全等三角形中的模型探究竞赛讲义.docx
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全等三角形中的模型探究竞赛讲义
全等三角形中的模型探究
一：
一线三角模型
模型1
条件
图形举例
结论
如图，已知△ABC为等腰三角形，∠ADE=∠B=∠C，且AD=DE
（1）∵∠B=∠ADE（已知）
且∠1=180°-∠2-∠B
∠3=180°-∠2-∠ADE
∴∠1=∠3（等式性质）
（2）△ABD≌△DCE
模型2
条件
图形
结论
BD⊥DE，CE⊥DE，D、E为垂足，点A在DE上，且AB=AC，∠BAC=90°
（1）∠1=∠3，∠2=∠4；
（2）△ABD≌△CAE；
（3）BD=AE，AD=CE；
（4）DE=BD+CE.
例1．如图，△ABC中，∠B=∠C，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B．
求证：
△DEF是等腰三角形．
例2．如图，BD⊥DE，CE⊥DE，D、E为垂足，点A在DE上，AB⊥DC且AB=DC．
求证：
BD=DE．
变式一、如图，已知：
AD⊥BC，AD=BD，DE=DC，求证：
（1）BE=AC；
（2）BE⊥AC．
变式二、如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接CD、BE．
求证：
（1）CD=BE；
（2）CD⊥BE
练习巩固
1．在△ABC中，
，AC=BC．直线MN经过点C，且
于D，
于E．
当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②
；
变式一、当直线MN绕点C旋转到图2位置时，试问：
DE、AD、BE具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系，并加以证明．
猜想：
证明：
变式二、当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问：
DE、AD、BE具有怎样的等量关系？
请写出这个等量关系：
2．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，
于E，BF∥DE，交AG于F．
求证：
．
3．如图△ABC，△BDF为等腰直角三角形，求证：
（1）CF=AD；
（2）CF⊥AD．
A
C
D
B
F
二：
等腰、等边及模型变换
条件
图形
结论
已知△ABC与△CDE为等边三角形，点C为公共顶点
（1）△BCD≌△ACE；
（2）BD=AE
已知△ABC与△CDE为等腰直角三角形，点C为公共顶点
（1）△BCE≌△ACD；
（2）BE=AD
（3）BE⊥AD.
已知△ABC与△ADE为等腰三角形，点A为公共顶点且∠BAC=∠DAE
（1）△ABD≌△ACE；
（2）BD=CE
已知正方形ABCD与正方形CEFG，点C为公共顶点
（1）△DCG≌△BCE；
（2）DG=BE
（3）DG⊥BE
例3．如图，已知：
△ABC，△BDE为等边三角形，C、B、D三点共线．
求证：
（1）AD=CE；
（2）CPB≌AQB．
（3）BPQ为等边三角形；
（4）PQ∥CD．
变式一．如图，已知：
△ABC，△BDE为等边三角形，C、B、D三点共线．线段AD、CE交于点O
求证：
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：
OB平分∠COD．
*变式二．如图，已知：
△ABC，△BDE为等边三角形，C、B、D三点共线．线段AD、CE交于点O
求证：
（1）求证：
OD=OB+OE；
（2）求证：
OC=OB+OA．
练习巩固
4．已知△BDE为等边三角形，∠1=∠2，AD=CE．求证：
△ABC为等边三角形．
5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段的同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=；
如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=；
如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=；
如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=（用含α的式子表示）；
（2）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？
并给予证明．
拓展提升
1．在等腰直角三角形ABC中，
，
，直线MN过点A且
，以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，
，且点D在直线MN上（不与点A重合）．如图1，DE与AC交于点P，易证：
BD=DP（无需写证明过程）．
（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？
如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．
（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？
请直接写出你的结论，无需证明．
2．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，α=90°，则BECF；EF|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，
使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（图1）（图2）（图3）
B
C
A
F
E
D
B
C
A
F
E
D
B
C
A
F
E
D
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠BCA=α，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并证明．
课后练习
A
D
C
B
1．如图，已知AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：
AD=BC．
2．如图，在等边三角形ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到了D、E处，设DC与BE的交点为F．
（1）求证：
△ACD≌△CBE；
（2）问蜗牛在爬行过程中DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？
请证明你的结论．
3．已知：
△ABC，△BDE为等边三角形，A、D、E共线．求证：
AE=BE+EC．
4．如图，在四边形ABCD中，E点在AD上，其中
，且BC=CE．请完整说明△ABC与△DEC全等的理由．
5．如图，已知CD，BE相交于点A，点M是BC的中点，
，
，求证：
．
D
E
A
B
M
C
3
5
1
2
4
6．如图，已知：
△ABC，△BDE为等边三角形，线段AD、CE交于点O，M、N分别为线段AD、CE的中点，连接BM、BN、MN
求证：
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：
OB平分∠COD
（3）求证：
△BMN为等边三角形
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