第四章控制系统的频率特性.docx
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第四章控制系统的频率特性
第四章控制系统的频率特性
本章要点
本章主要介绍自动控制系统频域性能分析方法。
内容包括频率特性的基本概念，典型环节及控制系统Bode图的绘制，用频域法对控制系统性能的分析。
用时域分析法分析系统的性能比较直观，便于人们理解和接受。
但它必须直接或间接地求解控制系统的微分方程，这对高阶系统来说是相当复杂的。
特别是当需要分析某个参数改变对系统性能的影响时，需反复重新计算，而且还无法确切了解参数变化量对系统性能影响的程度。
而频率特性不但可以用图解的方法分析系统的各种性能,而且还能分析有关参数对系统性能的影响，工程上具有很大的实用意义。
第一节频率特性的基本概念
一、频率特性的定义
频率特性是控制系统的又一种数学模型，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。
对线性系统，若输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但是输出信号的幅值和相位一般不同于输入量，如图4-1。
若设输入量为r（t）=A「sin（3t+ur）
其输出量为c（t）=Acsin@t+uc）
若保持输入信号的幅值Ar不变，改变输入信号的角频率3,则输出信号的角频率
也变化，并且输出信号的幅值和相位也随之变化。
图4-1控制系统的频率响应
特性，它随角频率3变化，常用性，简称相频特性，它也随角频率
我们定义系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性，简称幅频
M（3）表示。
输出量与输入量的相位差为相位频率特
3变化，常用U（3）表示。
其数学定义为
M"A
U（3）=Uc-U
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G（j3）表示。
由此，幅频特性M（3）又可
表示为|G（j;i），相频特性u（3）又可表示为ZG（j■），三者可表示成下面的形式:
G（ja）=|G（jm）|ZG（js）
其中
M（co）=G（jco）「（）二/G（j•）
二、频率特性与传递函数的关系
频率特性和传递函数之间存在密切关系：
若系统（或元件）的传递函数为G（s）,
则其频率特性为G（j3）。
这就是说，只要将传递函数中的复变量s用纯虚数j3代替，就可以得到频率特性。
即
G（s）>G（j■）
三、频率特性的表示方法
1.数学式表示法
频率特性是一个复数，所以它和其他复数一|
图4-2频率特性的表示方法
样，可以表示为极坐标式、直角坐标和指数坐标三种形式。
见图4-2所示。
G（j•）二G（jJ-G（j）
二U（■）jVC）
-M（）ej（）
显然，
M=|G（j⑷）|2（co）+V2®）
wG（j"arcta说
例4-1写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
其频率特性为
1
G（j■）=
j+1
幅频特性为
1
A（）=
Jg）2+1
相频特性为
（■）二G（j，）=0〜arctanT，
2•图形表示法
1）极坐标图（又称奈奎斯特图）
当3从0^8变化时，G（j3）运动的轨迹称为极坐标图。
根据频率特性的极坐标式G（j3）=M（3）ZU（3），可以算出每一个3值所对应的幅值M（3）和U（3），将它们画在极坐标平面图上，就得到了频率特性的极坐标图。
2）对数频率特性
对数频率特性是将频率特性表示在半对数坐标中，通常称为Bode图。
对数频率特性的定义为：
L（3）=20lgM（3）
U（3）=ZG（3）
引入对数幅频特性L（3）,可以把幅频特性相乘的关系转化成对数幅频特性相加的关系从而简化计算和方便作图。
另外，以后的分析会表明，L（3）或它的渐近线大多与
lg3成线性关系。
因此，若以L（3）为纵轴，lg3为横轴，则其图线为直线，这也使频
率特性的计算和绘制过程大为简化。
①对数幅频特性曲线
横坐标表示角频率3,单位为弧度/秒（rad/s），按lg3均匀分度，但对3而言是不均匀的，两者的相应关系参见图4-3所示，频率从1到10的对数值见表4-1所示。
在横坐标上，3每变化10倍，横坐标就变化一个单位长度，我们以后称为一个“10倍频程”（记为dec）。
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
lg3
0
