小学奥数汇编教材 第八讲行程综合二.docx

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小学奥数汇编教材第八讲行程综合二

特级教师小学奥数汇编教材

第八讲行程综合

（二）

【专题知识点概述】

通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。

但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响.

一、流水行船

顺水速度=船速+水速，

逆水速度=船速-水速.

（其中

为船在静水中的速度，

为水流的速度）

由上可得：

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2；

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2.

流水行船中的相遇与追击：

（1）两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为：

甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速.这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系.

（2）同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为：

甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速.也有：

甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样.由上述讨论知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答

二、火车问题

⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.

⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.

⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.

对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.

【重点难点解析】

1．流水行船中的相遇与追击

2．火车问题

【竞赛考点挖掘】

1.流水行船中多次相遇追击问题

【习题精讲】

【例1】（难度等级※）

两港相距120千米，甲船往返两港需60小时，逆流航行比顺流航行多用了20小时．乙船的静水速度是甲船的静水速度的3倍，那么乙船往返两港需要多少小时？

【分析与解】

先求出甲船往返航行的时间分别是：

（60＋20）÷2=40小时，（60－20）÷2=20小时．再求出甲船逆水速度每小时120÷40=3千米，顺水速度每小时120÷20=6千米，因此甲船在静水中的速度是每小时（6＋3）÷2=4.5千米，水流的速度是每小时（6－3）÷2=1.5千米，乙船在静水中的速度是每小时4.5×3=13.5千米，所以乙船往返一次所需要的时间是120÷（13.5＋1.5）＋120÷（13.5－1.5）=18小时．

【例2】（难度等级※）

一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航

行120千米也用16时。

求水流的速度。

【分析与解】

两次航行都用16时，而第一次比第二次顺流多行60千米，逆流少行40千米，这表明顺流行60千米与逆流行40千米所用的时间相等，即顺流速度是逆流速度的1.5倍。

将第一次航行看成是16时顺流航行了120＋80×1.5＝240（千米），由此得到顺流速度为240÷16＝15（千米／时），逆流速度为15÷1.5=10（千米／时），最后求出水流速度为（15－10）÷2＝2.5（千米／时）。

【例3】（难度等级※※）

甲、乙两艘小游艇，静水中甲艇每小时行2.2千米，乙艇每小时行1.4千米。

现甲、乙两艘小游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距18千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地。

问航道上水流速度为每小时多少千米?

【分析与解】

18÷（2.2+1.4）=5（小时），所以经过5小时后两艇相遇。

2.2-18÷（5+4）=0.2（千米/小时），所以航道上水流速度为每小时0.2千米。

【例4】（难度等级※※）

A、B两码头间河流长为220千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时起航．如果相向而行5小时相遇，如果同向而行55小时甲船追上乙船．求两船在静水中的速度．

【分析与解】

相向而行时的速度和等于两船在静水中的速度之和，同向而行时的速度差等于两船在静水中的速度之差，所以，两船在静水中的速度之和为：

220÷5=44（千米/时），两船在静水中的速度之差为：

220÷55=4（千米/时），甲船在静水中的速度为：

（44＋4）÷2=24（千米/时），乙船在静水中的速度为：

（44－4）÷2=20（千米/时）．

【例5】（难度等级※※）

一条小河流过A，B,C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?

【分析与解】

如下画出示意图，

有A

B段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,

有B

C段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时．

而从A

C全程的行驶时间为8-1=7小时．

设AB长

千米,有

解得

=25．

所以A,B两镇间的距离是25千米.

【例6】（难度等级※※）

一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米．那么甲、乙两地之间的距离是多少千米?

【分析与解】

后一小时比前一小时多行6千米，说明前一小时小船逆水行驶，差3千米走完全程．后一小时小船逆水走3千米，顺水走了一个全程．因为顺水、逆水速度每小时差8千米，所以若小船一小时全顺水走，应比行程时的第一小时多行8千米，也就是比一个全长多5千米．再与小船第二小时行驶做比较，我们就得到小船顺水走5千米的时间与逆水走3千米的时间相同，这个时间我们认为是1份．在一份时间内，顺水与逆水所行距离差2千米，一小时差8千米，所以一小时内有8÷2=4份时间．由此得出小船顺水一小时走5×4=20干米，逆水一小时走3×4=12千米．

