大学生高等数学竞赛试题汇总与答案.docx
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大学生高等数学竞赛试题汇总与答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看
一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）
2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分）
y
（xy）ln
（1）
x
1．计算xy
dd
D
1xy
16/15，其中区域D由直线xy1与
两坐标轴所围成三角形区域.
01
解:
令xyu,xv，则xv,yuv，xydudvdudv
dddet，
11
1
0
2
u
1
u
du
（*）
令t1u，则u1t
2
du2tdt，
212t2t
4
2tt
u，u（1u）t
（1）
（1），
2．设f（x）是连续函数，且满足
2
f2（）d2,则
（x）3xfxx
0
f____________.
（x）
解:
令
2
2A
A，则f（）32，
f（x）dxxx
0
2
2,A（3xA2）dx82（A2）42A
0
解得
4
A。
因此
3
10
2
f（x）3x。
3
2
x
3．曲面2
2
zy平行平面2x2yz0的切平面方程是
2
__________.
解:
因平面2x2yz0的法向量为（2,2,1），而曲面
2
x
2
zy2在（x0,y0）处的法向量为
2
（zx（x0,y0）,zy（x0,y0）,1），故（zx（x0,y0）,zy（x0,y0）,1）与（2,2,1）平
行，因此，由zxx，zy2y知
2zx（x0,y）x,2zy（x,y）2y，
00000
即x02,y01，又z（x0,y0）z（2,1）5，于是曲面2x2yz0
在（x0,y0,z（x0,y0））处的切平面方程是
2
x
2
2xyz，即曲面z2平行平面
（2）2
（1）（5）0y
2
2x2yz0的切平面方程是2x2yz10。
4．设函数yy（x）由方程ln29
xe确定，其中f具有二阶导数，
f（y）ey
且f1，则
2
d
y________________.
2
dx
解:
方程feln29
（y）y
xe的两边对x求导，得
因
1，即
yxe
f（y）
eln29，故f（y）yy
x
1
y，因此
x（1f（y））
x2x
ee
lim（
x0n
nx
e
）
e
x
二、（5分）求极限，其中n是给定的正整数.
解:
因
故
因此
三、（15分）设函数f（x）连续，
1
f（x）
g（x）f（xt）dt，且limA
0x0
x
，A为
常数，求g（x）并讨论g（x）在x0处的连续性.
f（x）
解:
由A
lim
x0
x
和函数f（x）连续知，
f（0）
f（x）
limf（x）limxlim
xx0x0
0x
0
因
11
g，故g（0）（0）d（0）0，
（x）f（xt）dtftf
00
因此，当x0时，g
1
x
（x）f（u）du，故
x
0
当x0时，
g（x）
1xf（x）
2，
f（u）du
xx
0
这表明g（x）在x0处连续.
四、（15分）已知平面区域D{（x,y）|0x,0y}，L为D的正
向边界，试证：
（1）
sinyyyexxxeyyesinxx；
sinsiny
xedddd
LL
（2）
L
5
xesin.
dd
yyyex
siny2
2
证:
因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知
（1）yexy
sinydsind（）（）dd
xsinysinx
xeyyexxe
xyLD
而D关于x和y是对称的，即知
因此
（2）因
故
由
知
即
L
sin
xe
yyyex
siny
dd
5
2
2
五、（10分）已知
xe2x
y1xe，
y2xex，
xey2xex，
xe2xex
3是某二
yxe
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解设
xe2x
y1xe，
xex
y2xe，
xe2xex
y3xe是二阶常系数线
性非齐次微分方程
的三个解，则
xe2x
2和
1
yye
x
y3y1e都是二阶常系数线性齐次微
分方程
的解，因此ybycy0的特征多项式是
（2）
（1）0，而
ybycy0的特征多项式是
因此二阶常系数线性齐次微分方程为yy2y0，由
y1y2y1f（x）和
1
xxee
x2x
y1e2，
xxee2x
x
y12e4
知，f（x）y1y12y1x2e4e2x（xexex2ex）2（xexex）
x22
xe
二阶常系数线性非齐次微分方程为
六、（10分）设抛物线yax2bx2lnc过原点.当0x1时,y0,又
已知该抛物线与x轴及直线x1所围图形的面积为
1.试确定a,b,c,使
3
此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
2过原点，故c1，于是
解因抛物线yaxbx2lnc
即
而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积
即
令
218
V（a）a（12a）（1a）0，
5327
得
即
因此
5
a,
4
3
b,c1.
