伯特变换构造解析信号进行时频分析.docx

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伯特变换构造解析信号进行时频分析

26航天电子对抗,2003（3用希尔伯特变换构造解析信号进行时频分析

罗利拳

（北京947信葙.100083

摘要:

回顾了信号希尔伯特变换的数字定义和解析信号的构造方法。

讨论了用信号希尔伯特变换和解祈信号进行信号时颇分析一求信号瞬时额率的基本原理。

培出了计算实倒。

关键词:

信号l时额分析;瞬时额谱}相位分析

中图分类号:

TN971t1文献标识码:

A

1希尔伯特变换的数学定义_及傅里叶变换

目标信号的时频分析在电子战侦察中有着重要的作用。

时频分析具体包括目标信号的时频分布、瞬时频谱和相位特性的分析。

希尔伯特变换可以用于时频分析,主要是瞬时频率估计。

这是信号瞬时频率较古老的一种估计方法,也是较简单的一种方法。

与信号分析其它变换不同,希尔伯特变换不是把信号从时间域变换到另一个域。

而是把信号从时同域仍然变换到时问域。

设“（f为一时问函敷,口（‘是它的希尔伯特变换。

则[o

_（t:

土f。

兰垃d_（1ⅡJ—∞叩一￡。

“（E:

土r旦垃d口（2ⅡJ一日一#’

而在工程上,信号“（f的希尔伯特变换口（f又常用卷积形式表示。

即‘”.

"（}=“（t*（1/R￡（3H（￡!

一。

（f*（1/Ⅱt（4显然,由1/（巩的傅里叶变换HBT（,为

HBT（,=一jsgn（,（5式中,sgn（,为一个符号函数。

印,它与自变量的符号相同,而函数值的模为1。

当,=0时,sgn收稿日期・20D2一∞一06.2002一01一08售回.

作者简介,罗刺春（1959一。

高工,博士,主要从事电子战信号愤寨分析研究工作,发丧论文约40茸,专著一篇.（,=0。

而时域卷积对应于频域乘积。

所以.希尔伯特变按的傅里叶变换就不难求得。

这样,若设实信号“（f的傅里叶变换为U（,,则“（‘的希尔伯特变换“（t的傅里叶变换V（,为

V（力=一jsgn（,U（D（6从式（6看出,信号H（￡的希尔伯特变换一（I的傅里叶变换v（,等于信号本身的傅里叶变换u（,与频率的符号函数相乘,再乘以一个负虚单位一j。

而从式（5可知,一个频率的符号函数,实际上相当于在频域对信号频谱进行一个90。

的相移。

因此,对信号进行的希尔伯特变换,相当于对该信号进行一个正交相移,使它成为自身的正交对（或称正交偶,从而可以广泛地用于有这类需求的工程中。

在通信工程中.就经常需要对一个信号进行正交分路。

如在接收机中频将信号分为两路;一路为信号本身,另一路为其正交对。

并分别将它们称为同相分量和正交分量。

希尔伯特变换也有一些自身的性质（比如对称性等,对计算很有用。

这里不再论述.

2解析函敛、解析信号与希尔伯特变换

由希尔伯特变换所求得的信号的正交对,有很多用途。

这里,我们仅对它的一个与本文主题有关的用途作一个简介。

这个用途就是用信号的希尔伯特变换构造信号的解析版本——解析信号。

下面我们就从复变函数中的解析函数的概

　万方数据

星至玺堡生窒垫望垄堡堑生三垄坌盟塑坌堑:

:

念,引出解析信号的定义。

（1解析函数。

我们知道,解析函数是复变函数理论中的一个基本而重要的概念。

它又称为正则函数或全纯函数。

它也是复变函数理论研究的主要对象。

其定义如下。

解析函数:

设,是某区域D内的一个复变数的复值函数。

如果导数

（:

:

li。

笠r±毕』堕（7^一D^

在D内处处存在,则称,是区域D内的解析函数。

并且,D内的每~点都是,的解析点。

解析函数的一个最重要的等价形式,就是它可以表示为

厂（2=“（z+j口（z（8式中,“（z和v（z都是分别满足柯西~黎曼方程的实函数。

式（8表明,只要一个函数是解析的,那它就一定能表示成以两个分别满足柯西・黎曼方程的实函数分别为实部和虚部的复函数。

反之亦然。

解析函数还有一个重要的表示方式。

这就是如下定义的柯西积分公式。

柯西积分公式:

