7．如图3甲所示，M1M4、N1N4为平行放置的水平金属轨道，M4P、N4Q为相同半径，平行放置的竖直四分之一圆形金属轨道，M4、N4为切点，P、Q为四分之一圆轨道的最高点（与圆心等高），轨道间距L＝1.0m，圆轨道半径r＝0.5m，整个装置左端接有阻值R＝0.5Ω的定值电阻。
M1M2N2N1、M3M4N4N3为等大的长方形区域Ⅰ、Ⅱ，两区域宽度d＝0.5m，两区域之间的距离s＝1.0m；区域Ⅰ内分布着均匀的变化的磁场B1，B1变化规律如图乙所示，规定竖直向上为B1的正方向；区域Ⅱ内分布着匀强磁场B2＝0.05T，方向竖直向上。
两磁场间的轨道与导体棒CD间的动摩擦因数为μ＝0.2，M3N3右侧的直轨道及半圆形轨道均光滑。
质量m＝0.1kg，电阻R0＝0.5Ω的导体棒CD在垂直于棒的水平恒力F＝1.0N拉动下，从M2N2处由静止开始运动，到达M3N3处撤去恒力F，CD棒穿过匀强磁场区后，恰能通过圆形轨道到达PQ处。
若轨道电阻、空气阻力不计，运动过程导体棒与轨道接触良好且始终与轨道垂直，g取10m/s2。
求：
图3
（1）CD棒从M2N2处运动到M3N3处所需要的时间；
（2）CD棒刚进入B2磁场时的加速度大小；
（3）CD棒在直轨道上向右运动过程中电阻R上产生的热量Q。
【答案】
（1）0.5s
（2）0.1m/s2 （3）0.16J
故R上总共产生的热量QR＝Q1＋Q2＝0.16J
8．如图4甲所示，粗糙水平轨道与半径为R的竖直光滑、绝缘的半圆轨道在B点平滑连接，过半圆轨道圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场E，质量为m的带正电小滑块从水平轨道上A点由静止释放，运动中由于摩擦起电滑块电荷量会增加，过B点后电荷量保持不变，小滑块在AB段加速度随位移变化图象如图乙。
已知A、B间距离为4R，滑块与轨道间动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度为g，不计空气阻力，求
图4
（1）小滑块释放后运动至B点过程中电荷量的变化量；
（2）滑块对半圆轨道的最大压力大小；
（3）小滑块再次进入电场时，电场大小保持不变、方向变为向左，求小滑块再次到达水平轨道时的速度以及距A点的距离。
【答案】
（1）
（2）（6＋3）mg （3）2，方向与水平方向夹角为β1＝arctan斜向左下方，位置在A点左侧
2R处
【解析】
（1）在A点有q0E－μmg＝m·g
在B点有q1E－μ
mg＝m·g
联立以上两式解得Δq＝q1－q0＝。
（3）从B到C过程有
－mg·2R＋q1E·R＝mv－mv
从C点到再次进入电场做平抛运动
x1＝v3t
R＝gt2
vy＝gt
tanβ1＝
tanβ2＝
由以上各式解得β1＝β2
则进入电场后合力与速度共线，做匀加速直线运动
tanβ1＝
从C点到水平轨道mg·2R＋q1E·x2＝mv－mv32
由以上各式解得v4＝2
Δx＝x1＋x2－4R＝2R
因此滑块再次到达水平轨道的速度为v4＝2，方向与水平方向夹角为
β1＝arctan，斜向左下方，位置在A点左侧2R处。
9．山区高速公路上，一般会在较长的下坡路段的坡底设置紧急避险车道。
将紧急避险车道视为一个倾角为θ的固定斜面，
如图1所示。
一辆质量为m的汽车在刹车失灵的情况下，以速度v冲上紧急避险车道匀减速至零。
汽车在紧急避险车道上受到除重力之外的阻力大小是自身重力的k倍。
（重力加速度为g）
图1
（1）画出汽车的受力示意图；
（2）求出汽车行驶时的加速度；
（3）求出汽车行驶的距离。
【答案】
（1）见解析
（2）（k＋sinθ）g 方向沿斜面（避险车道）向下
（3）
【解析】
（1）以汽车为研究对象，受力如图所示。
10．我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器。
设弹射过程中，舰载机所受总推力恒为1.2×106N，水平弹射2.5s后，速度达到80m/s。
已知舰载机总质量为3×104kg，所受阻力视为不变，求舰载机在弹射过程中：
