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第一章光的电磁理论
𝑐2
1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez=（102）𝐶os[𝜋×1014（𝑡‒𝑥）+𝜋]，（各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。
解：
由Ex=0，Ey=0，Ez=（102）𝐶os
1.4写出：
（1）在yoz平面内沿与y轴成θ角的𝑘
方
向传播的平面波的复振幅；
（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。
解：
（1）由𝐸=𝐴exp（i𝑘∙𝑟），可得𝐸=𝐴exp
[ik（𝑦cosθ+zsinθ）]；
𝐴1
（2）同理：
发散球面波𝐸（𝑟，t）=𝐴𝑟exp（ikr）=𝑟
[𝜋×1014（𝑡‒𝑥）+𝜋]，则频率υ=��
𝜋×1014
==0.5×
𝑐2
2𝜋
2𝜋
exp（ikr），
1014Hz，周期T=1/υ=2×10-14s，初相位φ0=+π/2（z=0，t=0），振幅A=100V/m，
𝐴1
汇聚球面波𝐸（𝑟，t）=𝐴𝑟exp（‒ikr）
波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。
1.2.
𝑐2
一个平面电磁波可以表示为Ex=0，Ey=2Cos[2𝜋×1014（𝑧‒t）+𝜋]，Ez=0，求：
（1）该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位
是多少？
（2）波的传播和电矢量的振动取哪个
=𝑟exp（‒ikr）。
1.5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。
其频率为4×1014Hz，电场振幅为14.14V/m，如果该电磁波的振动面与xy平面呈45º，试写出E，B表达式。
解：
𝐸=𝐸𝑦𝑒𝑦+𝐸𝑧𝑒𝑧，其中
𝐸=10exp[𝑖（2𝜋𝑥‒2πυt）]
𝑦λ
方向？
（3）与电场相联系的磁场B的表达式如
何写？
𝑐
𝜔2𝜋×1014
=10exp[𝑖（2𝜋υ𝑥‒2πυt）]
解：
（1）振幅A=2V/m，频率υ=2𝜋=
2𝜋=
2𝜋×4×1014
1014Hz，波长λ=𝑐
）8]
=3×1083×10‒6𝑚
=10exp[𝑖（
𝑥‒2π×4×1014𝑡
3×10
14=，原点
υ10
=10exp[𝑖（8×106𝜋）（𝑥‒3×108𝑡）]，
的初相位φ0=+π/2；
（2）传播沿z轴，振动3
𝑐
𝑘
方向沿y轴；（3）由B=1（𝑒
×𝐸）
，可得
同理：
𝐸𝑧
=10exp[𝑖（8×106𝜋）（𝑥‒3×108𝑡）]。
3
𝑐𝑐2
By=Bz=0，Bx=2𝐶os[2𝜋×1014（𝑧‒t）+𝜋]
1
（
𝐵=𝑐𝑘0
×𝐸）=‒𝐵𝑦𝑒𝑦
+𝐵𝑧𝑒𝑧，其中
𝐵=10exp[𝑖（8×106𝜋）（𝑥‒3×108𝑡）]=𝐵