2
nn,且
n
1exn
七、（15分）已知u（x）
n满足u（x）u（x）x（1,2,）
e
un
（1）,
n
求函数项级数
u之和.
n（x）
n1
解
n1x
un（x）u（x）xe，
n
即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
即
因此
由
（1）
（1）
e
uneC知，C0，
nn
于是
下面求级数的和：
令
则
即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
令x0，得0S（0）C，因此级数
un（x）的和
n1
八、（10分）求x1时,与
2
x等价的无穷大量.
n
n0
解令
2
t
f，则因当0x1，t（0,）时，
（t）x
2
t
fttxx，
（）2ln0
故
f
1
2
tln
2
te
（t）x在（0,）上严格单调减。
因此
x
即
fttfnftt，
（）d（）1（）d
00
n0
又
2
fnx，
（）
n
n0n0
f（t）dt
00
1
2
11
tln
22
t，
t
xtxdt
deedt
02
0
11
lnln
xx
所以，当x1时,与
n0
2
n
x等价的无穷大量是
1
2
1
x
。
2010-2012年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知
识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）
一、（25分，每小题5分）
（1）设
n
22
x（1a）（1a）（1a）,其中|a|1,求limxn.
n
n
（2）求
x
lime1
x
1
x
2
x
。
（3）设s0，求
sxn
Iexdxn。
（1,2,）
0
（4）设函数f（t）有二阶连续导数，
221
rxy,g（x,y）f
r
，求
22
gg
22
xy
。
（5）求直线
l
1
:
xy
z0
0
x2y1z3
与直线l2:
的距离。
421
解：
（1）
n
xaa2a2=
（1）
（1）
（1）
n
n
22
x（1a）（1a）（1a）（1a）/（1a）
n
nn1=a2a2a2a==
2
（1）
（1）
（1）/
（1）（1a）/（1a）
（2）
2
x
11
22
1
xx
lne
（1）xln
（1）x
xxx
lime1limelime
x
xxx
令x=1/t,则
原式=
（ln（1t）t）1/（1t）111
2
2（1t）
t2t2
limelimelimee
t0t0t0
（3）
11
sxnnsxnsxsxn
Iexdx（）xde（）[xe|edx]
n0
000
ss
nnn（n1）n!
n!
sxn1
exdxIII
n12n2n0n1
sssss
0
二、（15分）设函数f（x）在（,）上具有二阶导数，并且
f（x）0,limf（x）0,limf（x）0,且存在一点x0，使得f（x0）0。
xx
证明：
方程f（x）0在（,）恰有两个实根。
解：
二阶导数为正，则一阶导数单增，f（x）先减后增，因为f（x）有
小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。
将f（x）二阶泰勒展开：
因为二阶倒数大于0，所以
lim（）
fx，limf（x）xx
证明完成。
2
x2tt
三、（15分）设函数yf（x）由参数方程
（t1）所确定，其中y（t）
（t）具有二阶导数，曲线y（t）与
2
t
2
u
yedu
1
3
2e
在t1出相切，求函
数（t）。
解：
（这儿少了一个条件
2
dy
2
dx
）由y（t）与
2
tu
2
yedu
1
3
2e
在t1出
相切得
（1）
3
2e
，
'2
（1）
e
2
dy
2
dx
d（dy/dx）d（dy/dx）/dt
''（）（2'
t2t）2（t）''（）（2'
3
dxdx/dt（22t）
=。
。
。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设
n
a0,Sa,证明：
nnk
k1
（1）当1时，级数
a
n
S
nn
1
收敛；
（2）当1且（）
sn时，级数
n
a
n
S
nn
1
发散。
解：
（1）
a>0,
n
s单调递增
n
当
n1
a收敛时，
n
aa
nn
ss
n1
，而
a
n
s
1
收敛，所以
a
n
s
n
收敛；
当
n1
a发散时，lim
n
n
s
n
所以，
aadxadx
ss
nn
n11
ssxsx
ss
n11
n1n1n21
而
111
dxassas
s
n
1n111
lim
sxsn1s1
1
11
k
，收敛于k。
所以，
a
n
s
n1n
收敛。
（2）lim
n
s
n
k
1
所以
a发散，所以存在k，使得
n1
n1
n2
aa
n1
k
1
于是，
a
kkn
11
aa
nn2
sss
2n2nk
1
1
2
依此类推，可得存在
1kk...
