华师大版初中数学八年级下册《1922 菱形的判定》同步练习卷.docx
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华师大版初中数学八年级下册《1922菱形的判定》同步练习卷
华师大新版八年级下学期《19.2.2菱形的判定》2019年同步练习卷
一.选择题(共10小题)
1.如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分为四边形ABCD,若测得A,C之间的距离为12cm,点B,D之间的距离为16m,则线段AB的长为( )
A.9.6cmB.10cmC.20cmD.12cm
2.如图,△ABC中,点P是AB边上的一点,过点P作PD∥BC,PE∥AC,分别交AC,BC于点D,E,连按CP.若四边形CDPE是菱形,则线段CP应满足的条件是( )
A.CP平分∠ACBB.CP⊥AB
C.CP是AB边上的中线D.CP=AP
3.下列说法中,错误的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.菱形的对角线互相垂直
D.平行四边形的对角线互相平分
4.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,且AD交EF于点O,则∠AOF为( )
A.60°B.90°C.100°D.110°
5.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件能使四边形DBCE成为菱形的是( )
A.AB=BEB.AB⊥BEC.∠ADB=90°D.CE⊥DE
6.如图,要使平行四边形ABCD成为菱形,需添加的条件是( )
A.AC=BCB.AC=BDC.∠ABC=90°D.∠1=∠2
7.如图,由两个长为9,宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD,则四边形ABCD面积的最大值是( )
A.15B.16C.19D.20
8.如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,以A为圆心,AB长为半径画弧交AD于F,若BF=12,AB=10,则AE的长为( )
A.16B.15C.14D.13
9.如图,添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是( )
A.AB=BCB.AC⊥BDC.∠ABC=90°D.∠1=∠2
10.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA.
下列四种说法:
①四边形AEDF是平行四边形;
②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;
③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;
④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.
其中,正确的有( )个.
A.1B.2C.3D.4
二.填空题(共11小题)
11.如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合部分构成了一个四边形ABCD,当线段AD=5时,线段BC的长为 .
12.如图,已知∠A,以点A为圆心,恰当长为半径画弧,分别交AE,AF于点B,D,继续分别以点B,D为圆心,线段AB长为半径画弧交于点C,连接BC,CD,则所四得边形ABCD为菱形,判定依据是:
.
13.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.且AD交EF于O,则∠AOF= 度.
14.如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为斜边AB上一点,以CD、CB为边作平行四边形CDEB,当AD= ,平行四边形CDEB为菱形.
15.如图,在▱ABCD中,AB=5,AC=6,当BD= 时,四边形ABCD是菱形.
16.在▱ABCD中,AB=5,AC=6,当BD= 时,四边形ABCD是菱形.
17.如果把两张等宽的纸条交叉叠放在一起,那么重叠部分的四边形是 .(填特殊的四边形)
18.在矩形ABCD中,AB=1,BG、DH分别平分∠ABC、∠ADC,交AD、BC于点G、H.要使四边形BHDG为菱形,则AD的长为 .
19.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是 .
20.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC与BD互相垂直且平分,BD=6,AC=8,则四边形周长为 ,面积为 .
21.如图,在▱ABCD中,AC平分∠DAB,AB=7,则▱ABCD的周长为 .
三.解答题(共10小题)
22.如图,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.
(1)求证:
四边形BEDF为菱形;
(2)如果∠A=90°,∠C=30°,BD=6,求菱形BEDF的面积.
23.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.
(1)求证:
CE=AD;
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?
说明你的理由.
24.已知,如图,在平行四边形ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点F,AE⊥BF于点O,交BC于点E,连接EF.
(1)求证:
四边形ABEF是菱形;
(2)若AE=10,BF=24,CE=7,求四边形ABCD的面积.
25.如图,在等边△ABC中,BC=8cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时,求证:
△ADE≌△CDF;
(2)填空:
①当t为 s时,以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形;
②当t为 s时,四边形ACFE是菱形.
26.已知:
如图,AF∥DE,AC平分∠BAD交DE于点C,DB平分∠ADC交AF于点B,连接BC.求证:
四边形ABCD是菱形
27.如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线.AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G.求证:
四边形ACGF是菱形.
28.如图,▱ABCD中,AC为对角线,EF⊥AC于点O,交AD于点E,交BC于点F,连结AF、CE.请你探究当O点满足什么条件时,四边形AFCE是菱形,并说明理由.
