动点角模型.docx
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动点角模型
专题一、动点模型
【例1】A、B两点在数轴上的位置如图所示,O为原点,现A、B两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动。
(1)几秒后,原点O恰好在两点正中间?
(2)几秒后,恰好有OA:
OB=1:
2?
【练习1】已知,如图,线段AB=12cm,M是AB上一定点,C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿线段BA向左运动,在运动过程中,点C始终在线段AM上,点D始终在线段BM上,点E、F分别是线段AC和MD的中点。
(1)当点C、D运动了2s,求EF的长度;
(2)若点C、D运动时,总是有MD=3AC,求AM的长。
【练习2】如图,数轴上点A、C对应的数分别是a,c,且a,c满足
,点B对应的数是-3.
(1)求数a,c;
(2)点A、B同时沿数轴向右匀速运动,点A的速度为每秒2个单位长度,点B的速度为每秒1个单位长度,点B的速度为每秒1个单位长度,若运动时间t秒,在运动过程中,点A、B两点到原点O的距离相等时,求t的值。
【例2】如图,若点A在数轴上对应的数为a,若点B在数轴上对应的数为b,且a,b满足:
。
(1)求线段AB的长;
(2)点C在数轴上对应的数为x,且x是方程
的解,在数轴上是否存在点P,使PA+PB=PC,若存在,直接写出点P对应的数;若不存在,请说明理由。
(3)在
(1)的条件下,将点B向右平移5个单位长度至
,此时在原点O处放一个挡板,一小球甲从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动,同时另一小球乙从
处以2个单位长度/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后以原来的速度向相反方向运动,设运动时间为t(秒),求甲、乙小球到原点的距离相等时经过的时间。
【练习1】已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1,3,点P为数轴上一动点,其对应的数为x。
(1)若点P到点A、B的距离相等,求点P对应的数;
(2)数轴上是否存在点P,使点P到点A、B的距离之和为5?
若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由;
(3)当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点向左运动时,点A以每分钟5个单位长度向左运动,点B以每分钟20个单位长度向左运动,它们同时出发,几分钟后P点到点A、B的距离相等?
【例3】已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3,点P为数轴上一动点,其对应的数为x。
(1)若点P到点A,点B的距离相等,求点P对应的数;
(2)数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为6?
若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由。
(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动,同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动。
当遇到A时,点P立即以同样的速度向右运动,并不停地往返于点A与点B之间,求当点A与点B重合时,点P所经过的总路程是多少?
【练习1】如图,∠AOB的边OA上有一动点P,从距离O点18cm的点M处出发,沿线段MO,射线OB运动,速度为2cm/s;动点Q从点O出发,沿射线OB运动,速度为1cm/s,P、Q同时出发,设运动时间是t(s)。
(1)当点P在MO上运动时,PO=__________cm(用含t的代数式);
(2)当点P在MO上运动时,t为何值,能使OP=OQ?
(3)若点Q运动到距离O点16cm的点N停止,在点Q停止运动前,点P能否追上点Q?
如果是,求出t的值;如果不能,请说明理由。
【例4】如图,若点A在数轴上对应的数为a,若点B在数轴上对应的数为b,点A在负半轴,且
,b是最小的正整数,
(1)求线段AB的长;
(2)点C在数轴上对应的数为x,且x是方程
的解,在数轴上是否存在点P,使
,若存在,求出点P对应的数;若不存在,请说明理由。
(3)如图Q是B点右侧一点,QA中点为M,N为QB的四等分点且靠近Q点,当Q在B的右侧运动时,有两个结论:
①
的值不变;②
的值不变,其中只有一个是正确的结论,请你判断正确的结论,并求出其值。
【练习1】如图,射线OM上有三点A、B、C,满足OA=20cm,AB=60cm,BC=10cm,点P从O点出发沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动,点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动(点Q运动到点O时停止运动),两点同时出发。
(1)当PA=2PB时,点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点,求点Q的运动速度;
(2)若点Q的运动速度为3cm/s,经过多长时间P、Q两点相距70cm?
(3)当点P运动到线段AB上时,分别取OP和AB的中点E、F,求
的值。
【例5】如图,线段AB=24,动点P从A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动,M为AP的中点。
(1)出发多少秒后,PB=2AM?
(2)当P在线段AB上运动时,试说明2BM-BP为定值。
(3)当P在AB的延长线上运动时,N为BP的中点,下列两个结论:
①MN的长度不变;②MA+PN的值不变。
选择一个正确的结论,并求出其值。
【例5】如图①,已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3,点P为数轴上的一动点,其对应的数为x。
(1)PA=____________,PB=____________(用含x的式子表示);
(2)在数轴上是否存在点P,使PA+PB=5?
若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由。
(3)如图②,点P以1个单位/s的速度从点D向右运动,同时点A以5个单位/s的速度向左运动,点B以20个单位/s的速度向右运动,在运动过程中,M、N分别是AP、OB的中点,问:
的值是否发生变化?