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
0.954
纵坐标表示L（3），单位为分贝（dB），均匀分度，如图4-3所示。
由于只有横坐标为对数坐标，纵坐标不是对数坐标，所以又称为半对数坐标图。
这一点在画图时必须
'VTTT、\■、、》；
要注意。
②对数相频特性曲线
横坐标表示角频率3,单位为弧度/秒（rad/s）,按lg3均匀分度，但对3而言是不
均匀的，纵坐标表示u（3），单位为度（°）,均匀分度，如图4-4所示。
图4-3Bode图坐标系
小/异矗卜_r—i-a-ns—s点屛耐鬲二
圈駅4筋血圈尝極系
第二节典型环节的Bode图
一、比例环节
C（s）
1.传递函数为G（s）K
R（s）
二、积分环节
1.传递函数为G（s）=—（~）—
R（s）Ts
Cj）1
2.频率特性为G（j）=
R（j®）jT«
3.对数频率特性为L（3）=-20lgT3=-20lgT-20lg3（dB）
U（3）=-90
4.Bode图
1）对数幅频特性L（3）L（3）为过点（1,20lgK）、斜率为—20dB/dec的一条直线。
如图4-5所示。
2）
对数相频特性U（3）U（3）为一条—90°的水平直线。
如图4-5所示。
90
-20
图4-5积分环节的Bode图
三、理想微分环节
1.传递函数为
G（s）二少=s
R（s）
2.频率特性为
C（io）
G（j）j'
Rj）
3.对数频率特性为
L（3）=20lgT3（dB）
U（3）=90o
4.Bode图
1）对数幅频特性
L（3）L（3）为过点（1,20lgT）、斜率为20dB/dec的一条直线。
2
）对数相频特性U（3）U（3）为一条90°的水平直线。
四、惯性环节
Cj）1
2•频率特性为G（j•■厂
Rj）阿+1
3.对数频率特性为
L（•）=20lg1—20lgf—）厂1
p（T时）2+1
u（3）=-arctanT3
4.Bode图
1）对数幅频特性L（3）惯性环节的对数幅频特性L（3）是一条曲线，逐点描绘很繁
琐，通常采用近似方法绘制，即先作出L（3）的渐近线。
1低频渐近线：
指3t0时的L（3）曲线
当3《1/T,T3《1时
L（•）二-20lg；.（T）21二-20lg1=0为一条OdB的水平线。
2高频渐近线：
指3时的L（3）曲线
当3》1/T,T3》1时
L（•）二-20lg,（T）21=-20lgT■
为过点（1/T,0）、斜率为-20dB/dec的一条直线。
交接频率：
指高、低频渐近线交接处的频率，显然，惯性环节的交接频率为3=1/T。
修正量：
最大误差发生在交接频率3=1/T处，该处的实际值为
L©）怕」=—20lgJg）2+1=—20lg=—3.03dB
所以其最大误差约为3dB。
因此，若需精确曲线，则先在交接频率3=1/T处定一
个-3dB点，然后用一条光滑曲线与渐近线连接起来，就得到精确曲线。
2）对数相频特性U（3）也可用近似画法。
1低频渐近线：
当30时，U（3）T0。
因此，低频渐近线为一条U（3尸0的水平线。
2咼频渐近线：
当3^8时，U（3）T-90°。
因此，咼频渐近线为一条U（3）T-90°
的水平线。
3交接频率处的相位：
当3=1/T时，U（3）=-arctan仁-45°。
五、比例微分环节
1•传递函数为G（s^C^=s1
R（s）
3.对数频率特性为L（，）=20lg.CO21
u（3）=arctantw
4.Bode图
同理，比例微分环节的对数幅频特性L（3）和相频特性u（3）也是曲线，逐点描绘
很繁琐，通常也采用近似方法绘制。
因为其对数幅频特性和对数相频特性与惯性环节只相差一个符号，所以只要把惯性环节的Bode图向上翻转一下即可。
如图4-8所示。
3.对数频率特性为
4
为一条0dB的水平线。
②高频渐近线：
当3》3n时
4修正量：
当3=3n时，该处的实际值为
L俾）J=-20lgf（2®2=-20lg2SB
所以其误差不仅与3有关，还与E有关。
误差计算结果见表4-2。
阻尼比E
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
最大误差（dB）
+14
+8
+4.4
+1.9
0
-1.6
-2.9
-4.1
-5.1
-6.0
计算表明，在3=3n处，当0.4VEV0.7时，误差小于3dB，可以不对渐近线进行修正；但当EV0.4或E>0.7时，误差较大，必须对渐近线进行修正。
2）对数相频特性U（3）也可用近似画法。
1低频渐近线：
当30时，U（3）T0。
