冲函数，则
（t）cos2（t
3
）dt
1
4
（t）cos2（t
）dt
cos2（）
1
3
3
4
三、解答题
1．求下列定积分：
（可用《高等数学》的方法做
）
（1）
1
（2）
1
eazsinbzdz
eazcosbzdz
0
0
1
isinbz）dz
eaz（cosbz
0
（ea（cosb
isinb）1）（a
a2
b2
1
1
（aib）z
1
a
ib
e
e
1
eazeibzdz
e（aib）zdz
0
0
a
ib
0
a
ib
ib）
aeacosb
beasinb
1
iaeasinb
beacosbb
a2
b2
a2
b2
在原积分中，由于被积函数解析，则
I
1
1
1
eaz（cosbzisinbz）dz
eax（cosbxisinbx）dx
eaxeibxdx,
0
0
0
从而
1
eaz
1
eazsinbzdzImI
0
cosbzdzReI;
0
A,0t
2．求矩形脉冲函数f（t）
0,其他
的Fourier变换。
F[f（t）]
f（t）e
i
t
dt=Ae
it
A（1eAi）
dt
0
i
3．求下列函数的Fourier积分：
t,|t|
1
（1）f（t）
，
0,|t|
1
解法一：
2
1
F（）
f（t）ei
tdt=teitdt
1
1i
t
1
1
i
1
i
2i
sin
e
i
t
e
i
i
（cos
2
1
2
2
e
）；
f（t）
1
F（
）ei
td
1
2i（cos
sin
）ei
td
2
2
1
2i（cos
sin
）（cost
isin
t）d
2
2
sin
sin
t
2
cos
sin
td
0
解法二：
由于
f（t）为奇函数，故由课本
P12页的（1.12）式可知，
2
2
1
f（t）
f（
）sin
d
sin
td
sin
dsin
td
0
0
0
0
2
1
1dcos
2
1
1
1
sin
td
cos
cos
d
sintd
0
0
0
0
0
2
1
sin
1
2
1
sin
cos
sin
td
td
cos
sin
0
0
0
2
sin
2
cos
sintd
0
3
0,t1,
1,1t0,
（2）
f（t）
1,
0
t
1,
0,
1
t.
解法一：
f（t）为奇函数，从而
F（
）
f（t）eitdt=
f（t）（cost
isin
t）dt
2i
f（t）sintdt
0
1
2icos
t
1
1）
2i
sin
tdt
2i（cos
0
0
f（t）
1
F（
）eitdt=
1
2i（cos
1）eitdt
2
2
i
（cos
1）（cos
t
isin
t）dt
2
（1
cos
）sin
tdt
0
解法二：
同上题，根据余弦逆变换公式可得：
2
2
1
f（t）
f（
）sin
d
sintdt
sin
d
sin
tdt
0
0
0
0
2
cos
1
2
1cos
sin
tdt
tdt
sin
0
0
0
sint,|t|
4．求函数f（t）
0,|t|
的Fourier积分,并计算下列积分：
sin
sin
t
2
sint,|t|
0
1
2
d
0,
|t|
解：
同上题，
f（t）
2
f（
）sin
d
sin
tdt
2
sin
sin
dsin
tdt
0
0
0
0
1
[cos（
1）
cos（
1）]d
sin
tdt
1
sin（
1）
sin（
1）
sintdt
1
1
0
0
0
0
0
1
sin（
1）
sin（
1）
sin
tdt
2
sin
sint
dt
2
sin
sin
t
1
1
2
1
1
2
dt
0
0
0
4
当t
时，f（
0）
f（0）
0.从而
2
sin
sin
t
2
sint,|t|
0
1
2
d
0,
|t|
eja
5．设a为实数，求积分2d的值。
（分别讨论a为正实数和负实数的情形）
1
当a0时，
R（z）
1
在上半平面只有一个奇点
z
i，从而
1
z2
eia
2d2iRes[R（z）eiaz,i]2
ilim
eiaz
ea;
1
zi
zi
当a0时，
eia
eia
2d
2iRes[R（z）e
iaz
i]2ilim
eiaz
a
1
2d
zi
e.
1
zi
解法二：
参考课本
146页Fourier变换表中的
21，即
F
ct
]
2c
，
[e
2
c
2Re（c）0
取c=-1，从而
F
-t
]
2
，则积分
[e
2
1
eja
t
a
1
2d
F1[
1
2]
e
e
2
1
1
ta
2ta
2
eja
2d
e
a
1
5
积分变换练习题第一章Fourier变换
________系_______专业班级姓名__________学号_______
§3Fourier变换的性质§4卷积与相关函数
一、选择题
1．设F[f（t）]F（），则F[（t2）f（t）]
（A）F（）2F（）（B）
（C）iF（）2F（）（D）
[]
F（）2F（）
iF（）2F（）
（利用
Fourier变换的线性性质和象函数的导数公式）
2．设F
[f（t）]
F（
），则F[f（1
t）]
[]
（A）F（）ej
（B）F（
）ej
（C）F（
）ej
（D）F（）ej
1
t
s
f（s）ei
（1s）（
F[f（1t）]
f（1t）eitdt
ds）
ei
f（s）ei（
）sdsei
F（
）
二、填空题
1．设F
[f（t）]
3
，则f（t）
3e-t
1
2
2
由1三
-
5解法二中的分析可知：
F
-t
]
2
，
-
[e
2
1
从而3F[e-t]
3
f（t）
3e-t
2
2
1
2
2．设f（t）et
u（t），则F[f（t）]
。
6
已知单位阶跃函数
u（t）
t
（
）d，
及Fourier变换的微分性质：
F
[f'（t）]
iF[f（t）]
令g（t）
et
u（t）
et
t
（
）d
，则
dg（t）
et
t
（）d
et
（t）
g（t）et
（t），
dt
即F[dg（t）]
F
[
g（t）
et
（t）]
F
[g（t）]
F[et（t）]，
dt
又由F[dg（t）]
i
F[g（t）]，从而
dt
F
F[et
（t）]
et
（t）eitdt
[g（t）]=
i
1
i
1
1
e（1i
）t
0
1
1i
t
1
i
三、解答题
1．若F（）
F[f（t）]，且a
0，证明：
sat
i
F[f（at）]
f（at）eitdt=
f（s）e
2．若F（
）
F
d
[f（t）]，证明：
F（）
d
即证：
F
1[
d
F（）]itf（t）
d
1（t）e（1i）tdt
1i
F[f（at）]
1F（
）
a
a
s
ds
1
f（s）e
a
ds
1F（）
a
i
s
a
a
aa
F[jtf（t）]
F
1[
d
F（）]
1
d
F（）eitd
1
F（）eit
1
F（）
d
eitd
d
2
d
2
2
d
1
F（
）iteitd
（
it）1
F（
）ei
td
（it）f（t）
2
2
7
sin
3．已知某函数的
Fourier变换为
F（
）
，求该函数
f（t）
。
F（）
sin
F（
）
sin
F
1[
F（）]
F
1[sin
]
一方面，F
[f'（t）]
i
F
[f（t）]
i
F（
）
F
1
[
F（
）]
if
；
'（t）
另一方面，F
1[sin
]
1
sin
eit
d
1
ei
ei
ei
td
1
2
1
2
2i
ei（1t）
ei（1t）
d
（t1）
（t1）；
4i
2i
从而
if'（t）
1
（t
1）
（t
1）
f
'（t）
1
（1
t）
（t
1）
2i
2
f（t）
1
t
（
1）d
t
（
1）d
1
u（t
1）
u（t
1）
2
2
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