29.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,点E,F分别在AD及其延长线上,且CE∥BF,连接BE,CF.
(1)求证:
四边形EBFC是菱形;
(2)若BD=4,BE=5,求四边形EBFC的面积.
30.如图,E、F分别为△ABC的边BC、AB的中点,延长EF至点D,使得DF=EF,连接DA、DB、AE.
(1)求证:
四边形ACED是平行四边形;
(2)若AB⊥AC,求证:
四边形AEBD是菱形.
31.如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时,试判定四边形AFCE的形状并说明理由;
(2)当t为多少时,四边形ACFE是菱形.
华师大新版八年级下学期《19.2.2菱形的判定》2019年同步练习卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分为四边形ABCD,若测得A,C之间的距离为12cm,点B,D之间的距离为16m,则线段AB的长为( )
A.9.6cmB.10cmC.20cmD.12cm
【分析】作AR⊥BC于R,AS⊥CD于S,根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形,再由AR=AS推出BC=CD得平行四边形ABCD是菱形,再根据根据勾股定理求出AB即可.
【解答】解:
作AR⊥BC于R,AS⊥CD于S,连接AC、BD交于点O.
由题意知:
AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵两个矩形等宽,
∴AR=AS,
∵AR•BC=AS•CD,
∴BC=CD,
∴平行四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
在Rt△AOB中,∵OA=
AC=6cm,OB=
BD=8cm,
∴AB=
=10(cm),
故选:
B.
【点评】本题主要考查菱形的判定和性质,证得四边形ABCD是菱形是解题的关键.
2.如图,△ABC中,点P是AB边上的一点,过点P作PD∥BC,PE∥AC,分别交AC,BC于点D,E,连按CP.若四边形CDPE是菱形,则线段CP应满足的条件是( )
A.CP平分∠ACBB.CP⊥AB
C.CP是AB边上的中线D.CP=AP
【分析】根据菱形的性质解答即可.
【解答】解:
∵四边形CDPE是菱形,
∴∠DCP=∠ECP,
∴CP平分∠ACB,
故选:
A.
【点评】此题考查菱形的性质,关键是根据菱形的性质解答.
3.下列说法中,错误的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.菱形的对角线互相垂直
D.平行四边形的对角线互相平分
【分析】根据平行四边形、菱形的判定和性质一一判断即可;
【解答】解:
A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,本选项符合题意;
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确,本选项不符合题意;
C、菱形的对角线互相垂直,正确,本选项不符合题意;
D、平行四边形的对角线互相平分,正确,本选项不符合题意;
故选:
A.
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
4.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,且AD交EF于点O,则∠AOF为( )
A.60°B.90°C.100°D.110°
【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形,再根据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1=∠3,故可得出▱AEDF为菱形,根据菱形的性质即可得出结论.
【解答】解:
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF为平行四边形,
∴OA=OD,OE=OF,∠2=∠3,
∵AD是△ABC的角平分线,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴AE=DE.
∴▱AEDF为菱形.
∴AD⊥EF,即∠AOF=90°.
故选:
B.
【点评】本题考查的是菱形的判定与性质,根据题意判断出四边形AEDF是菱形是解答此题的关键.
5.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件能使四边形DBCE成为菱形的是( )
A.AB=BEB.AB⊥BEC.∠ADB=90°D.CE⊥DE
【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可;
【解答】解:
添加AB⊥BE能使四边形ACDE成为菱形,
理由:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,AB∥CD
∵AD=DE,
∴DE=BC,DE∥BC
∴四边形DBCE是平行四边形,
∵AB⊥BE,AB∥CD
∴BE⊥CD,
∴平行四边形DBCE是菱形.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定,正确掌握平行四边形的判定与性质是解题关键.
6.如图,要使平行四边形ABCD成为菱形,需添加的条件是( )
A.AC=BCB.AC=BDC.∠ABC=90°D.∠1=∠2
【分析】根据菱形的判定方法得出D正确,A、B、C不正确;即可得出结果.