（1）加速度大小；
（2）阻力大小；
（3）总推力做的功。
【答案】
（1）32m/s2
（2）2.4×105N （3）1.2×108J
11．如图2甲所示为某水上乐园的“彩虹通道”游乐项目。
当小美从滑道的顶端静止开始滑下，沿滑道运动过程可以简化为如图乙所示（各段滑道之间顺滑连接，即通过连接点前后的速度大小不变）。
已知斜面AB长为20m，与水平面成θ＝53°，斜面BC长为2.8m，水平面的夹角为α＝37°，小美与滑道AB、BC表面间的动摩擦因数为0.5（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8；sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）。
求：
图2
（1）小美沿滑道AB段下滑时的加速度大小；
（2）小美从滑道的顶端静止开始沿滑道ABC至C点时速度的大小；
（3）在滑道末端的水平减速滑道CD长为12m，CD段可以通过改变滑道内水的深度来改变阻力系数k（k为阻力与重力之比）。
人若受到大于其自身重力2倍的阻力时，身体会有不适感、会不安全。
为保证安全需要，且不能冲出CD轨道，求减速滑道阻力系数k的取值范围。
【答案】
（1）5m/s2
（2）12m/s （3）0.6≤k<2
【解析】
（1）对小美受力分析，根据牛顿第二定律
mgsin53°－μmgcos53°＝ma1
代入数据解得a1＝5m/s2
（2）由A到B的过程，小美做匀加速直线运动，根据速度位移公式有v－v＝2a1xAB
代入数据解得vB＝10m/s
由B到C的过程，小美做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有
－mgsin37°－μmgcos37°＝ma2
代入数据解得a2＝－10m/s2
根据速度位移公式有v－v＝2a2xBC
代入数据解得vC＝12m/s
12．如图3所示，水平地面上有一固定的粗糙斜面，倾角为θ＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
一质量m＝1kg滑块在平行于斜面向上的恒定拉力F作用下从静止开始沿斜面向上做匀加速直线运动，滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。
从滑块由静止开始运动时计时，在4s末撤去恒定拉力F，滑块刚好可以滑到斜面顶端，滑块在0到4s内v－t图象如图乙所示，求：
图3
（1）滑块前4s的加速度以及前4s内位移的大小；
（2）拉力F的大小；
（3）滑块经过斜面上距斜面顶点0.2m处所对应的时刻？
【答案】
（1）8m
（2）11N （3）0.4s和4.85s
【解析】
（1）由图可知加速度大小a＝＝1m/s2
位移的大小即为图线与时间轴围成的面积s＝m＝8m。
（2）滑块在拉力作用下，受力分析如图。
y轴上，由平衡方程FN＝mgcosθ
x轴上，由牛顿第二定律F－mgsinθ－Ff＝ma，
Ff＝μmgcosθ
得到F＝mgsinθ＋Ff＋ma＝11N。
（3）滑块先以a1＝1m/s2做匀加速直线运动，撤去力F后，滑块受力如图所示。
此后滑块会下滑，摩擦力反向，设滑块加速度为a3
由牛顿第二定律mgsinθ－Ff＝ma3
解得a3＝2m/s2
设加速运动0.2m的时间为t4，s4＝at，得到t4＝s
所对应的时刻为t＝4s＋0.4s＋t4＝s＝4.85s
即滑块经过斜面上距斜面顶点0.2m处所对应的时刻分别为0.4s和4.85s。
13．“801所”设计的磁聚焦式霍尔推进器可作为太空飞船的发动机，其原理如下：
系统捕获宇宙中大量存在的等离子体（由电量相同的正、负离子组成）经系统处理后，从下方以恒定速率v1向上射入有磁感应强度为B1、垂直纸面向里的匀强磁场区域Ⅰ内。
当栅极MN、PQ间形成稳定的电场后，自动关闭区域Ⅰ系统（关闭粒子进入通道、撤去磁场B1）。
