新课标全国卷3高考理科数学试题及答案.docx
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新课标全国卷3高考理科数学试题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标山)
理科数学
注意事项:
1•答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2•回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3•考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=《X,y)|x2y2=1,B=f(x,y)|y=x?
,则ab中元素的个数为
A.3B.2C.1D.0
2.设复数z满足(1+i)z=2i,则IzI=
1&-
A.-B.C.、2D.2
22
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至
2016年12月期间月接待游客量(单位:
万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
4.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为
A.-80
B.
-40
C.40
D.80
5.已知双曲线
22
c:
xy
C:
2.2
ab
=1
(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
、5
y-x,且与椭圆
2
22
Fir1有公共焦点,则C的方程为
22
xy’
D.1
幵始
43
C.3D.2
9.等差数列的首项为
1,公差不为
0.若a2,a3,a6成等比数列,则
⑴貯前6项的和
体积为
B.-3
A.-24
22
Xy
10.已知椭圆C:
r2=1,(a>b>o)的左、右顶点分别为Al,A2,且以线段A1A2为
ab
直径的圆与直线bx-ay2ab=0相切,则C的离心率为
AB+」AD的最大值为
A.3B.22C.,5D.2
、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
14.设等比数列{aj满足a1+a2=-,a1-a3=-,贝Ua4=
x亠1,x_0,匚一一1
15•设函数f(x)=§x则满足f(x)+f(x—丄):
>1的x的取值范围是。
2,XA0,2
16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,
b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
1当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
2当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
3直线AB与a所成角的最小值为45°°
4直线AB与a所成角的最小值为60°°
其中正确的是。
(填写所有正确结论的编号)
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+、、3cosA=0,a=2;7,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD_AC,求AABD的面积.
18.(12分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,
未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
C)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最
高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:
瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的
进货量n(单位:
瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
19.(12分)
如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,/ABD=/CBD,
AB=BD.
(1)证明:
平面ACD丄平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-\E-C的余弦值.
20.(12分)
已知抛物线C:
f=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:
坐标原点0在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线I与圆M的方程.
21.(12分)
已知函数f(x)=x-1-alnx.
(1)若f(x)-°,求a的值;
111
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+丄)(1+-2)(1+丄)2222n
值.
(二)选考题:
共1°分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
-题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](1°分)
x=2+1
在直角坐标系xOy中,直线I1的参数方程为'(t为参数),直线l2的参数方程
7=kt,
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:
pcos^+sin0)-2=0,
M为13与C的交点,求M的极径.
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=|x+1|-^-2|
(1)求不等式f(x)的解集;
(2)若不等式f(x)汰2—+m的解集非空,求m的取值范围.
绝密★启用前
一、选择题
1.B2.C3.A
7.D8.B9.A
二、填空题
13.-114.-8
三、解答题
17.解:
(1)由已知得
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题正式答案
4.C5.B6.D
10.A11.C12.A
15.(--,二)16.②③
tanA=--3,所以A=―
在△ABC中,由余弦定理得
28=4c^4ccos—,即c2+2c-24=0
3
JI
解得c=-6(舍去),c=4
(2)有题设可得.CAD=,所以.BAD=/BAC一.CAD
26
1-
2ABADSin6
26=i
故厶ABD面积与△ACC面积的比值为1一
1ACAD
1一一
又厶ABC的面积为242sin•BAC二2、、3,所以.'ABD的面积为3.
