小学数学奥赛764 计数之递推法学生版.docx
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小学数学奥赛764计数之递推法学生版
教学目标
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法,比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等,这里再集中学习一下计数中其他常见的方法,主要有归纳法、整体法、对应法、递推法.对这些计数方法与技巧要做到灵活运用.
例题精讲
对于某些难以发现其一般情形的计数问题,可以找出其相邻数之间的递归关系,有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数,这种方法称为递推法.
【例1】每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子,而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来.如果一个人在一月份买了一对小兔子,那么十二月份的时候他共有多少对兔子?
【例2】树木生长的过程中,新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长,而后才能萌发新枝.一棵树苗在一年后长出一条新枝,第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发新枝;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则依次“休息”.这在生物学上称为“鲁德维格定律”.那么十年后这棵树上有多少条树枝?
【例3】一楼梯共10级,规定每步只能跨上一级或两级,要登上第10级,共有多少种不同走法?
【巩固】一楼梯共10级,规定每步只能跨上一级或三级,要登上第10级,共有多少种不同走法?
【例4】1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网,共有多少种不同的盖法.
【例5】用
的小长方形覆盖
的方格网,共有多少种不同的盖法?
【例6】有一堆火柴共12根,如果规定每次取1~3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?
【巩固】一堆苹果共有8个,如果规定每次取1~3个,那么取完这堆苹果共有多少种不同取法?
【例7】有10枚棋子,每次拿出2枚或3枚,要想将10枚棋子全部拿完,共有多少种不同的拿法?
【例8】如下图,一只蜜蜂从
处出发,回到家里
处,每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行,共有多少种回家的方法?
【巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间,规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由
房间到达
房间有多少种方法?
【例9】如下图,一只蜜蜂从A处出发,回到家里B处,每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行,共有多少种回家的方法?
【例10】对一个自然数作如下操作:
如果是偶数则除以2,如果是奇数则加1,如此进行直到得数为1操作停止.问经过9次操作变为1的数有多少个?
【例11】有20个石子,一个人分若干次取,每次可以取1个,2个或3个,但是每次取完之后不能留下质数个,有多少种方法取完石子?
(石子之间不作区分,只考虑石子个数)
【巩固】有20个相同的棋子,一个人分若干次取,每次可取1个,2个,3个或4个,但要求每次取之后留下的棋子数不是3或4的倍数,有种不同的方法取完这堆棋子.
【例12】
个人进行篮球训练,互相传球接球,要求每个人接球后马上传给别人,开始由甲发球,并作为第一次传球,第五次传球后,球又回到甲手中,问有多少种传球方法?
【巩固】五个人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
次传球后,球仍回到甲手中.问:
共有多少种传球方式?
【例13】设
、
为正八边形
的相对顶点,顶点
处有一只青蛙,除顶点
外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个,落到顶点
时青蛙就停止跳动,则青蛙从顶点
出发恰好跳
次后落到
的方法总数为种.
【巩固】在正五边形
上,一只青蛙从
点开始跳动,它每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上,一旦跳到
点上就停止跳动.青蛙在6次之内(含6次)跳到
点有种不同跳法.
【例14】有6个木箱,编号为1,2,3,……,6,每个箱子有一把钥匙,6把钥匙各不相同,每个箱子放进一把钥匙锁好.先挖开1,2号箱子,可以取出钥匙去开箱子上的锁,如果最终能把6把锁都打开,则说这是一种放钥匙的“好”的方法,那么“好”的方法共有种.
【巩固】有10个木箱,编号为1,2,3,……,10,每个箱子有一把钥匙,10把钥匙各不相同,每个箱子放进一把钥匙锁好.先挖开1,2号箱子,可以取出钥匙去开箱子上的锁,如果最终能把10把锁都打开,则说这是一种放钥匙的“好”的方法,那么“好”的方法共有种.