设,是单连通区域D内的解析函数,则

弛一爿,矬d'（9就称为柯西积分公式。

式中,y是D内简单正向闭曲线（闭路,并且2在以7为边界的内部区域中。

若将式（9与式（1相比较,不难发现,复变函数的柯西积分公式与实函数的希尔伯特变换非常相似。

由式（8所示的解析函数的等价形式,和式（9所示的柯西积分公式,当D内简单正向阳曲线y位于实轴上时,可以推出,式（8中的“（z和"（=可以分别表示成式（1和式（2的形式。

这就是复解析函数及其柯西积分与实函数的希尔伯特变换的联系所在。

由以上重要关系,便不难得到解析信号的定义。

（2解析信号。

设实信号“（￡的希尔伯特变换为实信号口（￡,则如下式所定义的实变量时间t的复信号=（t就称为信号“（￡的解析信号

z（￡一“（￡+】u（f（10式（10就是我们在工程中常用的解析信号。

这种由解析函数概念去定义解析信号,并将其表示成实部与虚部互为希尔伯特变换的定义方式.是由威利（villi和戈勃（Gabor几乎同时提出的。

有时就将如式（10所表示的解析信号,称为威利或戈勃的解析信号。

3由解析信号估计瞬时频率

在实信号分析中,利用构建解析信号的方法,可以得到一个实信号在复空间的映射。

从这个复空问映射的方式一实部与虚部互为希尔伯特变换,以及第1小节中所讨论过的希尔伯特变换的90。

相移功能,可以推断,解析信号的实部与虚部是互相正交的。

因此,可以认为,解折信号是实信号自身的一种特殊翻版。

采用实信号的这种特殊翻版,就可以去估计实信号的瞬时频率。

这就是我们在实信号分析与处理中,构建解析信号的主要目的。

并且也是希尔伯特变换在电子战侦察信号分析中的一个重要用途。

（1基本原理。

采用欧拉公式,可将解析信号写成旋转相量的形式。

即

=（f=Iz（}lexpD≠（￡]（11用旋转相量表示解析信号的原理如图1所示。

由式（11和图1,显然有

“（t一l￡（tIcosD庐（￡]（12"（t={￡（clsin[j≠（t]（13LV（r

∥几’.It（r

圉l用违特相tI=（fl吓p凸≠（t]表示解析信号“.（￡则,由图1,解析信号#（幻的瞬时模Iz（tI即为f￡（ff一[“（f2+_（f2]÷（14而解析信号z（￡的瞬时相位≠（￡定义为

≠（}一tan_10（}^（t]（15很自然,解析信号2（f的瞬时频率,（f就定义为

　万方数据

航天电子对抗,2003（3

（O=（2Ⅱ_1[d庐（‘/出]（16显然,从图1可知,解析信号z（￡的瞬时频率,（￡,或瞬时角频率m（c=2E,（￡,就是旋转相量z（￡的旋转角速度。

因此,参照图1,容易理解,由于旋转相量z（￡的旋转有可能是反时针的（解析信号的定义本身并未禁止如此,所以,其旋转角速度也就有可能为负值。

因此,按照式（16所定义的解析信号的瞬时频率,（￡,同样也可能为负值。

这就出现了在物理上不好解释的负频率问题。

这是解析信号由其自身定义所引出的悖论之一。

因此,关于瞬时频率的上述定义,受到了从严格理论角度所发出的质疑与批评口]。

尽管如此,由于它有其合理性和实用性,就可在工程上采用之。

文献[2]详细讨论了这个问题。

（2算法。

算法包括构建解析信号与求其瞬时频率两大步骤。

由于希尔伯特变换的定义和性质,既可以从时域去求希尔伯特变换,又可以从频域去求它.所以算法也是灵活多样的。

总的来说,用解析信号求瞬时频率的算法非常简单。

其中频域方法的基本步骤如下:

①采集信号“（￡为离散信号序列序列“（n,n=0,1,…Ⅳ一1,并求“（n的FFT谱U（南,点一0,1.…N一1I

⑦根据式（4~11,按下式求H（n的希尔伯特变换。

（n的FFT频谱y（^

V（矗=jU（量量一O,1,…（N一1/2（17ay（七一一jU（矗

≈一（N一1/2,（N一1/2+1,…,N一1（17b◎求、,（志的逆FFT.得到_（”。

由“（n和W（n,按式（10构建“（n的解析信号z（n}④按式（15求得解析信号2（n的瞬时相位声（";

⑤将≠（一代人下式,求得采样频率,I时的信号序列“（n的瞬时频率中值,（n:

m_垃丛掣!