1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为
𝑧3×1083𝑦
0.65c
Ey=0，Ez=0，Ex=102𝐶os[𝜋×1015（𝑧‒t）]，。
试求：
（1）光的频率；
（2）波长；（3）玻璃的折射率。
1.6
一个沿k方向传播的平面波表示为E=100exp
{𝑖[（2𝑥+3y+4z）‒16×105𝑡]}，试求k方向的单
𝜔𝜋×1015
位矢k0。
29
解：
（1）υ=2𝜋=
2𝜋
2𝜋
2𝜋
=5×1014Hz；
2×0.65×3×108
解：
|𝑘|=22+32+42=，又𝑘=2𝑒𝑥+3𝑒𝑦+4𝑒𝑧，
（2）λ=𝑘=𝜋×1015/0.65c=
1015
𝑘1（2𝑒
+3𝑒
+4𝑒）。
m=3.9×10‒7𝑚=390nm；
029𝑥
𝑦𝑧
∴=
𝑐𝑐
𝑠
（3）相速度v=0.65c，所以折射率n=𝑣=0.65c≈1.54
1.9
证明当入射角𝜃1=45º时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有𝑟𝑝=𝑟2。
sin（𝜃1‒𝜃2）sin45ºcos𝜃2‒cos45ºsin𝜃21
证明：
𝑟𝑠=sin（𝜃1+𝜃2）=sin45ºcos𝜃2+cos45ºsin𝜃2
则𝑡𝑝=𝑛，其中𝑛=𝑛2∕𝑛1，得证。
cos𝜃2‒sin𝜃21‒tan𝜃2
=cos𝜃2+sin𝜃2=1+tan𝜃2
tan（𝜃1‒𝜃2）
𝑟𝑝=tan（𝜃1+𝜃2）
（tan45º‒tan𝜃2）/（1+tan45ºtan𝜃2）
1‒tan𝜃222
1.17利用复数表示式求两个波𝐸1=𝑎cos（𝑘𝑥+𝜔𝑡）
和𝐸2=‒𝑎cos（𝑘𝑥-𝜔𝑡）的合成。
解：
𝐸=𝐸1+𝐸2=𝑎
[cos（𝑘𝑥+𝜔𝑡）‒cos（𝑘𝑥-𝜔𝑡）]
22
=（tan45º+tan𝜃）/（1‒tan45ºtan𝜃）=（1+tan𝜃2）=𝑟𝑠
1.10证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。
证明：
由布儒斯特角定义，θ+i=90º，
设空气和玻璃的折射率分别为𝑛1和𝑛2，先由空气入射到玻璃中则有𝑛1sin𝜃=𝑛2sinⅈ，再由玻璃出射到空气中，有𝑛2sin𝜃'=𝑛1sin𝑖'，
又𝜃'=ⅈ，∴𝑛1sin𝑖'=𝑛1sin𝜃⇒𝑖'=𝜃，即得证。
1.11平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃（𝑛=1.5）上，求：
（1）能流反射率𝑅𝑝和𝑅𝑆；
（2）能流透射率𝑇𝑝和𝑇𝑠。
𝑛2
解：
由题意，得𝑛=𝑛1=1.5，
=𝑎exp[𝑖（𝑘𝑥+𝜔𝑡）]‒𝑎exp[𝑖（𝑘𝑥‒𝜔𝑡）]
=𝑎exp（ikx）（𝑒𝑖𝜔𝑡-𝑒-𝑖𝜔𝑡）
=2𝑎sin（𝜔𝑡）exp（ⅈcos𝑘𝑥-sin𝑘𝑥）
2
=‒2𝑎𝑒𝑥𝑝[𝑖（𝑘𝑥+𝜋）]sin（𝜔𝑡）。
1.18两个振动方向相同的单色波在空间某一点产生的振动分别为𝐸1=𝑎1𝑐𝑜𝑠（𝜑1-𝜔𝑡）和𝐸2=𝑎2cos（𝜑2-𝜔𝑡）。