请说明理由。
(4)当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时,点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动,点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动,问:
它们同时出发,几分钟时间点P到点A、点B的距离相等?
作业:
1.已知线段AB=a,CD=b,线段CD在直线AB上运动(A在B的左侧,C在D的左侧),
与
互为相反数。
(1)求a,b的值;
(2)若M,N分别是AC,BD的中点,BC=4,求MN的长;
(3)当CD运动到某一时刻,D点与B点重合,P是线段AB延长线上任意一点,问
的值是否改变?
若不变,求出其值,若改变,请说明理由。
2.如图,已知点A,B,C是数轴上三点,点C对应的数为6,BC=4,AB=12。
(1)求点A,B对应的数;
(2)动点P,Q同时从A,C出发,分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动。
M为AP的中点,N在CQ上,且CN=
CQ,设运动时间为t(t>0)。
①求点M,N对应的数(用含t的式子表示)
②t为何值时,OM=2BN。
3.如图,数轴上线段AB=2,CD=4,点A在数轴上表示的数是-10,点C在数轴上表示的数是16.若线段AB以6个单位/秒的速度向右运动,同时线段CD以2个单位/秒的速度向左运动。
(1)问运动多少秒时BC=8?
(2)当运动到BC=8时,点B在数轴上表示的数是_____________;
(3)P是线段AB上一点,当B点运动到线段CD上时,是否存在关系式
?
若存在,求线段PC的长;若不存在,请说明理由。
专题二、动角模型
【例1】已知D是直线AB上的一点,∠COE是直角,OF平分∠AOE。
(1)如图1,若∠COF=34°,则∠BOE=____________;若∠COF=m°,则∠BOE=________;
∠BOE与∠COF的数量关系为_____________
(2)在图2中,若∠COF=75°,在∠BOE的内部是否存在一条射线OD,使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的三分之一?
若存在,请求出∠BOD的度数;若不存在,请说明理由。
(3)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时,
(1)中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立?
请说明理由。
若不成立,求出∠BOE与∠COF的数量关系。
【练习1】已知:
∠AOB=60°,OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线。
(1)如图1,OC在∠AOB内部时,求∠DOE的度数;
(2)如图2,将OC绕O点旋转到OB的左侧时,OD、OE仍是∠BOC和∠COA的平分线,求此时∠DOE的度数;
(3)当OC绕O点旋转到OA的下方时,OD、OE分别是∠BOC和∠COA的平分线,∠DOE的度数又是多少?
(直接写出结论,不必写出解题过程)
【练习2】已知∠AOB=160°,∠COE=80°,OF平分∠AOE.
(1)若∠COF=14°,则∠BOE=____________;若∠COF=n°,则∠BOE=__________;
∠BOE与∠COF的数量关系为_____________
(2)当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时,
(1)中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立?
请说明理由。
(3)在
(2)的条件下,如图3,在∠BOE的内部是否存在一条射线OD,使得∠BOD为直角,且∠DOF=3∠DOE?
若存在,求出∠COF的度数;若不存在,请说明理由。
【练习3】已知:
∠AOD=160°,OB、OM、ON是∠AOD内的射线。
(1)如图1,若OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时,求∠MON的大小;
(2)OC也是∠AOD内的射线,如图2,若∠BOC=20°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时,求∠MON的大小;
(3)在
(2)的条件下,当射线OB从边OA开始绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒,如图3,若∠AOM:
∠DON=2:
3,求t的值。
【例2】已知OC是∠AOB内部的一条射线,M、N分别为OA、OC上的点,线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转。
(1)如图①,若∠AOB=140°,当OM、ON逆时针旋转2s时,分别到
、
处,求
的值;
(2)如图②,若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时,总有∠COM=3∠BON,求
的值。
(3)知识迁移,如图③,C是线段AB上的一点,点M从点A出发在线段AC上向C点运动,点N从点C出发在线段CB上向B点运动,点M、N的速度比是2:
1,在运动过程中始终有CM=2BN,求
【练习1】已知∠AOB=100°,∠COD=40°,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD。
(1)如图1,当OB、OC重合时,求∠EOF的度数;
(2)当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°(0若是定值,求出∠AOE-∠BOF的值;若不是,请说明理由。
(3)当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°(0+∠EOF=6∠COD,则n=___________
【练习2】已知点O是直线AB上的一点,∠COE=90°,OF是∠AOE的平分线。
(1)当点C,E,F在直线AB的同侧(如图1所示)时,试试说明∠BOE=2∠COF;
(2)当点C与点E,F在直线AB的两旁(如图2所示)时,
(1)中的结论是否仍然成立?
