哈工大概率论与数理统计课后习题答案三.docx
《哈工大概率论与数理统计课后习题答案三.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《哈工大概率论与数理统计课后习题答案三.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
哈工大概率论与数理统计课后习题答案三
习题三
1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p（0p1），若以X表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X的分布列。
解（Xk）表示事件：
前k1次出现正面，第k次出现反面，或前k1次出现反面，第k次出现正面，所以
P（Xk）pk1（1p）（1p）k1p,
数X的分布列。
rk解从ab个球中任取r个球共有Cab种取法，r个球中有个黑球的取
krk法有CbCa，所以X的分布列为
rkCbkCaP（Xk），kmax（0,ra）,max（0,ra）1,,min（b,r），rCabk2,3,.2．袋中有b个黑球a个白球，从袋中任意取出r个球，求r个球中黑球个
此乃因为，如果ra，则r个球中可以全是白球，没有黑球，即k0；如果ra则r个球中至少有ra个黑球，此时k应从ra开始。
3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i个零件是不合格品的概率pi
列。
解设Ai‘第i个零件是合格品’i1,2,3。
则1（i1,2,3），以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布i1
1111，23424
P（X1）P（A1231A2312A3）P（X0）P（123）
P（A123）P（1A23）P（12A3）
1111211136，23423423424
P（X2）P（A1A23A12A31A2A3）
P（A1A23）P（A12A3）P（1A2A3）
12111312311，23423423424
1236P（X3）P（A1A2A3）.23424
即X的分布列为
·19·
X
P01
2416242112436.24
4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为
分布。
解P（X0）P（第一个路口即为红灯）1，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率21,2
111，224P（X1）P（第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯）
依此类推，得X的分布列为
3
1.P8
5．将一枚硬币连掷n次，以X表示这n次中出现正面的次数，求X的分布列。
解X为n重贝努里试验中成功出现的次数，故X~B（n,
列为
k1P（Xk）Cnn,k0,1,2nX0121142181），X的分布2
6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求
（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；
（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。
解设X为每分钟接到的呼叫次数，则X~P（4）
48
44k
44k
4
（1）P（X8）e0.29778!
k8k!
kqk!
4k
4
（2）P（X10）e0.00284.
k11k!
7．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。
解设X为该商品的销售量，N为库存量，由题意
·20·
5k
50.99977P（XN）1P（XN）1P（XK）1
KN1KN1k!
即
5K
53e0.0002
KN1k!
查泊松分布表知N115，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。
8．已知离散型随机变量X的分布列为：
P（X1）0.2,P（X2）0.3，P（X3）0.5，试写出X的分布函数。
解X的分布列为
X
P1230.20.30.5所以X的分布函数为
0,x1,0.2,1x2,F（x）
0.5,2x3,
1,x3.
9．设随机变量X的概率密度为
csinx,0x,f（x）0,其他.
求：
（1）常数C；
（2）使P（Xa）P（Xa）成立的a.
解
（1）1
f（x）dxcsinxdxccosx02c，c01；2
1111sinxdxcosxcosa，a2a222
a1111aP（Xa）sinxdxcosxcosa,020222
（2）P（Xa）
可见cosa0，a
2。
10．设随机变量X的分布函数为
F（x）ABarctanx，x，
求：
（1）系数A与B；
（2）P（1X1）；（3）X的概率密度。
解
（1）由分布函数的性质
·21·
0F（）AB21F（）AB2
11于是A，B，所以X的分布函数为2
11F（x）arctanx，x2
11111
（2）P（1X1）F
（1）F
（1）（）；24242
（3）X的概率密度为
1，.f（x）F（x）x（1x2）
11．已知随机变量X的概率密度为
1f（x）e|x|，x.2
求X的分布函数.
解
F（x）x
1xuedu,x0,2f（u）du01x1exdxeudu,x0,022
1xe,x0,2
11ex,x0.2
12．设随机变量X的概率密度为
x,0x1,f（x）2x,1x2,
0,其他.
求X的分布函数.
解f（x）的图形为X的分布函数为
F（x）
·22·xf（u）du
x0,0,xudu,0x1,0
1xxdx（2u）du,1x2,10
x2.1,
x0,0,2x,0x1,22x2x1,1x2,2x2.1,
13．设电子管寿命X的概率密度为
1002,x100,f（x）x
0,x100.
若一架收音机上装有三个这种管子，求
（1）使用的最初150小时Y为在使用的最初150小时pP（X150）1001，dx100x23150
121
（1）所求概率为P（Y2）P（Y2）P（Y3）C333
7；272323
12
（2）Y的分布列为P（Yk）C33k
3k3k，k0,1,2,3,
即
Y
P08
2711227262731.27
（3）Y的分布函数为
·23·
0,8,2720F（x）,
27
2627,
1,x0,0x11x2,2x3,x3.