若𝜔=2𝜋×1015Hz，𝑎1=6V/m，
𝑎2=8V/m，𝜑1=0，𝜑2=𝜋∕2，求该点的合振动表达式。
解：
𝐸=𝐸1+𝐸2=𝑎1𝑐𝑜𝑠（𝜑1-𝜔𝑡）+𝑎2
cos（𝜑2-𝜔𝑡）=6cos（‒2𝜋×1015𝑡）+8𝑐𝑜𝑠
2
（𝜋‒2𝜋×1015𝑡）
=6𝑐𝑜𝑠（2𝜋×1015𝑡）+8𝑠ⅈ𝑛（2𝜋×1015𝑡）
又𝜃为布儒斯特角，则𝜃+ⅈ=90°①
615
𝑛1𝑠𝑖𝑛𝜃=𝑛2𝑠𝑖𝑛𝑖⇒𝑠𝑖𝑛𝜃=𝑛𝑠𝑖𝑛𝑖.....②
=10𝑐𝑜𝑠（𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠10‒2𝜋×10
𝑡）
由①、②得，𝜃=56.31°，𝑖=33.69°。
𝑡𝑎𝑛2（𝜃-ⅈ）
（1）𝑅𝑝=𝑡𝑎𝑛2（𝜃+𝑖）=0，
𝑠𝑖𝑛2（𝜃-ⅈ）
=10𝑐𝑜𝑠（53°7'48''‒2𝜋×1015𝑡）。
1.20求如图所示的周期性三角波的傅立叶分析表达式。
𝐸（𝑧）={𝑧（0<𝑧≤𝜆2）
𝑅𝑠=𝑠𝑖𝑛2（𝜃+ⅈ）=0.148=14.8%，
解：
由图可知，
‒𝑧+𝜆（𝜆∕2<𝑧≤𝜆），
（2）由𝑅𝑝+𝑇𝑝=1，可得𝑇𝑝=1，2𝜆
同理，𝑇𝑠=85.2%。
𝐴0=𝜆∫0𝐸（𝑧）ⅆ𝑧
2（∫𝜆∕2𝑧ⅆ𝑧+∫��
（‒𝑧+𝜆）ⅆ𝑧）=𝜆，
1.12证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的
1
=𝜆
0
2𝜆
𝜆∕22
分界面上时，𝑡𝑝=
𝑛，其中𝑛=𝑛2∕𝑛1。
𝐴𝑚=𝜆∫0𝐸（𝑧）𝑐𝑜𝑠（𝑚𝑘𝑧）ⅆ𝑧
证明：
𝑡
2sin𝜃2cos𝜃1
=
，因为𝜃为布儒斯特
2∫𝜆2𝐸（𝑧）cos𝑚𝑘𝑧ⅆ𝑧+∫𝜆
𝐸（𝑧）cos𝑚𝑘𝑧ⅆ𝑧）
𝑝sin（𝜃1+𝜃2）cos（𝜃1‒𝜃2）1
𝜆0
𝜆2
=（
角，所以𝜃2+𝜃1=90°，
=2·（‒22）=‒8·𝜆2
2𝜆
=‒
，（m为奇数），
2sin𝜃2cos𝜃1
2sin𝜃2cos𝜃1
𝜆𝑚2𝑘2
𝜆𝑚2（2𝜋）2
𝑚2（2𝜋）2
𝑡𝑝=sin90°cos（𝜃1-𝜃2）=cos（90°-𝜃2-𝜃2）
𝐵=2∫𝜆𝐸（𝑧）𝑠ⅈ𝑛𝑚𝑘𝑧ⅆ𝑧=0，
2sin𝜃cos𝜃2sin𝜃cos𝜃sin𝜃
𝑚𝜆0
21212
=sin（2𝜃2）=2sin𝜃2cos𝜃2=sin𝜃1，又根据折射定律𝑛1
所以
𝜆2𝜆∑∞
（cos𝑚𝑘𝑧𝑚2）
sin𝜃2
𝑛11
𝐸（𝑧）=4‒𝜋2
𝑚=1
sin𝜃1=𝑛2sin𝜃2，得sin𝜃1=𝑛2=𝑛，
𝜆2𝜆cos𝑘𝑧
cos3𝑘𝑧
cos5𝑘𝑧
=4‒𝜋2（12+
32+
52+···）。
1.21试求如图所示的周期性矩形波的傅立叶级数
𝜆2c
𝜆2
的表达式。
解：
由图可知，𝐸（𝑧）=1（-𝜆∕𝑎<𝑧<𝜆∕𝑎），
解：
由相干长度D𝑚𝑎𝑥=𝛥𝜆=𝛥𝜈，所以波列长度2𝐿=𝛥𝜆
=c=3×108=5.55×103𝑚
𝐴0=
2𝜆
∫𝐸（𝑧）ⅆ𝑧=
2（∫𝜆∕𝑎ⅆ𝑧+∫𝜆
ⅆ𝑧）=4
𝛥𝜈
5.4×104。
𝜆0
2𝜆
𝜆0
𝜆‒𝜆∕𝑎𝑎