请给出你的结论并说明理由;
(3)将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°(0,则∠DOE的度数是___________(用含n的式子表示)。
【例3】如图,两个形状、大小完全相同的含有30°,60°的三角板如图①放置,PA、PB与直线MN重合,且三角板PAC,三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转。
(1)直接写出∠DPC的度数;
(2)若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度(如图②),若PF平分∠APD,PE平分∠CPD,求∠EPF的度数;
(3)如图③,在图①基础上,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转,转速为3°/s,同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针,转速为2°/s,(当PC转到与PM重合时,两三角板都停止转动),在旋转过程中,当2∠CPD=3∠BPM,求旋转的时间是多少?
【练习1】如图①,在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM放在射线OB上,另一边ON放在直线AB的下方。
(1)将图①中的直角三角板绕点O逆时针旋转至图②,点D为线段NO延长线上一点,且OD平分∠AOC。
①若∠BOC=119°40′,求∠COM的度数;
②试说明射线OM是∠BOC的角平分线。
(2)将图①中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周,若∠BOC=2∠AOC,且在旋转的过程中,第t秒时ON所在的直线恰好平分锐角∠AOC,求t的值。
【练习2】如图①,点O为直线AB上一点,过O点作射线OC,使∠AOC:
∠BOC=1:
2,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方。
(1)将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②的位置,使得ON落在射线OB上,此时三角板旋转的角度为_____________度。
(2)继续将图②中的三角板绕点O按逆时针至图③的位置,使得ON在∠AOC的内部。
试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系,并说明理由。
(3)在上述直角三角板从图①开始绕点O按30°每秒的速度逆时针旋转270°的过程中,是否存在OM所在直线平分∠BOC和∠AOC中的一个角,ON所在直线平分另一个角?
若存在,直接写出旋转时间t;若不存在,说明理由。
作业:
1.如图,∠AOD=150°,∠BOC=30°,∠BOC绕点O逆时针在∠AOD的内部旋转,其中OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,在∠BOC从OB与OA重合时开始到OC与OD重合时为止,以每秒2°的速度旋转过程中,有下列结论,其中正确的是()
(1)射线OM的旋转速度为每秒2°;
(2)当∠AON=90°时,时间为15秒;(3)∠MON的大小为60°。
A.
(1)
(2)(3)B.
(2)(3)C.
(1)
(2)D.(3)
2.已知∠AOB=110°,∠COD=40°,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD。
(1)如图所示,当OB、OC重合时,求∠AOE-∠BOF得值;
(2)当∠COD从图示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒(0若不发生变化,请求出该定值;若发生变化,请说明理由。
3.如图:
(1)已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数;
(2)如果
(1)中∠AOB=
,其他条件不变,求∠MON得度数;
(3)如果
(1)中∠BOC=
(
),其他条件不变,求∠MON的度数;
(4)从
(1)
(2)(3)的结果中你得到什么样的规律?
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系,它们之间可以互相借鉴解法,请你模仿
(1)~(4),设计一道以线段为背景的计算题,给出解答,并写出其中的规律。
4.将一副直角三角板按如图①摆放在直线AD上(直角三角板OBC和直角三角板MON,∠OBC=90°,∠BOC=45°,∠MON=90°,∠MNO=30°),保持三角板OBC不动,将三角板MON绕点O以每秒8°的速度顺时针方向旋转t秒。
(1)如图②,当t=_____________秒时,OM平分∠AOC,此时∠NOC-∠AOM=____________;
(2)继续旋转三角板MON,如图③,使得OM、ON同时在直线OC的右侧,猜想∠NOC与∠AOM有怎样的数量关系?
并说明理由(数量关系中不能含t)
(3)直线AD的位置不变,若在三角板MON开始顺时针旋转的同时,另一个三角板OBC也绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转,当OM旋转至射线OD上时,两个三角板同时停止运动。
①当t=___________时,∠MOC=15°;
②请直接写出在旋转过程中,∠NOC与∠AOM的数量关系(数量关系中不能含t).
5.一副三角板如图①放置,点A、O、B在直线MN上,其中∠BOD=30°,∠AOC=45°。
(1)如图②,OE平分∠DOC,OF平分∠BOC,求∠EOF的度数;
(2)如图③,若三角板AOC绕点O逆时针旋转
(
),OF平分∠BOC,OG平分∠AOD,求∠FOG得度数;
(3)若三角板AOC绕点O顺时针
(
),
(2)中其他条件不变,请直接写出∠FOG的度数。
图①图②图③
6.已知:
O是直线AB上一点,∠COD是直角,OE平分∠BOC。
(1)如图①,若∠AOC=30°,求∠DOE的度数;
(2)在图①中,若∠AOC=
,直接写出∠DOE的度数(用含
的代数式表示);
(3)将图①中的∠DOE绕顶点O顺时针旋转至图②的位置。
①探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系;
②在∠AOC的内部有一条射线OF,满足∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF,试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系,并说明理由。