因为小船在第一小时始终逆水，比全程少走3千米，所以从甲地到乙地为12×1+3=15千米．

【例7】（难度等级※※※）

江上有甲、乙两码头，相距15千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船。

又行驶了1小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。

则游船在静水中的速度为每小时多少千米？

【分析与解】

此题可以分为几个阶段来考虑。

第一个阶段是一个追及问题。

在货舱追上游船的过程中，两者的追及距离是15千米，共用了5小时，故两者的速度差是15÷5=3千米。

由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是3千米。

在紧接着的1个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距3×1=3千米。

这时货船上的东西落入水中，6分钟后货船上的人才发现。

此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度×1/10千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度*1/10÷货船的静水速度=1/10小时。

按题意，此时也刚好遇上追上来的游船。

货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10千米，两者到相遇共用了1/10小时，帮两者的速度和是每小时33/10÷1/10=33千米，这与它们两在静水中的速度和相等。

（解释一下）又已知在静水中货船比游船每小时快3千米，故游船的速度为每小时（33-3）÷2=15千米。

【例8】（难度等级※※※）

甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站顺水向下游的B站驶去，与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶来。

7.2时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。

已知甲轮船与自漂水流测试仪2.5时后相距31.25千米，甲、乙两船航速相等，求A，B两站的距离。

【分析与解】

因为测试仪的漂流速度与水流速度相同，所以若水不流动，则7.2时后乙船到达A站，2.5时后甲船距A站31.25千米。

由此求出甲、乙船的航速为31.25÷2.5＝12.5（千米／时）。

A，B两站相距12.5×7.2=90（千米）。

【例9】（难度等级※※※）

某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。

【分析与解】

物体漂流的速度与水流速度相同，所以甲船与物体的速度差即为甲船本身的船速（水速作用抵消），甲的船速为1÷1/15=15千米/小时；乙船与物体是个相遇问题，速度和正好为乙本身的船速，所以相遇时间为：

45÷15=3小时

【例10】（难度等级※※※※）

一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游50千米处。

客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。

客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物距客船5千米。

客船在行驶20千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇。

求水流的速度。

【分析与解】

5÷1/6=30（千米/小时），所以两处的静水速度均为每小时30千米。

50÷30=5/3（小时），所以货船与物品相遇需要5/3小时，即两船经过5/3小时候相遇。

由于两船静水速度相同，所以客船行驶20千米后两船仍相距50千米。

50÷（30+30）=

5/6（小时），所以客船调头后经过5/6小时两船相遇。

30-20÷（5/3-5/6）=6（千米/小时），所以水流的速度是每小时6千米。

【例11】（难度等级※※）

河水是流动的，在B点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从A点到B点，然后穿过湖到C点，共用3小时；若他由C到B再到A，共需6小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，从B流向C，那么，这名游泳者从A到B再到C只需2.5小时；问在这样的条件下，他由C到B再到A，共需多少小时？

【分析与解】

设人在静水中的速度为x，水速为y，人在静水中从B点游到C点需要t小时．

根据题意，有

，即

，同样，有

，即

；所以，

，即

，所以

；

（小时），所以在这样的条件下，他由C到B再到A共需7.5小时．

【例12】（难度等级※※※）

小明计划上午7时50分到8时10分之间从码头出发划船顺流而下．已知河水流速为1.4千米／小时，船在静水中的划行速度为3千米／小时．规定除第一次划行可不超过30分钟外，其余每次划行均为30分钟，任意两次划行之间都要休息15分钟，中途不能改变方向，只能在某次休息后往回划．如果要求小明必须在11时15分准时返回码头，为了使他划行到下游尽可能远处，他应该在______时______分开始划，划到的最远处距码头_____千米．

【分析与解】

由11:

15向回推可得到，船在8:

158:

30、9:

009:

15、9:

4510:

00、10:

3010:

45为小明的休息时间，每一段（15分钟）休息时间，帆船向下游漂流1.4×15/60=0.35千米，顺流划船每段时间（半小时）行驶（3+1.4）×0.5=2.2千米，逆流航行每段时间（半小时）休息（3－1.4）×0.5=0.8千米，因此如果8:

30分以后小明还在顺行的话，那么最后三段划行时间内只能逆流而上2.4千米，不能抵消之前顺流划行和漂流的距离，所以最后四段划船时间都应该为逆流向上划船．后四次共向上划了0.8×4=3.2千米．后三次休息时间向下游漂流0.35×3=1.05千米．所以从8:

30到11:

15，最远时向上移动了3.2－1.05=2.15千米．而第一段时间中，小明划船向下游移动了2.15－0.35=1.8千米，共花时间1.8÷（3+1.4）=9/22小时所以，小明应该在7时

分开始划，可划到的最远处距离码头2.15千米．

【例13】（难度等级※）

某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进．一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间?