一、现代文阅读
1.现代文阅读阅读议论文《精神拾荒三步曲》,回答下列小题。
①“学而不思则罔,思而不学则殆。
”这是孔子的名言。
意思是说:
只读书不思考后果是糊涂;只思考不读书,后果是危险。
②孔子当然不是无的放矢,“学而不思”和“思而不学”是好些聪明人也容易犯的毛病。
有一种人,读书很多,称得上博学,但始终没有真正属于自己的见解,还有一种人酷爱构筑体体系,发现新的真理,但拿出的结果往往并无价值,即使有价值也是前人已经说过而且说得更好的。
一个人真正好读书就必定是有所领悟,真正爱思考就必定想知道别人在他所思问题上的见解,学和思怎么能分开呢?
学和思是互相助兴的,读书引发思考,带着所思的问题读书,都是莫大的精神享受。
③如此看来,学和思不可偏废。
在这两者之外,我还要加上第三件也很重要的事——录。
常学常思,必有所得,但如果不及时录下来,便会流失,岂不可惜?
不但可惜,如果任其流失,还必定会挫伤思的兴趣。
席勒曾说,任何天才都不可能孤立地发展,外界的激励,如一本好书,一次谈话,会比多年独自耕耘更有力地促进思考。
托尔斯泰据此发挥说,思想在与人交往中产生,而它的加工和表达则是在一个人独处之时。
这话说得非常好,但我要做一点修正。
根据我的经验,思想的产生不仅需要交往亦即外界的激发,而且也需要思想者自身的体贴和鼓励。
如果没有独处中的用心加工和表达,不但已经产生的思想材料会流失,而且新的思想也会难以产生了。
黄山谷说,三日不读书,便觉得自己语言无味,面目可憎。
我的体会是,三天不动笔,就必定会思维迟钝,头脑发空。
④灵感是思想者的贵宾,当灵感来临的时候,思想者要懂得待之以礼。
写作便是迎接灵感的仪式。
当你对较差的思想也肯勤于记录的时候,较好的思想就会纷纷投奔你的笔记本了。
就像孟尝君收留了鸡鸣狗盗之徒,齐国的人才就云集到了他的门下。
⑤所以,不但学和思是互相助兴的,录也是助兴行列中的一个重要角色。
学而思,思而录,是愉快的精神拾荒之三步曲。
(1)本文的中心论点是( )
A. 学而不思则罔,思而不学则殆。
B. 学和思是互相助兴的,读书引发思考,带着所思的问题读书,都是莫大的精神享受。
C. 不但学和思是互相助兴的,录也是助兴行列中的一个重要角色。
D. 思想的产生不仅需要交往亦即外界的激发,而且也需要思想者自身的体贴和鼓励。
(2)对选文论证思路分析不正确的一项是( )
A. 第①②段先用孔子的名言引出话题,然后列出生活中好些聪明人也容易犯的毛病为例证,用以证明博学的人都是读书很多的。
B. 第③段开头“如此看来,学和思不可偏废”一句在文章中起承接上文的作用。
C. 第③④段是紧紧围绕“我还要加上第三件也很重要的事—录”这一观点展开论述的。
D. 第⑤段的作用在于:
画龙点睛,既总结全文,又照应题目,使文章结构显得十分紧凑。
(3)对文章理解、品析不正确的一项是( )
A. 第②段以“有一种人”“还有一种人”为例,从反面证明学和思是不能分开的。
B. 第③段中席勒与托尔斯泰都认为思想不能孤立地产生,需要与人交往等外界激励。
C. 第④段中“待之以礼”用得很生动,强调思想者在灵感面前,要显得有礼貌,有修养。
D. 第④段结尾以孟尝君为喻,证明“对较差的思想也肯勤于记录的时候,较好的思想就会纷纷投奔你的笔记本了”。
【答案】
(1)C
(2)A
(3)C
【解析】【分析】
(1)此题考查对中心论点的提取能力。
通读全文,梳理脉络,分清层次,综合考虑,提取要点,找到关键句即可。
文章在最后一个自然段,也就是第⑤自然段明确了中心论点“所以,不但学和思是互相助兴的,录也是助兴行列中的一个重要角色”。
所以答案是C项。
(2)此题考查论证思路。
A项对选文论证思路分析不正确。
列出生活中好些聪明人也容易犯的毛病为例证,应该是用以证明“学和思是互相助兴的”,“学和思不可偏废”。
(3)考查对重点词语的理解能力。
第④段中“待之以礼”用得很生动,强调的是思想者对灵感的重视。
不是强调“要显得有礼貌,有修养”。
故答案为:
(1)C;
(2)A;(3)C
【点评】在做找中心论点的题目时,要知道中心论点出现的位置,有时是文章题目,有时在文章的开头、中间或结尾。
如果文中没有适合作论点的句子,就要用自己的话概括。
而提取中心论点时还应注意:
要分清中心论点和分论点,分清论点和结论;概括时可适当借用文中词句,但一定要观照全文,不要断章取义;概括出来的论点要简洁利落,必须是完整而鲜明的肯定性论断的陈述句,有修辞手法的句子不能作为论点。
2.现代文阅读阅读下文,完成小题。
童年随之而去
木心
满船的人兴奋地等待解缆起篙,我忽然想着了睡狮庵中的一只碗!