【解答】解:
A、∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BB,
∴无法判定四边形ABCD是菱形,故本选项错误;
B、∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形,故本选项错误;
C、∵四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形,故本选项错误;
D、∵四边形ABCD是平行四边形,∠1=∠2,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠2=∠1,
∴AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形,故本选项正确;
故选:
D.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,菱形的判定方法;注意:
菱形的判定定理有:
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形,②四条边都相等的四边形是菱形,③对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
7.如图,由两个长为9,宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD,则四边形ABCD面积的最大值是( )
A.15B.16C.19D.20
【分析】首先根据图1,证明四边形ABCD是菱形;然后判断出菱形的一条对角线为矩形的对角线时,四边形ABCD的面积最大,设AB=BC=x,则BE=9﹣x,利用勾股定理求出x的值,即可求出四边形ABCD面积的最大值是多少.
【解答】解:
如图1,作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,
,
∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵两个矩形的宽都是3,
∴AE=AF=3,
∵S四边形ABCD=AE•BC=AF•CD,
∴BC=CD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
如图2,
,
设AB=BC=x,则BE=9﹣x,
∵BC2=BE2+CE2,
∴x2=(9﹣x)2+32,
解得x=5,
∴四边形ABCD面积的最大值是:
5×3=15.
故选:
A.
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质,矩形的性质和应用,以及勾股定理的应用,要熟练掌握.
8.如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,以A为圆心,AB长为半径画弧交AD于F,若BF=12,AB=10,则AE的长为( )
A.16B.15C.14D.13
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形,得出AE⊥BF,OB=OF=6,OA=OE,利用勾股定理计算出AO,从而得到AE的长.
【解答】解:
连结EF,AE与BF交于点O,如图,
∵AO平分∠BAD,
∴∠1=∠2,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AF∥BE,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴AB=EB,
同理:
AF=BE,
又∵AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∴四边形ABEF是菱形,
∴AE⊥BF,OB=OF=6,OA=OE,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:
OA=
=
=8,
∴AE=2OA=16.
故选:
A.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理;熟练掌握平行四边形的性质,证明四边形ABEF为菱形是解决问题的关键.
9.如图,添加下列条件仍然不能使▱ABCD成为菱形的是( )
A.AB=BCB.AC⊥BDC.∠ABC=90°D.∠1=∠2
【分析】根据菱形的性质逐个进行证明,再进行判断即可.
【解答】解:
A、∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形,故本选项错误;
B、∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是菱形,故本选项错误;
C、∵四边形ABCD是平行四边形和∠ABC=90°不能推出,平行四边形ABCD是菱形,故本选项正确;
D、∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠2=∠ADB,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠ADB,
∴AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形,故本选项错误;
故选:
C.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,菱形的判定的应用,注意:
菱形的判定定理有:
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形,②四条边都相等的四边形是菱形,③对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
10.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA.
下列四种说法:
①四边形AEDF是平行四边形;
②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;
③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;
④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.
其中,正确的有( )个.
A.1B.2C.3D.4
【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形,根据DE∥CA,DF∥BA,得出AEDF为平行四边形,得出①正确;当∠BAC=90°,根据推出的平行四边形AEDF,利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确;若AD平分∠BAC,得到一对角相等,再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等,等量代换可得∠EAD=∠EDA,利用等角对等边可得一组邻边相等,根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确;由AB=AC,AD⊥BC,根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC,同理可得四边形AEDF是菱形,④正确,进而得到正确说法的个数.
【解答】解:
∵DE∥CA,DF∥BA,
∴四边形AEDF是平行四边形,选项①正确;
若∠BAC=90°,
∴平行四边形AEDF为矩形,选项②正确;
若AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD,
又DE∥CA,∴∠EDA=∠FAD,
∴∠EAD=∠EDA,
∴AE=DE,
∴平行四边形AEDF为菱形,选项③正确;
若AB=AC,AD⊥BC,
∴AD平分∠BAC,
同理可得平行四边形AEDF为菱形,选项④正确,
则其中正确的个数有4个.
故选:
D.
【点评】此题考查了平行四边形的定义,菱形、矩形的判定,涉及的知识有:
平行线的性质,角平分线的定义,以及等腰三角形的判定与性质,熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键.
二.填空题(共11小题)
11.如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合部分构成了一个四边形ABCD,当线段AD=5时,线段BC的长为 5 .
【分析】由条件可知AB∥CD,AD∥BC,可证明四边形ABCD为平行四边形,可得到AD=BC.
【解答】解:
由条件可知AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴BC=AD=5.
故答案为:
5.
【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质,掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键,即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形,②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形,③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形,④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形,⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形.