第二章光的干涉及其应用
𝐴𝑚=𝜆∫0𝐸（𝑧）𝑐𝑜𝑠（𝑚𝑘𝑧）ⅆ𝑧
2.1在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄
2（𝜆𝑎
0
∫𝜆）
片，其厚度ℎ=0.01mm，折射率𝑛=1.5，若光波波
=𝜆∫
cos𝑚𝑘𝑧ⅆ𝑧+
𝜆‒𝜆𝑎cos𝑚𝑘𝑧ⅆ𝑧
长为500nm，试计算插入玻璃片前后光束光程和相
22𝑚𝜋
=sin
𝐵=2∫𝜆𝐸（𝑧）𝑠ⅈ𝑛𝑚𝑘𝑧ⅆ𝑧=0
位的变化。
𝜋𝑚
𝑎，
2
𝑚𝜆0
∞2
，
2𝑚𝜋
解：
由时间相干性的附加光程差公式𝛥=（𝑛-1）h
=（1.5‒1）×0.01mm=0.005mm，
所以𝐸（𝑧）=𝑎+∑
𝜋𝑚sin
𝑎cos𝑚𝑘𝑧。
𝑚=1
2𝜋
2𝜋
1.22利用复数形式的傅里叶级数对如图所示的周期性矩形波做傅里叶分析。
{1（0<𝑧<𝜆2）
𝛿=𝜆𝛥=500×10-6×0.005=20𝜋。
2.2在杨氏干涉实验中，若两小孔距离为0.4mm，观察屏至小孔所在平面的距离为100cm，在观察屏
解：
由图可知，𝐸（𝑧）=
‒1（𝜆2<𝑧<𝜆），
上测得的干涉条纹间距为1.5cm，求所用光波的波。
𝐴=2∫𝜆𝐸（𝑧）ⅆ𝑧=∫𝜆∕2ⅆ𝑧+∫𝜆
（‒1）ⅆ𝑧=0，
𝜆𝐷
解：
由公式ⅇ=
0𝜆0
0𝜆∕2
𝑑，得光波的波长
𝐴=2∫𝜆𝐸（𝑧）𝑐𝑜𝑠（𝑚𝑘𝑧）ⅆ𝑧=0
ⅇ𝑑1.5×10-3×0.4×103
𝜆==
-7𝑚
𝑚𝜆0，
𝐷100×10-2𝑚=6×10
𝐵=2∫𝜆𝐸（𝑧）𝑠ⅈ𝑛𝑚𝑘𝑧ⅆ𝑧
=600nm。
𝑚𝜆0，
2.3
波长为589.3nm的钠光照射在双缝上，在距双
2（∫𝜆sin𝑚𝑘𝑧ⅆ𝑧‒∫��
sin𝑚𝑘𝑧ⅆ𝑧）
缝100cm的观察屏上测量20个干涉条纹的宽度为
=𝜆0
1
𝜆∕2
2.4
cm，试计算双缝之间的距离。
解：
因为干涉条纹是等间距的，所以一个干涉条纹
=𝜋𝑚（2‒2cos𝑚𝜋），
2.4
𝜆𝐷
1∞1
的宽度为ⅇ=20cm。
又由公式ⅇ=𝑑，得双缝间距
所以𝐸（𝑧）=𝜋∑𝑚（2-2cos𝑚𝜋）sin𝑚𝑘𝑧
𝑚=1
411
𝜆𝐷
离𝑑=ⅇ=
589.3×10-6×100×10
10×2.4∕20mm=0.491mm。
35
=𝜋（sin𝑘𝑧+sin3𝑘𝑧+sin5𝑘𝑧+···）
𝑟
1.23氪同位素𝑘86放电管发出的红光波长为𝜆=605.7nm，波列长度约为700mm，试求该光波的波长宽度和频率宽度。
解：
由题意，得，波列长度2𝐿=700𝑚𝑚，
2.4设双缝间距为1mm，双缝离观察屏为1m，用钠光照明双缝。
钠光包含波长为𝜆1=589nm和𝜆2
=589.6nm两种单色光，问两种光的第10级亮条纹之间的距离是多少？
解：
因为两束光相互独立传播，所以𝜆1光束第10
𝑚𝜆1𝐷
𝜆2605.72
𝛥𝜆==
=5.2×10‒4nm
级亮条纹位置𝑥1=
𝑑，𝜆2光束第10级亮条纹位
由公式
2𝐿
700×106
，
置𝑥
𝑚𝜆2𝐷
=，所以间距𝑙=𝑥
‒𝑥
=𝑚𝐷（𝜆
‒𝜆）
又由公式2𝐿=𝑐/𝛥𝜈，所以频率宽度𝛥𝜈=