14．设随机变量X的概率密度为
f（x）2x,0x1,0,其他.
现对X进行n次独立重复观测，以Vn表示观测值不大于0.1的观测次数，试求随机变量Vn的概率分布。
解Vn~B（n,p，其中）
pP（X0.1）
所以Vn的概率分布列为
knkP（Vnk）Cn（0.0k1）（0.99）k,
20.102xdx0.01，.,1n015．设随机变量X~U[1,6]，求方程xXx10有实根的概率.
解设A‘方程有实根’，则
2|2A发生X40即|X，因X~U[1,6]，所以
A发生X2,
所以
6240.8.615
16．设随机变量X~U[2,5]，现对X进行3次独立观测，试求至少有两次P（A）P（X2）观测值大于3的概率.
解设Y为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则Y~B（3,p），其中pP（X3）
所求概率为532，523
2321220.P（Y2）P（Y2）P（Y3）C3233327
·24·
17．设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（单位：
分），服从参数为1的5指数分布。
若等待时间超过10分钟，则他就离开。
设他一个月由题意Y~B（5,p），其中
pP（X10）
于是Y的分布为
kP（Yk）C5（e2）k（1e2）5kxx15edxe5e2，51010k0,1,2,3,4,5,
P（Y1）1P（Y0）1（1e2）50.5167.
18．一大型设备在任何长为t的时间
（1）设T的分布函数为FT（t），则
FT（t）P（Tt）1P（Tt）
事件（Tt）表示两次故障的间隔时间超过t，也就是说在时间tFT（t）0,t0.
即T服从参数为的指数分布。
（2）所求概率为
P{T16,T8}P（T16）e16
P（T16|T8）8e8.P（T8）P（8）e
19．设随机变量X~N（108,3）。
求
（1）P（101.1X117.6）；
（2）常数a，使P（Xa）0.90；
（3）常数a，使P（|Xa|a）0.01。
2
117.6108101.1108）（）33
（32）（23）（32）（23）1解
（1）P（101.1X117.6）（
·25·
0.99930.989310.9886；
（2）0.90P（Xa）（
a108），查表知3a1081.28，所以a111.84；3
（3）0.01P（|Xa|a）1P（|Xa|a）1P（0X2a）
2a108）,1（3
所以
（2a108）0.99，3
查正态分布表知
2a1082.33，3
故a57.495。
20．设随机变量X~N（2,2），且P（2X4）0.3，求P（X0）。
42）（0），解0.3P（2X4）（
所以（2
）0.，8
P（X0）（02
）（2
2）1（）0.2。
21．某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。
3PX（解0.02
（
所求概率为96）1967224）（）24）0.977,242,121.
72）12（）12X84）P（608472）60（）
2（12
）120.841310.6826.
222．假设测量的随机误差X~N（0,10），试求在100次重复测量中，至少
有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出的近似值。
·26·
解设Y为误差的绝对值大于19.6的测量次数，则Y~B（100,p），其中
（|X|19.6）1P（19.X6pP
）22（1.96
所求概率为19.6）1（1.96）220.975，
100kP（Y3）C100（0.05）k（0.95）100k,
k3
利用泊松定理
5k
5e0.875.
k3k!
100
23．在电源电压不超过200V，在200240V和超过240V三种情况下，某种电子元件，损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X服从正态分布N（220,25），试求：
（1）该电子元件损坏的概率；
（2）该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率。
解设A‘电子元件损坏’，Bi‘电源电压在第i档’，i1,2,3，则
（1）P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（B3）P（A|B3）P（X200）0.1P（200X240）0.001P（X240）0.22
200220240220200220）0.1[（）（）]0.001252525
240220）]0.2[1（25
20202020（）0.1[（）（）]0.001[（1（）]0.225252525
（10.7881）0.1（20.78811）0.001（10.7881）0.2（0.0641
P（B2）P（A|B2）0.0057560.0898.0.06410.0641
1124．假设随机变量X的绝对值不大于1；P（X1）,P（X1），84
在事件{1X1}出现的条件下，X在（1,1）
（2）P（B2|A）该子区间的长度成正比。
试求：
（1）X的分布函数；
（2）X取负值的概率P.解1设X的分布函数为F（x），则
当x1时，F（x）0，且F
（1）
当x1时，F（x）1，
1，8·27·
P（1X1）1
当1x1时，由题意115，848
P{1Xx|1X1}k（x1），
而
1P{1X1|1X1}2k，
所以k1。
于是2
x1,2P{1Xx|1X1}
此时
F（x）P{1Xx}F
（1）
P{1Xx,1X1}18
18P{1X1}P（1Xx|1X1}
5x115x7，82816
故X的分布函数为
0,x1,5x7F（x）,1x1,
16
1,x1.