12.如图,已知∠A,以点A为圆心,恰当长为半径画弧,分别交AE,AF于点B,D,继续分别以点B,D为圆心,线段AB长为半径画弧交于点C,连接BC,CD,则所四得边形ABCD为菱形,判定依据是:
四条边相等的四边形是菱形 .
【分析】根据四条边相等的四边形是菱形即可求解.
【解答】解:
∵已知∠A,以点A为圆心,恰当长为半径画弧,分别交AE,AF于点B,D,
∴AB=AD,
∵分别以点B,D为圆心,线段AB长为半径画弧交于点C,
∴BC=CD=AB,
∴AB=AD=BC=CD,
∴所得四边形ABCD为菱形,判定依据是:
四条边相等的四边形是菱形.
故答案为:
四条边相等的四边形是菱形.
【点评】考查了菱形的判定与性质,关键是根据题意得到AB=AD=BC=CD.
13.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.且AD交EF于O,则∠AOF= 90 度.
【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形,再根据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1=∠3,故可得出▱AEDF为菱形,根据菱形的性质即可得出结论.
【解答】证明:
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF为平行四边形,
∴OA=OD,OE=OF,∠2=∠3,
∵AD是△ABC的角平分线,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴AE=DE.
∴▱AEDF为菱形.
∴AD⊥EF,即∠AOF=90°.
故答案为:
90.
【点评】本题考查的是菱形的判定与性质,根据题意判断出四边形AEDF是菱形是解答此题的关键.
14.如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为斜边AB上一点,以CD、CB为边作平行四边形CDEB,当AD=
,平行四边形CDEB为菱形.
【分析】首先根据勾股定理求得AB=5;然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB,CD=CB;最后Rt△BOC中,根据勾股定理得,OB的值,则AD=AB﹣2OB.
【解答】解:
如图,连接CE交AB于点O.
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=
=5(勾股定理).
若平行四边形CDEB为菱形时,CE⊥BD,且OD=OB,CD=CB.
∵
AB•OC=
AC•BC,
∴OC=
.
∴在Rt△BOC中,根据勾股定理得,OB=
=
=
,
∴AD=AB﹣2OB=
.
故答案是:
.
【点评】本题考查了菱形的判定与性质.菱形的对角线互相垂直平分.
15.如图,在▱ABCD中,AB=5,AC=6,当BD= 8 时,四边形ABCD是菱形.
【分析】当四边形ABCD为菱形时,则有AC⊥BD,设AC、BD交于点O,结合平行四边形的性质可得AO=3,AB=5,利用勾股定理可求得BO,则可求得BD的长.
【解答】解:
如图,设AC、BD交于点O,
当四边形ABCD为菱形时,则AC⊥BD,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=
AC=3,且AB=5,
∴在Rt△AOB中,由勾股定理可求得BO=4,
∴BD=2BO=8,
故答案为:
8.
【点评】本题主要考查菱形的性质,掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键.
16.在▱ABCD中,AB=5,AC=6,当BD= 8 时,四边形ABCD是菱形.
【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分,可根据勾股定理求.
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC、BD互相垂直平分,
∵AC=6,
∴OA=
AC=3,
∴OB=
=
=4,
∴BD=2OB=8.
故答案是:
8.
【点评】本题考查了菱形的判定.对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)以及勾股定理的逆定理运用.
17.如果把两张等宽的纸条交叉叠放在一起,那么重叠部分的四边形是 菱形 .(填特殊的四边形)
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条纸条宽度相同;再由平行四边形的面积可得邻边相等,则重叠部分为菱形.
【解答】解:
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,
∵两条纸条宽度相同,
∴AE=AF.
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF.
又∵AE=AF.
∴BC=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
故答案为:
菱形.
【点评】本题考查了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形;熟练掌握平行四边形和菱形的判定是关键.
18.在矩形ABCD中,AB=1,BG、DH分别平分∠ABC、∠ADC,交AD、BC于点G、H.要使四边形BHDG为菱形,则AD的长为 1+
.
【分析】根据勾股定理求得BG的长度,结合菱形的邻边相等得到BG=GD,由此求得AD=AG+GD.
【解答】解:
如图,∵在矩形ABCD中,BG平分∠ABC,
∴∠A=90°,∠ABG=45°,
∴∠AGB=∠ABG=45°,
∴AB=AG.
又∵AB=1,
∴BG=
.
又∵四边形BHDG为菱形,
∴BG=GD=
.
∴AD=AG+GD=1+
.
故答案是:
1+
.
【点评】此题主要考