分式不等式放缩裂项证明.docx

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分式不等式放缩裂项证明

放缩法的常见技巧

（1）舍掉（或加进）一些项

（2）在分式中放大或缩小分子或分母。

（3）应用基本不等式放缩（例如均值不等式）。

（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。

（6）构造等比数列进行放缩。

（7）构造裂项条件进行放缩。

（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。

使用放缩法的注意事项

（1）放缩的方向要一致。

（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。

（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。

所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

先介绍工具

柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积）

均值不等式

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

绝对值三角不等式

定理1：

|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 

推论1：

|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 

此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|．

推论2：

|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 

定理2：

如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当（a－b）（b－c）≥0时，等号成立．

常用放缩思想

这几个务必牢记

不常见不常用的不等式

这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂项部分

二项平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……（anx-bn）^2

由f（x）≥0可得△小于等于0

1.分式不等式中的典范，典范中的典范，放缩、裂项、去等，步步精彩

解析：

步步经典，用笔化化就能明白思想，换元或许更直观，即令t=1/（x+2）

第一步意义--开不了方的，开方，并且可取等号

第二步意义--开不了方的，开方，裂项，并且可取等号

个人认为这俩个放缩，很犀利，没见过，看似难实则简单，看似简单实则难

2.构造+三角形★★★★

平面内三点A、B、C，连接三点，令AB=c，AC=b，BC=a，求

解析：

构造，主要就是构造，b/c就是很明显的提示。

三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

构造★★★★

为了方便观察，没有采用换元，直接写更清楚，这题应该是一直在向目标上凑得题目了

3.反证法典例★★

解析：

4.柯西不等式典例★★★

有些方法就是那么气人，神奇的气人

或者用三角函数也可以不过要用到三角恒等式：

令x+2y+3z=t则（t-3z）^2／√5≤√（5-z^2）

即14z^2-6tz+t^2-25≤0△=-20t^2+1400≤0

所以tmax=√70

5.