虹卫,l（184两种目标信号的瞬时频率估计

本小节我们给出希尔伯特变换和解析信号求瞬时频率的方法求得的两种目标信号的瞬时频率估计与相位奇点检测。

我们用瞬时频率图给出其定量的估计值。

（1话带BFsK信号瞬时频率。

设前半段为空号1575Hz、后半段为传号2425Hz的话带BF—SK信号波形如图2所示。

而用上述算法求得的该信号的瞬时频率也画在该图中。

从中可看出空、传号的大致频率取值。

并且,在空、传号转换瞬间（n一220,因有相位突变,故出现了高频分量。

30

簧20

鼍

轴

譬

耋0

一10

O1002003∞4叩5∞时间（采样序号

围2话荦BFSK信号一段样奉的瞬时蓣率

（2Chirp信号瞬时频率。

Chirp信号的瞬时频率常常是信号分析和处理技术的典型研究对象。

在瞬时频率测量技术研究中,它也是最好的验证工具。

对应参数分别为,o=2kHz和4∞分别为1880rad/s2和62.78rad/s2的如下式所示的快、慢2种连续ch呻信号的瞬时频率图分别如图3（a和（b所示。

船。

（￡一sin（2Ⅱ,o￡+0.5。

‰,（19从图3可看出,用希尔伯特变换和解折信号求得的频率变化较快的chirp波（a瞬时频率值的波动,比频率变化较慢的Chirp波（b瞬时频率值的波动要大些。

o柏揣（采样军备160200（a快ch卸波瞬时频率围

　万方数据

用希尔伯特变换构造解析信号进行时频分析29

（b慢chIrp渡瞬时频宰图的基本原理。

给出了话带BFsK信号、快Chirp信号和慢chirp信号这3种目标信号的瞬时频率的计算实例。

结果表明,通过希尔伯特变换构建目标的解析版本一解析信号,再对解析信号进行某种处理,可以求得目标信号的瞬时频率。

■参考文献

1HahnSLH“bertTran3fo唧sinSignaIProcessing[M].Boston:

ArtechHouse.1996.

2（蔓L科恩著.时一额分析:

理论与应用[M].白居宪译.西安,西鲁变通大学出版社,1998.

躅3chjrp信号的瞬时额率圉

3BoashashB-Time_FrequencysignalA曲ly3is[M]・In:

Vo【umeIOfAdvancesisSpectrumAnaIy5isandArrayProcessigeditedbySimonHaykirLPrenticeH8llN.J.

5小结

1991:

418、517.

4王宏禹.非平稳随机信号分析与处理[M].北京:

国本文讨论了信号希尔伯特变换的数学定义和防I业出版社,1999:

87—173.

解析信号的构造方法,以及用信号希尔伯特变换5张贤达.现代信号处理[M].北京:

清华大学出版社・和解析信号进行信号时频分析一求信号瞬时频率“∞‘

—¨.¨.¨.址且J‘且J‘“.址.址址.“且簟卫—扯.址扯4L皿.址“舢且皿.址且.址且J‘.“.扯.扯舢J‘.“““舢“.址.址.址.¨.“.*美国未来的隐身巡航导弹防御系统

美军未来的隐身巡航导弹防御系统主要由下一代监视和情报搜集飞机和空中作战指挥飞机承担,首先由这些飞机搜寻巡航导弹的发射,精确跟踪,并引导战斗机或防空武器对其进行空中拦截。

应该说巡航导弹防御系统的关键是探测、发现和跟踪到巡航导弹,然后才是引导防空武器进行空中拦截。

对于难度更大的隐身巡航导弹更是如此。

在2002年9月华盛顿召开的空军协会年会上,NorthropGrumman公司/Raytheon公司展示了一种经过多年研制的多平台雷达技术嵌