12
使得
k
i
1a1
n
2
s
kn
i
成立，所以
k
N
1
a
n
s
n
N
1
2
当n时，N，所以
a
n
s
nn
1
发散
五、（15分）设l是过原点、方向为（,,），（其中
2221）的直
线，均匀椭球
222
xyz
2221
abc
，其中（0cba,密度为1）绕l旋转。
（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向（,,）的最大值和最小值。
解：
（1）椭球上一点P（x,y,z）到直线的距离
由轮换对称性，
（2）abc
当1时，
4
22
Iabc（ab）
max
15
当1时，
4
22
Iabc（bc）
min
15
六、（15分）设函数（x）具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的
简单闭曲线C上，曲线积分
c
2xydx（x）dy
42
xy
的值为常数。
（1）设L为正向闭曲线
22
（x2）y1,证明
c
2xydx（x）dy
42
xy
0;
（2）求函数（x）；
（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
c
2xydx（x）dy
42
xy
。
解：
（1）L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段
L，L2，再从
1
A，B作一曲线
L，使之包围原点。
3
则有
（2）令
2xy（x）
P,Q
4242
xyxy
QP
由
（1）知0
xy
，代入可得
上式将两边看做y的多项式，整理得
由此可得
解得：
2
（x）x
（3）取
'
L为
424
xy，方向为顺时针
2011-2012年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知
识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）
一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
1
（1）.求
lim
x0
sin
x
x
1cosx
；
解：
（用两个重要极限）：
（2）.求
111
lim...
nn1n2nn
；
解：
（用欧拉公式）令
x
n
111
...
n1n2nn
其中，o1表示n时的无穷小量，
（3）已知
2
t
xln1e
t
ytarctane
，求
2
dy
2
dx
。
解：
t
e
1
2tt2t2tt
dxedyedyeee
2,111
2t2t2t2t
dt1edt1edx2e2e
1
2t
e
二．（本题10分）求方程2xy4dxxy1dy0的通解。
解：
设P2xy4,Qxy1，则PdxQdy0
PQ
yx
1,PdxQdy0是一个全微分方程，设
dzPdxQdy
PQ
yx
该曲线积分与路径无关
三．（本题15分）设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，
且
'"
f0,f0,f0均不为0，证明：
存在唯一一组实数
kkk，
1,2,3
使得
kfhkf2hkf3hf0
123
lim0
2
h
h0
。
证明：
由极限的存在性：
limkfhkf2hkf3hf00
123
h0
即
k1k2k31f00，又f00，k1k2k31①
由洛比达法则得
由极限的存在性得
'''
limkfh2kf2h3kf3h0
123
h0
即
'
k12k23k3f00，又
f，'00
'00
kkk②
122330
再次使用洛比达法则得
k14k29k30③
kkk
123
1
由①②③得
k1,k2,k3是齐次线性方程组
k2k3k0
123
k4k9k0
123
的解
111k1
1
设
A123,xk,b0
2
，则Axb，
149k0
3
11111003
增广矩阵
*
A12300103，则
14900011
RA,bRA3
所以，方程Axb有唯一解，即存在唯一一组实数
kkk满足题意，
1,2,3
且
k13,k23,k31。
四．（本题17分）设
222
xyz
1:
2221
abc
，其中abc0，
222
2:
zxy，为
1与2的交线，求椭球面1在上各点的切
平面到原点距离的最大值和最小值。
解：
设上任一点Mx,y,z，令
222
xyz
Fx,y,z1
，
222
abc
则
2x2y2z
'''
F,F,F,
x2y2z2
abc
椭球面
1在上点M处的法向量
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