【分析与解】

第一个过程，战士与排头兵相距一个队伍的长，也就是450米，排头兵的速度就是队伍的速度，即每秒1.5米．这个追及过程共用时：

450÷（3-1.5）=300秒．

第二个过程，战士与队尾兵也相距450米，队尾兵的速度也是每秒1.5米．这个相遇过程共用时：

450÷（3+1.5）=100秒．

整个过程一共用时300+100=400秒．

【例14】（难度等级※※）

一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米的隧道用23秒．已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米，求客车与货车从相遇到离开所用的时间．

【分析与解】

客车用23秒通过一个210米的隧道，用25秒通过250米的隧道，由对过程1的分析我们知道，在25-23=2秒中，客车行进了250-210=40米，所以客车的速度是每秒

40÷2=20米．23秒内，客车走的路程是20×23=460米，这段路是210米的隧道长和一个车长，所以客车车身长为：

460-210=250米．

在追及情况下，客车是快车，货车是慢车，由分析中的过程2，可以直接得到

（250+320）÷（20-17）=190秒．

【例15】（难度等级※※）

小张沿着一条与铁路平行的笔直小路行走，这时有一列长460米的火车从他背后开来，他在行进中测出火车从他身边通过的时间是20秒，而在这段时间内，他行走了40米．求这列火车的速度是多少？

【分析与解】

火车走的路程为：

460＋40=500（米），火车速度为：

500÷20=25（米/秒）．

【例16】（难度等级※※）

小红站在铁路旁，一列火车从她身边开过用了21秒．这列火车长630米，以同样的速度通过一座大桥，用了1.5分钟．这座大桥长多少米？

【分析与解】

因为小红站在铁路旁边没动，因此这列火车从她身边开过所行的路程就是车长，所以，这列火车的速度为：

630÷21=30（米/秒），大桥的长度为：

30×（1.5×60）－630=2070（米）．

【例17】（难度等级※※）

一个车队以6米/秒的速度缓缓通过一座长250米的大桥，共用152秒．已知每辆车长6米，两车间隔10米．问：

这个车队共有多少辆车？

【分析与解】

由“路程时间速度”可求出车队152秒行的路程为6152912（米），故车队长度为912－250=662（米）．再由植树问题可得车队共有车（662－6）÷（6＋10）＋1=42（辆）．

【例18】（难度等级※※※）

四、五、六3个年级各有100名学生去春游，都分成2列（竖排）并列行进．四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是1米、2米、3米，年级之间相距5米．他们每分钟都行走90米，整个队伍通过某座桥用4分钟，那么这座桥长多少米．

【分析与解】

100名学生分成2列，每列50人，应该产生49个间距，

所以队伍长为49×1＋49×2＋49×3＋5×2=304（米），

那么桥长为90×4－304=56（米）．

【例19】（难度等级※※※※）

列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒．又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车，货车车身长320米，速度为每秒17米．列车与货车从相遇到相离需要多少秒？

【分析与解】

列车的速度是（250－210）÷（25－23）=20（米／秒），列车的车身长：

20×25－250=250（米）．列车与货车从相遇到相离的路程差为两车车长，根据路程差速度差追击时间，可得列车与货车从相遇到相离所用时间为：

（250＋320）÷（20－17）=190（秒）．

【例20】（难度等级※※※※）

李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是18秒．已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米．问货车行驶的速度是多少？

【分析与解】

本题中从货车车头经过窗口开始计算到货车最后一节车厢驶过窗口，相当于一个相遇问题，总路程为货车的车长．

货车总长为：

（15.8×30＋1.2×30＋10）÷1000=0.52（千米），

火车行进的距离为：

60×18/3600=0.3（千米），

货车行进的距离为：

0.52－0.3=0.22（千米），

货车的速度为：

0.22÷18/3600=44（千米／时）．

【作业】

1.一只小船在静水中的速度为每小时25千米．它在长144千米的河中逆水而行用了8小时．求返回原处需用几个小时？

【答案】4.5小时

2.甲、乙两船的船速分别为每小时17千米和每小时13千米．两船先后从同一港口顺水开出，乙船比甲船早出发3小时，如果水速是每小时3千米，问：

甲船开出后几小时能追上乙船？

【答案】12小时

3.某河有相距36千米的上、下两码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行．一天甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，5分钟后，与甲船相距2千米．预计乙船出发后几小时可以与此物相遇？

【答案】1.5小时

4.小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是1.5米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了20秒．已知火车全长390米，求火车的速度．

【答案】18米/秒

5.在双轨铁道上，速度为54千米/小时的货车10时到达铁桥，10时1分24秒完全通过铁桥，后来一列速度为72千米/小时的列车，10时12分到达铁桥，10时12分53秒完全通过铁桥，10时48分56秒列车完全超过在前面行使的货车．求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？