因此，低频渐近线为一条U（3尸0的水平
线。
2高频渐近线：
当3^8时，U（3）T-180°。
因此，高频渐近线为一条U（3尸-180°的水平线。
3交接频率处的相位：
当3=3n时，U（3）=-90°。
第三节控制系统的开环Bode图的绘制
一、系统开环Bode图的简便画法
若系统的开环传递函数G（s）为
G（s）=Gi（s）G2（s）G3（s）
其对应的开环频率特性为
G（j3）=Gl（j3）G2（j3）G3（j3）
其对应的开环幅频特性为
L（3）=20lg〔Ml（3）M2（3）M3（3）〕
=20lgM1（3）+20lgM2（3）+20lgM3（3）
=Ll（3）+L2（3）+L3（3）
其对应的开环相频特性为
U（3）=U1（3）+U2（3）+U3（3）
由此可见，串联环节总的对数幅频特性等于各环节对数幅频特性的和，其总的对数相频特性等于各环节对数相频特性的和。
例4-2已知系统的开环传递函数G（S）100（S2），试求取系统的开环对数频
s（s+1）（s+20）
率特性曲线。
解：
1）分析系统是由哪些典型环节串联组成，并将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。
〜、100（s+2）10（0.5s+1）
G（s）：
s（s+1）（s+20）s（s+1）（0.05s+1）
2）由小到大书写转折频率。
3c1=1rad/s
3c2=1/0.5=2rad/s
3c3=1/0.05=20rad/s
3）选定坐标轴的比例尺及频率范围（即取坐标）。
一般取最低频率为系统最低转折频
率的1/10左右，而最高频率为系统最高转折频率的10倍左右。
4）计算20lgK,找到横坐标为3=1、纵坐标为L（3）=20lgK=20lg10=20dB的点，过该点作斜率为-20vdB/dec=-20dB/dec的直线至3c1点，其中v为积分环节的个数。
本例中v=1。
5）每过转折频率3c,斜率按下列原则变：
若过惯性环节的转折频率，斜率增加〔-20〕；
若过比例微分环节的转折频率，斜率增加〔+20〕；
若过振荡环节的转折频率，斜率增加〔-40〕。
6）如果需要，可对渐进线进行修正，以获得较为精确的对数幅频特性曲线。
最后，得到开环对数幅频特性曲线如图4-10所示。
对数相频特性曲线U（3）的绘制步骤：
画出各典型环节的对数相频特性曲线，把它们按频率逐点相加，即可得到系统的对
数相频特性曲线。
如图4-10所示。
二、最小相位系统
若传递函数的极点和零点均在s复平面的左侧的系统称为最小相位系统。
若传递函数的极点和（或）零点有在s复平面右侧的系统称为非最小相位系统。
三、
由对数频率特性求相应的传递函数
对一些数学模型不清楚的环节，可以直接利用频率特性测试仪器来测得其频率特
性，并由此求得相应的传递函数。
例4-3求如图4-11所示环节的传递函数。
解：
1）由图4-11a低频段的斜率为-20dB/dec，可推知该系统含一个积分环节，其传递函数为
G（s）=K/s
由于3=1时，L（3）=20lgK。
又由图可知：
3=31时，L（3）=0dB
所以20lgK一°=_20
lg1-©叫
由此可得K=31
2）图4-11b可见，其低频段为一水平直线，所以它不含积分环节（即v=0）;又由于低频段的高度为L1（3），即20lgK=0,可求得K=1。
由过点31斜率增加20dB/dec知，含一比例微分环节（「s+1）,式中T1=1/31。
由过点32斜率增加-20dB/dec知，含一惯性环节1/（T2S+1）,式中T2=1/32。
综上所述，可得此环节的传递函数为
1
T2s1
3）由图4-11C可知，其低频段为一水平直线，所以它不含积分环节（即v=0）;又
由于低频段的高度为L1（3）,即卩20lgK=L1（3），可求得K。
由过点3i斜率增加-20dB/dec知，含一惯性环节1/（Tis+1）,式中Ti=1/«1。
由过点32斜率增加20dB/dec知，含一比例微分环节（T2S+1），式中T2=1/32。
由过点33斜率增加20dB/dec知，含一比例微分环节（T3S+1），式中T3=1/32。
由过点34斜率增加-20dB/dec知，含一惯性环节1/（T4S+1），式中T4=1/34。
综上所述，可得此环节的传递函数为
图4-11系统的Bode图
由上例可归纳出由Bode图求取传递函数的一般规则：
1由低频段的斜率为（-20dB/dec）v,可推知所含积分环节的个数v,
由低频段在3=1处的高度L（3）=20lgK［或由低频段斜线（或其延长线）与零分贝线交点］来求得增益K.
