动点角模型.docx

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动点角模型

专题一、动点模型

【例1】A、B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A、B两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动。

（1）几秒后，原点O恰好在两点正中间？

（2）几秒后，恰好有OA:

OB=1：

2？

【练习1】已知，如图，线段AB=12cm，M是AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿线段BA向左运动，在运动过程中，点C始终在线段AM上，点D始终在线段BM上，点E、F分别是线段AC和MD的中点。

（1）当点C、D运动了2s，求EF的长度；

（2）若点C、D运动时，总是有MD=3AC，求AM的长。

【练习2】如图，数轴上点A、C对应的数分别是a，c，且a，c满足

，点B对应的数是-3.

（1）求数a，c；

（2）点A、B同时沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，若运动时间t秒，在运动过程中，点A、B两点到原点O的距离相等时，求t的值。

【例2】如图，若点A在数轴上对应的数为a，若点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足：

。

（1）求线段AB的长；

（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程

的解，在数轴上是否存在点P，使PA+PB=PC，若存在，直接写出点P对应的数；若不存在，请说明理由。

（3）在

（1）的条件下，将点B向右平移5个单位长度至

，此时在原点O处放一个挡板，一小球甲从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从

处以2个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反方向运动，设运动时间为t（秒），求甲、乙小球到原点的距离相等时经过的时间。

【练习1】已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

（1）若点P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；

（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、B的距离之和为5？

若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，它们同时出发，几分钟后P点到点A、B的距离相等？

【例3】已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；

（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？

若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由。

（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动。

当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？

【练习1】如图，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO，射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s，P、Q同时出发，设运动时间是t（s）。

（1）当点P在MO上运动时，PO=__________cm（用含t的代数式）；

（2）当点P在MO上运动时，t为何值，能使OP=OQ？

（3）若点Q运动到距离O点16cm的点N停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？

如果是，求出t的值；如果不能，请说明理由。

【例4】如图，若点A在数轴上对应的数为a，若点B在数轴上对应的数为b，点A在负半轴，且

，b是最小的正整数，

（1）求线段AB的长；

（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程

的解，在数轴上是否存在点P，使

，若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由。

（3）如图Q是B点右侧一点，QA中点为M，N为QB的四等分点且靠近Q点，当Q在B的右侧运动时，有两个结论：

①

的值不变；②

的值不变，其中只有一个是正确的结论，请你判断正确的结论，并求出其值。

【练习1】如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm，点P从O点出发沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发。

（1）当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度；

（2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm？

（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求

的值。

【例5】如图，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点。

（1）出发多少秒后，PB=2AM？

（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM-BP为定值。

（3）当P在AB的延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：

①MN的长度不变；②MA+PN的值不变。

选择一个正确的结论，并求出其值。

【例5】如图①，已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x。

（1）PA=____________，PB=____________（用含x的式子表示）；

（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？

若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。

（3）如图②，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：

的值是否发生变化？

请说明理由。

（4）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问：

它们同时出发，几分钟时间点P到点A、点B的距离相等？

作业：

1.已知线段AB=a，CD=b，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），

与

互为相反数。

（1）求a，b的值；

（2）若M，N分别是AC，BD的中点，BC=4，求MN的长；

（3）当CD运动到某一时刻，D点与B点重合，P是线段AB延长线上任意一点，问

的值是否改变？

若不变，求出其值，若改变，请说明理由。

2.如图，已知点A，B，C是数轴上三点，点C对应的数为6，BC=4，AB=12。

（1）求点A，B对应的数；

（2）动点P，Q同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动。

M为AP的中点，N在CQ上，且CN=

CQ，设运动时间为t（t>0）。

①求点M，N对应的数（用含t的式子表示）

②t为何值时，OM=2BN。

3.如图，数轴上线段AB=2，CD=4，点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16.若线段AB以6个单位/秒的速度向右运动，同时线段CD以2个单位/秒的速度向左运动。

（1）问运动多少秒时BC=8？

（2）当运动到BC=8时，点B在数轴上表示的数是_____________；

（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式

？

若存在，求线段PC的长；若不存在，请说明理由。

专题二、动角模型

【例1】已知D是直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE。

（1）如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=____________；若∠COF=m°，则∠BOE=________；

∠BOE与∠COF的数量关系为_____________

（2）在图2中，若∠COF=75°，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的三分之一？

若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由。

（3）当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，

（1）中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立？

请说明理由。

若不成立，求出∠BOE与∠COF的数量关系。

【练习1】已知：

∠AOB=60°，OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线。

（1）如图1，OC在∠AOB内部时，求∠DOE的度数；

（2）如图2，将OC绕O点旋转到OB的左侧时，OD、OE仍是∠BOC和∠COA的平分线，求此时∠DOE的度数；

（3）当OC绕O点旋转到OA的下方时，OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线，∠DOE的度数又是多少？