（2）P（X0）F（0）P（X0）
解2设X的分布函数为F（x），则
当x1时，F（x）0且F
（1）
当x1时，F（x）1，
当1x1时，设x,xx（1,1），且x0，由题意P（xXxx|1X1）kx，
即
由此得
·28·7.1618P（xXxx,1X1）kx,P（1X1）
P（xXxx）5
8kx，
两边同除以x得
F（xx）F（x）
x5
8k,
令x0取极限得
F（x）5
8k,
两边积分得
F（x）5
8kxC，由F
（1）13
8及xlim10F（x）4得
15kC
88
3
45
8kC
解之得C7
16,k1
2故
F（x）5x
167
165x7
16，1x1
综上所述，X的分布函数为
0,x1,
F（x）5x7
16,1x1,
1,x1.
（2）P（X0）F（0）P（X0）7
16.
25．已知离散型随机变量X的分布列为
X21013
P111111
5651530
求YX2的分布列.
29··
解
Y的分布列为
1P51730
26．设随机变量XY415911.30的概率密度为
ex,x0,fX（x）
0,x0.
求YeX的概率密度fY（y）解1当x0时函数yex单调增，反函数为xh（y）lny，于是YeX的概率密度为
1lny1e,y1,2,y1,yfY（y）fX（h（y））|h（y）|y
0,y1.0,y1.
解2设Y的分布函数为FY（y），则
0FY（y）P（Yy）P（ey）P（Xlny）,Xy1,y1
y1,0,y1,0lnyxxlnyedx,y1,e,y1.00
0,y1,0,y1,1lny1,y1.1e,y1.y
12,y1,fY（y）FY（y）y
0,y1.
27．设随机变量X的概率密度为fX（x）1,2（1x）x求随机变量Y1fY（y）解1函数y1xh（y）（1y），则3
3（1y）2
fY（y）fX（h（y））|h（y）|,6（1（1y））·30·y.
解2设Y的分布函数为FY（y），则
FY（y）P（Yy）P（1y）P1y）1P（X（1y）3）1FX{（1y）3}，
所以
3（1y）2
fY（y）fX（（1y））3（1y）,y。
6（1（1y））
28．设X~U（0,1），求
（1）YeX的概率密度；
（2）Y2lnX的概率32密度。
解X的密度为
fX（x）1,0x1,
0,其它.
（1）yex在（0,1）上单调增，反函数为h（y）lny，所以Y的密度为
1,1ye,fY（y）y
0,其他.
（2）y2lnx在（0,1）上单调减，反函数为h（y）ey
2，所以Y的密度为
y12e,y0,fY（y）2
0,y0.
29．设X~N（0,1），求Y|X|的概率密度。
解1函数y|x|在（,0）上单调减，反函数为h1（y）y，在[0,）上单调增，反函数为h2（y）y，
所以Y的密度为
fY（y）fX（h1（y））h|1y（）f|Xh2y（（h）2）y|（y）|,
y0.0,
2y
2,y0,即
fY（y）
0,y0.
上服从均匀分布。
[证]只须证明Y的分布函数为0,30．设随机变量X服从参数为2的指数分布，试证Y1e2X在区间（0,1）
·31·
0,y0FY（y）y,0y1,
1,y1.
FY（y）P（Yy）P{1e2Xy00,y}P{e2x1y},0y1,
1,y1
0,y0,y0,0,12P（2Xln（1y））,0y1,P（Xln（1y））.0y1,
y1.1,y1.0,
0,y0,y00,11FX（ln（1y）2）,0y1,2ln（1y）21e,0y1
1,y1y1.1,
0,y0,y,0y1,
1,y1.
31．设随机变量X的概率密度为
2x2,0x,f（x）
0,其它.
求YsinX的概率密度.解1函数ysinx在（0,在（2]上单调增，反函数为h1（y）arcsiny
2,）上单调减，反函数为h2（y）arcsiny.
Y的概率密度为：
·32·
fY（y）f（arcsiny）f（arcsiny
22arcsiny2arcsiny0y1,22
其他.0,
0y1,
其他.0,
解2设Y的分布函数为FY（y），则
FY（y）P（Yy）P（sinXy）P（XarcsinyXarcsiny）P（Xarcsiny）1P（Xarcsiny）FX（arcsiny）1FX（arcsiny）
所以
fY（y）f（arcsiny）f（arcsiny0y1,
其他.0
32．设随机变量X的分布函数F（x）连续，且严格单调增加，求YF（X）的概率密度.
解设Y的分布函数为FY（y），则
FY（y）P（Yy）P{F（X）y}P{XF（y）}y，当y0时FY（y）0，当y1时FY（y）1，故1
0,y0,FY（y）y,0y1,
1,y1.
于是Y的概率密度为
1,0y1,fY（y）0,其他.
·33·
升级会员 