2由低频t高频，斜率每增加一个+20dB/dec，即含一个比例微分环节；斜率每增加一
个-20dB/dec，即含一个惯性环节；斜率每增加一个-40dB/dec，即含一个振荡环节，再
由峰值偏离渐进线的偏差求得阻尼比Z。
第四节控制系统性能的频域分析
利用系统的开环频率特性曲线，可以对系统的性能进行分析。
一、系统稳定性的频域判据
利用系统的开环频率特性曲线，不仅可以判别系统的稳定性，还能进一步确定系统的相对稳定性。
1•对数频率稳定判据的内容：
若系统开环是稳定的，则闭环系统稳定的充要条件是：
当L（3）线过OdB线时，对应的U（3）在-180°线的上方；
或当u（3）=-180°时，对应的L（3）在0dB线下方。
2．稳定裕量
1）相位裕量丫：
当L（3）=0dB时，对应的u（3）高于-180°线多少。
其中，L（3线穿0dB线时的频率，叫幅值穿越频率，用3gc表示。
定义：
丫=u（3gc）-（-180°）
=180+u（3gc）
显然，Y>0,系统是稳定的，丫越大，系统相对稳定性越好，丫=0,系统是临界
稳定的，丫<0,系统则是不稳定的。
2）增益裕量Gm:
当u（3）=-180°时，对应的L（3）低于0dB线多少。
其中，u（3）=-180°时的频率，叫相位穿越频率，用3pc表示。
定义：
GM=0-L（3pc）
=-20lgM（3pc）
显然,GM>0,系统是稳定的,GM越大,系统相对稳定性越好；GM=0,系统是
临界稳定的,GM<0,系统则是不稳定的。
二、动态性能的频域分析
B°de图中的中频段是指L（3）的渐近线穿0dB线附近频率的一段区段,也就是幅值穿越频率3gc附近的一段区段。
1.相位裕量丫相位裕量丫反映了系统的相对稳定性，其作用等效于时域指标超调量（T%,丫越大，（T%越小，相对稳定性越好。
2.幅值穿越频率3gc幅值穿越频率3gc反映系统动态过程的响应速度和变化快慢
的，其作用等效于时域指标调整时间ts,3gc越大，ts越小，系统的响应越快。
三、稳态性能的频域分析
由前面的分析可知，系统的稳态精度取决于系统的型别v和增益K。
根据Bode图
画法可知，系统的开环传递函数中积分环节的个数v和开环增益K决定低频段的特性。
所以，由Bode图中L（3）曲线的低频段可直观地判断出系统的型别和开环增益。
因此，
稳态性能的频域分析主要是根据系统开环Bode图中的低频段分析系统的稳态误差。
Bode图中的低频段是指L（3）的渐进线在第一个转折频率以前的区段,也就是最左边的区段。
1.L（3）低频段（渐进线）的斜率代表着系统的型别：
若L（3）低频段（渐进线）的斜率为0dB/dec（水平线），贝Uv=0,为0型系统。
若L（3）低频段（渐进线）的斜率为-20dB/dec，贝Uv=1，为I型系统。
若L（3）低频段（渐进线）的斜率为-40dB/dec，贝Uv=2，为II型系统。
L（3）在3=1的高度为20lgK代表系统的增益K。
综上所述,系统开环对数幅频特性L（3）低频段曲线的斜率愈陡,L（3）在3=1的
高度愈高,贝系统的稳态误差将愈小,系统的稳态精度愈好。
小结
频域分析法是运用开环频率特性研究闭环控制系统性能的一种图解分析方法。
它所使用的数学模型是控制系统的频率特性。
频率特性是线性系统在在不同频率的正弦信号作用下，其稳态输出与输入之比。
频率特性可用图形表示，由于采用了典型化，对数化和图形化处理，使得频率特性法具有直观清楚、计算方便等优点，而且元部件（或系统）的频率特性还可以直接利用频率特性测试仪测得，因而在工程实践中得到广泛应用。
在对数频率特性曲线上，可采用对数频率稳定判据来判别闭环系统的稳定性。
稳定裕量是衡量控制系统相对稳定性的指标，它包括相位裕量和增益裕量。
开环频率特性的低频段主要决定系统的稳态性能；中频段主要表征系统的动态性能，它反映了系统动态响应的平稳性和快速性；而高频段则反映了系统的抗高频干扰的能力。
思考题与习题
4-1试绘制下列环节的Bode图。
（1）G（s）=20
⑵G（s）=
0.1s
（3）G（s）=0.1s
（4）
G（s）=0.1s+1
4-2振荡环节3n=10、Z=0.3，试写出传递函数、频率特性，画出精确及渐进对数幅频特性曲线，当3=3n时，其误差为多少？
画出对数相频特性曲线，当3=3n时，相
位移为多少?
4-3试绘制下列系统的Bode图。
4-5已知某调节器的对数幅频特性如图
4-13所示，写出该调节器的传递函数。
4-6已知系统框图如图4-14所示，试用开环Bode图判断系统闭环稳定性。
20dB
图4-14
4-7开环频率特性的三频段对系统性能有何影响？
4-8若要求系统响应斜坡信号时的稳态误差为零，那么对系统低频段有何要求？
4-9图4-15为两个不同系统I和II的开环对数幅频特性，试比较这两个系统性能的差别。
图4-15
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