那碗却有来历。
——我不愿吃斋,老法师特意赠我一只名窑的小盂,青蓝得十分可爱,盛来的饭,似乎变得可口了。
每次餐毕,我自去泉边洗净,藏好。
临走的那晚,我用棉纸包了,放在枕边。
不料清晨被催起后头昏昏地尽呆看众人忙碌,忘记将那碗放进箱笼里,索性忘了倒也是了,偏在这船要起篙的当儿,蓦地想起:
“碗!
”
“什么?
”母亲不知所云。
“那饭碗,越窑盌(注:
同“碗”)。
”
“你放在哪里?
”
“枕头边!
”
母亲素知凡是我想着什么东西,就忘不掉了,要使忘掉,唯一的办法是那东西到了我手上。
“回去可以买,同样的!
”
“买不到!
不会一样的。
”我似乎非常清楚那盌是独一无二。
“怎么办呢,再上去拿?
”母亲的意思是:
难道不开船,派人登山去庵中取——不可能,不必想那碗了。
我走过正待抽落的跳板,登岸,坐在系缆的树桩上,低头凝视河水。
满船的人先是愕然相顾,继而一片吱吱喳喳,可也无人上岸来劝我拉我,都知道只有母亲才能使我离开树桩。
母亲没有说什么,轻声吩咐一个船夫,那赤膊小伙子披上一件棉袄三脚两步飞过跳板,上山了。
杜鹃花,山里叫“映山红”,是红的多,也有白的,开得正盛。
摘一朵,吮吸,有蜜汁沁舌——我就这样动作着。
船里的吱吱喳喳渐息,人们各自找乐子,下棋、戏牌、嗑瓜子,有的开了和尚所赐的斋佛果盒,叫我回船去吃,我摇摇手。
这河滩有的是好玩的东西,五色小石卵,黛绿的螺蛳,青灰而透明的小虾……心里懊悔,我不知道上山下山要花这么长的时间。
鹧鸪在远处一声声叫。
夜里下过雨。
是那年轻的船夫的嗓音——来啰……来啰……可是不见人影。
他走的是另一条小径,两手空空地奔近来,我感到不祥——碗没了!
找不到,或是打破了。
他憨笑着伸手入怀,从斜搭而系腰带的棉袄里,掏出那只盌,棉纸湿了破了,他脸上倒没有汗——我双手接过,谢了他。
捧着,走过跳板。
一阵摇晃,渐闻橹声欸乃,碧波像大匹软缎,荡漾舒展,船头的水声,船梢摇橹者的断续语声,显得异样地宁适。
我不愿进舱去,独自靠前舷而坐。
夜间是下过大雨,还听到雷声。
两岸山色苍翠,水里的倒影鲜活袅娜,迎面的风又暖又凉,母亲为什么不来。
河面渐宽,山也平下来了,我想把碗洗一洗。
人多,船身吃水深,俯舷即就水面,用碗舀了河水顺手泼去,阳光照得水沫晶亮如珠……我站起来,可以泼得远些——一脱手,碗飞掉了!
那碗在急旋中平平着水,像一片断梗的小荷叶,浮着,氽(注:
方言,漂浮的意思)着,向船后渐远渐远……
我望着望不见的东西——醒不过来了。
母亲出舱来