区域Ⅱ内有磁感应强度大小为B2、垂直纸面向外的匀强磁场，磁场右边界是直径为D、与上下极板相切的半圆（圆与下板相切于极板中
央A）。
放在A处的放射源能够向各个方向均匀发射速度大小相等的氙原子核，氙原子核经过该区域后形成宽度为D的平行氙粒子束，经过栅极MN、PQ之间的电场加速后从PQ喷出，在加速氙原子核的过程中探测器获得反向推力（不计氙原子核、等离子体的重力，不计粒子之间相互作用与相对论效应）。
已知极板长RM＝2D，栅极MN和PQ间距为d，氙原子核的质量为m、电荷量为q，求：
图1
（1）氙原子核在A处的速度大小v2；
（2）氙原子核从PQ喷出时的速度大小v3；
（3）因区域Ⅱ内磁场发生器故障，导致区域Ⅱ中磁感应强度减半并分布在整个区域Ⅱ中，求能进入区域Ⅰ的氙原子核占A处发射粒子总数的百分比。
【答案】
（1）
（2） （3）
（2）等离子体由下方进入区域Ⅰ后，在洛伦兹力的作用下偏转，当粒子受到的电场力等于洛伦兹力时，形成稳定的匀强电场，设等离子体的电荷量为q′，则Eq′＝B1v1q′
即E＝B1v1
氙原子核经过区域Ⅰ加速后，离开PQ的速度大小为v3，根据动能定理可知
Uq＝mv－mv
其中电压U＝Ed＝B1v1d
联立可得v3＝。
（3）根据题意，当区域Ⅱ中的磁场变
为B2′之后，根据r′＝可知，r′＝2r＝D。
①根据示意图可知，沿着AF方向射入的氙原子核，恰好能够从M点沿着轨迹1进入区域Ⅰ，而沿着AF左侧射入的粒子将被上极板RM挡住而无法进入区域Ⅰ。
该轨迹的圆心O1，正好在N点，AO1＝MO1＝D，所以根据几何关系可知，此时∠FAN＝90°；
14．如图2所示，在一半径为R、O为圆心、PQ边为直径的半圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（图中没画出）；PQ上方是电场强度为E的匀强电场。
现有一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从匀强电场中的A点由静止释放，从O点垂直于PQ进入磁场。
已知OA的距离也为R，不计重力与空气阻力的影响。
图2
（1）求粒子经电场加速后射入磁场时的速度；
（2）若要求进入磁场的粒子不从圆弧边界离开磁场，求磁感应强度的最小值Bm；
（3）若磁感应强度B′＝2Bm，求带电粒子从静止开始运动至到达圆弧边界的时间。
【答案】
（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）设粒子经电场加速后射入磁场时的速度为v，根据动能定理有qER＝
mv2，
甲
解得v＝。
（3）设粒子做圆周运动的半径为r′，则r′＝＝，轨迹如图乙所示。
乙
带电粒子在电场中运动的时间为t1＝3＝3
带电粒子在磁场中运动的时间为t2＝T＝＝
带电粒子从静止
开始运动至到达圆弧边界的时间为
t＝t1＋t2＝。
15．如图3所示，在xOy平面内，03L的区域内有一方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。
某时刻，一带正电的粒子从坐标原点以沿x轴正方向的初速度v0进入电场；之后的另一时刻，一带负电粒子以同样的初速度从坐标原点进入电场。
带正、负电的两粒子从电场进入磁场时速度方向与电场和磁场边界的夹角分别为60°和30°，两粒子在磁场中分别运动半周后在某点相遇。
已知两粒子的重力以及两粒子之间的相互作用都可忽略不计，两粒子带电荷量大小相等，求：
图3
（1）带正、负电的两粒子的质量之比m1∶m2；
（2）两粒子相遇的位置P点的坐标；
（3）两粒子先后进入电场的时间差。
【答案】
（1）3∶1
（2） （3）
（2）粒子
在电场中沿y轴方向的位移为
y＝··＋··－＝
即y1＝L，y2＝L
如图所示，由几何关系可得，P点的横坐标为
xP＝3L＋（y1＋y2）sin30°sin60°＝L
P点的纵坐标为
yP＝－[y2－（y1＋y2）sin30°cos60°]＝－L
16.如图4所示，在空间xOy的第一象限内存在一沿－x轴方向，大小为E的匀强电场。