（直接写出结论，不必写出解题过程）

【练习2】已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．

（1）若∠COF=14°，则∠BOE=____________；若∠COF=n°，则∠BOE=__________；

∠BOE与∠COF的数量关系为_____________

（2）当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，

（1）中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立？

请说明理由。

（3）在

（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF=3∠DOE？

若存在，求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由。

【练习3】已知：

∠AOD=160°，OB、OM、ON是∠AOD内的射线。

（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；

（2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；

（3）在

（2）的条件下，当射线OB从边OA开始绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：

∠DON=2：

3，求t的值。

【例2】已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OC上的点，线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转。

（1）如图①，若∠AOB=140°，当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到

、

处，求

的值；

（2）如图②，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM=3∠BON，求

的值。

（3）知识迁移，如图③，C是线段AB上的一点，点M从点A出发在线段AC上向C点运动，点N从点C出发在线段CB上向B点运动，点M、N的速度比是2：

1，在运动过程中始终有CM=2BN，求

【练习1】已知∠AOB=100°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD。

（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；

（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0

若是定值，求出∠AOE-∠BOF的值；若不是，请说明理由。

（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0

+∠EOF=6∠COD，则n=___________

【练习2】已知点O是直线AB上的一点，∠COE=90°，OF是∠AOE的平分线。

（1）当点C，E，F在直线AB的同侧（如图1所示）时，试试说明∠BOE=2∠COF；

（2）当点C与点E，F在直线AB的两旁（如图2所示）时，

（1）中的结论是否仍然成立？

请给出你的结论并说明理由；

（3）将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°（0

，则∠DOE的度数是___________（用含n的式子表示）。

【例3】如图，两个形状、大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转。

（1）直接写出∠DPC的度数；

（2）若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度（如图②），若PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF的度数；

（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针，转速为2°/s，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当2∠CPD=3∠BPM，求旋转的时间是多少？

【练习1】如图①，在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM放在射线OB上，另一边ON放在直线AB的下方。

（1）将图①中的直角三角板绕点O逆时针旋转至图②，点D为线段NO延长线上一点，且OD平分∠AOC。

①若∠BOC=119°40′，求∠COM的度数；

②试说明射线OM是∠BOC的角平分线。

（2）将图①中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，若∠BOC=2∠AOC，且在旋转的过程中，第t秒时ON所在的直线恰好平分锐角∠AOC，求t的值。

【练习2】如图①，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：

∠BOC=1：

2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方。

（1）将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为_____________度。

（2）继续将图②中的三角板绕点O按逆时针至图③的位置，使得ON在∠AOC的内部。

试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由。

（3）在上述直角三角板从图①开始绕点O按30°每秒的速度逆时针旋转270°的过程中，是否存在OM所在直线平分∠BOC和∠AOC中的一个角，ON所在直线平分另一个角？

若存在，直接写出旋转时间t；若不存在，说明理由。

作业：

1.如图，∠AOD=150°，∠BOC=30°，∠BOC绕点O逆时针在∠AOD的内部旋转，其中OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，在∠BOC从OB与OA重合时开始到OC与OD重合时为止，以每秒2°的速度旋转过程中，有下列结论，其中正确的是（）

（1）射线OM的旋转速度为每秒2°；

（2）当∠AON=90°时，时间为15秒；（3）∠MON的大小为60°。

A.

（1）

（2）（3）B.

（2）（3）C.

（1）

（2）D.（3）

2.已知∠AOB=110°，∠COD=40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD。

（1）如图所示，当OB、OC重合时，求∠AOE-∠BOF得值；

（2）当∠COD从图示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0

若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由。

3.如图：

（1）已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；

（2）如果

（1）中∠AOB=

，其他条件不变，求∠MON得度数；

（3）如果

（1）中∠BOC=

（

），其他条件不变，求∠MON的度数；

（4）从

（1）

（2）（3）的结果中你得到什么样的规律？

（5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿

（1）～（4），设计一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出其中的规律。

4.将一副直角三角板按如图①摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒8°的速度顺时针方向旋转t秒。

（1）如图②，当t=_____________秒时，OM平分∠AOC，此时∠NOC-∠AOM=____________；

（2）继续旋转三角板MON，如图③，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC与∠AOM有怎样的数量关系？

并说明理由（数量关系中不能含t）

（3）直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时，两个三角板同时停止运动。

①当t=___________时，∠MOC=15°；

②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系（数量关系中不能含t）.

5.一副三角板如图①放置，点A、O、B在直线MN上，其中∠BOD=30°，∠AOC=45°。

（1）如图②，OE平分∠DOC，OF平分∠BOC，求∠EOF的度数；

（2）如图③，若三角板AOC绕点O逆时针旋转

（

），OF平分∠BOC，OG平分∠AOD，求∠FOG得度数；

（3）若三角板AOC绕点O顺时针

（

），

（2）中其他条件不变，请直接写出∠FOG的度数。

图①图②图③

6.已知：

O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC。

（1）如图①，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；

（2）在图①中，若∠AOC=

，直接写出∠DOE的度数（用含

的代数式表示）；

（3）将图①中的∠DOE绕顶点O顺时针旋转至图②的位置。

①探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系；

②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由。