全等三角形中的模型探究竞赛讲义.docx
《全等三角形中的模型探究竞赛讲义.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全等三角形中的模型探究竞赛讲义.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全等三角形中的模型探究竞赛讲义
全等三角形中的模型探究
一:
一线三角模型
模型1
条件
图形举例
结论
如图,已知△ABC为等腰三角形,∠ADE=∠B=∠C,且AD=DE
(1)∵∠B=∠ADE(已知)
且∠1=180°-∠2-∠B
∠3=180°-∠2-∠ADE
∴∠1=∠3(等式性质)
(2)△ABD≌△DCE
模型2
条件
图形
结论
BD⊥DE,CE⊥DE,D、E为垂足,点A在DE上,且AB=AC,∠BAC=90°
(1)∠1=∠3,∠2=∠4;
(2)△ABD≌△CAE;
(3)BD=AE,AD=CE;
(4)DE=BD+CE.
例1.如图,△ABC中,∠B=∠C,D,E,F分别为AB,BC,CA上的点,且BD=CE,∠DEF=∠B.
求证:
△DEF是等腰三角形.
例2.如图,BD⊥DE,CE⊥DE,D、E为垂足,点A在DE上,AB⊥DC且AB=DC.
求证:
BD=DE.
变式一、如图,已知:
AD⊥BC,AD=BD,DE=DC,求证:
(1)BE=AC;
(2)BE⊥AC.
变式二、如图,在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,连接CD、BE.
求证:
(1)CD=BE;
(2)CD⊥BE
练习巩固
1.在△ABC中,
,AC=BC.直线MN经过点C,且
于D,
于E.
当直线MN绕点C旋转到图1位置时,求证:
①△ADC≌△CEB;②
;
变式一、当直线MN绕点C旋转到图2位置时,试问:
DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系,并加以证明.
猜想:
证明:
变式二、当直线MN绕点C旋转到图3位置时,试问:
DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系:
2.如图,ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,
于E,BF∥DE,交AG于F.
求证:
.
3.如图△ABC,△BDF为等腰直角三角形,求证:
(1)CF=AD;
(2)CF⊥AD.
A
C
D
B
F
二:
等腰、等边及模型变换
条件
图形
结论
已知△ABC与△CDE为等边三角形,点C为公共顶点
(1)△BCD≌△ACE;
(2)BD=AE
已知△ABC与△CDE为等腰直角三角形,点C为公共顶点
(1)△BCE≌△ACD;
(2)BE=AD
(3)BE⊥AD.
已知△ABC与△ADE为等腰三角形,点A为公共顶点且∠BAC=∠DAE
(1)△ABD≌△ACE;
(2)BD=CE
已知正方形ABCD与正方形CEFG,点C为公共顶点
(1)△DCG≌△BCE;
(2)DG=BE
(3)DG⊥BE
例3.如图,已知:
△ABC,△BDE为等边三角形,C、B、D三点共线.
求证:
(1)AD=CE;
(2)CPB≌AQB.
(3)BPQ为等边三角形;
(4)PQ∥CD.
变式一.如图,已知:
△ABC,△BDE为等边三角形,C、B、D三点共线.线段AD、CE交于点O
求证:
(1)求∠AOC的度数;
(2)求证:
OB平分∠COD.
*变式二.如图,已知:
△ABC,△BDE为等边三角形,C、B、D三点共线.线段AD、CE交于点O
求证:
(1)求证:
OD=OB+OE;
(2)求证:
OC=OB+OA.
练习巩固
4.已知△BDE为等边三角形,∠1=∠2,AD=CE.求证:
△ABC为等边三角形.
5.已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段的同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线AE与BD交于点F.
(1)如图1,若∠ACD=60°,则∠AFB=;
如图2,若∠ACD=90°,则∠AFB=;
如图3,若∠ACD=120°,则∠AFB=;
如图4,若∠ACD=α,则∠AFB=(用含α的式子表示);
(2)将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上),变成如图5所示的情形,若∠ACD=α,则∠AFB与α的有何数量关系?
并给予证明.
拓展提升
1.在等腰直角三角形ABC中,
,
,直线MN过点A且
,以点B为一锐角顶点作Rt△BDE,
,且点D在直线MN上(不与点A重合).如图1,DE与AC交于点P,易证:
BD=DP(无需写证明过程).
(1)在图2中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?
如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由.
(2)在图3中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?
请直接写出你的结论,无需证明.
2.如图,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,α=90°,则BECF;EF|BE-AF|(填“>”,“<”或“=”);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于α与∠BCA关系的条件,
使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(图1)(图2)(图3)
B
C
A
F
E
D
B
C
A
F
E
D
B
C
A
F
E
D
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠BCA=α,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想,并证明.
课后练习
A
D
C
B
1.如图,已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD.求证:
AD=BC.
2.如图,在等边三角形ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行,经过t分钟后,它们分别爬行到了D、E处,设DC与BE的交点为F.
(1)求证:
△ACD≌△CBE;
(2)问蜗牛在爬行过程中DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化?
请证明你的结论.
3.已知:
△ABC,△BDE为等边三角形,A、D、E共线.求证:
AE=BE+EC.
4.如图,在四边形ABCD中,E点在AD上,其中
,且BC=CE.请完整说明△ABC与△DEC全等的理由.
5.如图,已知CD,BE相交于点A,点M是BC的中点,
,
,求证:
.
D
E
A
B
M
C
3
5
1
2
4
6.如图,已知:
△ABC,△BDE为等边三角形,线段AD、CE交于点O,M、N分别为线段AD、CE的中点,连接BM、BN、MN
求证:
(1)求∠AOC的度数;
(2)求证:
OB平分∠COD
(3)求证:
△BMN为等边三角形