18.解:
(1)由题意知,X所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知
2+16
PX=2000.2
90
36
PX=3000.4
'‘90
』、25+7+4
P(X=500)==0.4
‘90
因此x的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
⑵由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200当300若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间12。
,,25),则Y=6X300+2(n-300)-4n=1200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6X200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2nX0.4+(1200-2n)x0.4+(800-2n)X0.2=640-0.4n
当200wn:
:
:
300时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6X200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2nX(0.4+0.4)+(800-2n)X0.2=160+1.2n
所以n=300时,丫的数学期望达到最大值,最大值为520元。
19.解:
(1)由题设可得,.AB^.CBD,从而AD=DC
又.ACD是直角三角形,所以.ACD=900
取AC的中点0,连接DO,B0则DQLAC,DO=AO
又由于JABC是正三角形,故B0_AC
所以.DOB为二面角D_AC_B的平面角
在Rt.AOB中,BO2AO2=AB2
又AB=BD,所以
BO2DO2=BO2AO2=AB2=BD2,故.DOB=90
所以平面ACD_平面ABC
(2)
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系o_xyz,则
A1,0,0),B(0,巫0),CM,0,0),D(0,0,,)
由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的-,从而E到平面ABC的距离
2
设n=x,y,z是平面DAE的法向量,则
则cosn,m—nLm=2
nlm
所以二面角D-AE-C的余弦值为
20•解
(〔)设Axi,yi,BX2,y2,l:
x=my2
x=my22…
由2可得y-2my_4=0,则y"=-4
y=2x
当m=—1时,直线I的方程为2x+y—4=0,圆心m的坐标为
2142丿
,圆m的半径为
所以OA丄OB
故坐标原点O在圆M上.
2
(2)由
(1)可得%+y2=2m,x1+x2=m%+y2+4=2m4
即X1X2-4X1+X2y』22%y220=0
由
(1)可得wy2=-4,X1X2=4,
21
所以2m-m-1=0,解得m=1或m=-一
2
当m=1时,直线I的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M
2<2
的方程为x-3y-1=10
22
厂“、工口、「f9)(185
圆M的方程为ix+iy+
I4丿C2丿16
21.解:
(1)fX的定义域为0,+:
:
.
①若aW0,因为f=-!
+aln2v0,所以不满足题意;
I2丿2
f'xV0;当xa,+:
:
时,
ax—a
②若a>0,由f'x=1知,当x“0,a时,
xx
f'x>0,所以fx在0,a单调递减,在a,+:
:
单调递增,故x=a是fx在x三[0,+:
:
的唯一最小值点
由于f1=0,所以当且仅当a=1时,fx_0.
故a=1
(2)由
(1)知当x三门,+二时,x-1—Inx>0
令x=1+丄得In1+4?
V4?
,从而
2n(2n丿2n
CnIn11++ln|1+p++|n|1+-n<+右++—n=j—;<1
(2丿(22丿I2n丿2222n2n
故1+1i1+:
M+丄2222n
f1Y1Y1)
而1+—1+p1+飞>2,所以m的最小值为3.
22223
22•解:
(1)消去参数t得11的普通方程h:
y二kX-2;消去参数m得I?
的普通方程
1
l2:
y=2
y=k(x-2)
设P(x,y),由题设得1,消去k得x2-y2=4y=0.
|y=「(x+2)
Lk
所以C的普通方程为x2-y2=4y=0
(2)C的极坐标方程为r2cos2q_sin2q=4Ovq<2)q.-p
'22.2
r(cosq-sinq)=4
联立_得coq-sinq=2cosq+sinq.
rcosq+sinq-2=0
故tanq
1,从而cosq=—,sin2q=—
31010
代入r2cos^q-sin^=4得r2=5,所以交点M的极径为5
23•解:
[-3,
x<-1
(1)
fxi=:
2xj
一处X^2
3,
x>2
当x<
-1时,fx_1无解;
当一1乞x^2时,由fx_1得,2x—1_1,解得1乞x乞2
当x>2时,由fx_1解得x>2.
所以f(x)王1的解集为{xx剖}.
22
(2)由f(x)^x—x+m得m兰x+1—x—2—x+x,而
x+1-x-2-x2+x兰x+1+x-2-x2+x
<5
4
且当x=3时,x+1_x_2_x2+x=5.
24
故m的取值范围为,5
I4J