现有一质量为m，电荷量为＋q的带电微粒（重力不计），在A（L，L）点无初速度释放，通过Y轴上的P点进入第二象限，在第二象限内存在沿－y轴方向匀强电场，带电微粒最终从C（0，－2L）点离开第二象限。
图4
（1）则第二象限内场强大小？
带电微粒从C点离开的速度是多少？
（2）若第二象限内仅存在沿垂直纸面的匀强磁场，使带电微粒仍从C（0，－2L）点离开，则磁感应强度大小？
（3）若改变带电微粒释放点的位置从P点进入磁场，在第二象限有垂直纸面的圆形匀强磁场，使得粒子从C点离开的速度与只在电场时完全相同，则第二象限内圆形匀强磁场的磁感应强度是多少？
圆形匀强磁场的面积是多少？
【答案】
（1）E
（2）
（3） πL2
【解析】
（1）粒子运动轨迹如图所示。
（2）做圆周运动到达C点，如图所示。
半径满足R2＝4L2＋（R－L）2
解得R＝2.5L
根据洛伦兹力提供向心力qBvP＝m
可得B＝。
（3）因在磁场中速度大小不变，故改变带电微粒释放点的位置到P点时速度已经达到vP＝vC＝
要使磁感应强度B最小，则半径最大，如图所示。
17．如图1所示，在水平平台上有一质量m＝0.1kg的小球压缩轻质弹簧（小球与弹簧不拴连）
至A点，平台的B端连接两个半径都为R＝0.2m，且内壁都光滑的二分之一细圆管BC及CD，圆管内径略大于小球直径，B点和D点都与水平面相切。
在地面的E点安装了一个可改变倾角的长斜面EF，已知地面DE长度为1.5m，且小球与地面之间的动摩擦因数μ1＝0.3，小球与可动斜面EF间的动摩擦因数μ2＝。
现释放小球，小球弹出后进入细圆管，运动到D点时速度大小为5m/s，求：
图1
（1）小球经过D点时对管壁的作用力；
（2）小球经过E点时的速度大小；
（3）当斜面EF与地面的倾角θ（在0～90°范围内）为何值时，小球沿斜面上滑的长度最短（小球经过E点时速度大小不变）？
并求出最短长度。
【答案】
（1）13.5N，方向竖直向下
（2）4m/s （3）0.69m
【解析】
（1）小球运动到D点时，根据牛顿第二定律
FN－mg＝m
解得FN＝13.5N
由牛顿第三定律，小球对管壁的作用力为13.5N，方向竖直向下。
18．如图2所示为一极限滑板运动的场地图，AB和CD为一竖直平面光滑轨道，其中BC水平，A点高出BC5米，CD是半径为R＝4m的圆轨道，BC长2米，一质量为60千克的运动员（包含滑板）从A点静止滑下，经过BC后滑到高出D点0.5米位置速度为零。
求：
（g＝10m/s2）
图2
（1）滑板与BC轨道间的动摩擦因数；
（2）运动员第3次经过C点对轨道的压力大小；
（3）现有另一下滑轨道，A′B′与AB轨道相同，CD轨道换成半径r＝1.5米的半圆轨道C′D′，运动员从A′B′轨道某位置静止滑下，则该运动员能否经D′点落到B′点，若能，求出该位置，若不能，说明理由。
【答案】
（1）0.25
（2）1650N （3）见解析
【解析】
（1）全过程由动能定理得WG＋Wf＝0，
即mgΔh－μmg×＝0
解得μ＝0.25。
19．如图3所示，光滑的水平面AB与半径R＝0.4m的光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，D点为半圆轨道最高点，A点的右侧连接一粗糙的水平面。
用细线连接甲、乙两物体，中间夹一轻质压缩弹簧，弹簧与甲、乙两物体不拴接，甲的质量m1＝4kg，乙的质量m2＝5kg，甲、乙均静止。
若固定乙，烧断细线，甲离开弹簧后经过B点进入半圆轨道，过D点时对轨道的压力恰好为零。
取g＝10m/s2，甲、乙两物体可看作质点，求：
图3
（1）甲离开弹簧后经过B点时的速度的大小vB；
（2）弹簧被压缩具有的弹性势能；
（3）在弹簧压缩量相同的情况下，若固定甲，烧断细线，乙物体离开弹簧后从A点进入动摩擦因数μ＝0.4的粗糙水平面，则乙物体在粗糙水平面运动的位移x。
【答案】
（1）2m/s
（2）40J （3）2m
【解析】
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