2𝑑
21𝑑21
𝑐3×108
=
H𝑧=4.3×108H𝑧
=10×1000×（589.6‒589）×10‒6=6×10‒3mm
2𝐿
700×10‒3。
1
1.24某种激光的频宽𝛥𝑣=5.4×104Hz，问这种激光的波列长度是多少？
。
2.5在杨氏双缝干涉的双缝后面分别放置𝑛1=1.4
和𝑛2=1.7，厚度同为t的玻璃片后，原来中央极
大所在点被第5级亮纹所占据。
设𝜆=480nm，求玻解：
因为是圆形光源，由公式𝑏𝑐=1.22𝜆𝑙∕𝑑，
璃片厚度t以及条纹迁移的方向。
解：
由题意，得（𝑛2‒𝑛1）𝑡=5𝜆，
则𝑑=
1.22𝜆𝑙
𝑏𝑐=
1.22×500×10-6×1.5×103
2=0.46mm。
5𝜆
5×480×10-9
2.13月球到地球表面的距离约为3.8×105km，月球
所以𝑡=𝑛2-
𝜇𝑚，
𝑛1=
1.7-
1.4=8×10-6𝑚=8
的直径为3477km，若把月球看作光源，光波长取500nm，试计算地球表面上的相干面积。
条纹迁移方向向下。
2.6在杨氏双缝干涉实验装置中，以一个长30mm的充以空气的气室代替薄片置于小孔𝑠1前，在观察屏
0.61×𝑙2
（𝑏）
解：
相干面积𝐴=𝜋
𝑐
0.61×500×10‒6×3.8×10112
上观察到一组干涉条纹。
继后抽去气室中空气，注入某种气体，发现屏上条纹比抽气前移动了25个。
=𝜋×（
3.477×109）
已知照明光波波长为656.28nm，空气折射率𝑛𝑎
=1.000276，试求注入气室内的气体的折射率。
=3.49×10‒3𝑚𝑚2。
2.14若光波的波长宽度为𝛥𝜆，频率宽度为𝛥𝜈，试
解：
设注入气室内的气体的折射率为𝑛，则
𝛥𝜈
𝛥𝜆
（𝑛‒𝑛）ℎ=25𝜆，所以𝑛=25𝜆+𝑛
证明：
|𝜈|=|𝜆|。
式中，𝜈和𝜆分别为光波的频率和
𝑎ℎ𝑎
25×656.28×10‒9
波长。
对于波长为632.8nm的氦氖激光，波长宽度
为𝛥𝜆=2×10-8nm，试计算它的频率宽度和相干
=30×10‒3+1.000276
长度。
=5.469×10‒4+1.000276=1.000823。
2.7杨氏干涉实验中，若波长𝜆=600nm，在观察屏上
解：
证明：
由𝐷𝑚𝑎𝑥=c𝛥𝑡=𝜆2
𝛥𝜆，则有
形成暗条纹的角宽度为0.02°，
（1）试求杨氏干涉中𝑐
2‒𝛥𝜆
𝜆𝛥𝜈
𝛥𝜆
‒𝛥𝜈⋅𝑐∕𝜈
二缝间的距离？
（2）若其中一个狭缝通过的能量
‒𝛥𝜈=𝜆
𝛥𝜆⇒
𝜆=
𝑐⇒𝜆=𝑐
是另一个的4倍，试求干涉条纹的对比度？
𝛥𝜆
‒𝛥𝜈
解：
角宽度为𝜔=0.02°×
180
𝜋，
⇒𝜆=
证。
𝜈（频率增大时波长减小），取绝对值得
𝜆600
2632.8213
所以条纹间距ⅇ=𝜔=180=1.72mm。
0.02°×𝜋
相干长度𝐷𝑚𝑎𝑥=𝜆
𝛥𝜆=2×10‒8=2.0×10
由题意，得
𝐼1=4𝐼2，所以干涉对比度
nm=20km，
2𝐼1∕𝐼2
2×4𝐼2∕𝐼24
𝑐
𝛥𝜈=
3×108
=H𝑧
𝐾=1+𝐼1∕𝐼2=1+4𝐼2∕𝐼2=
5=0.8
频率宽度
𝐷𝑚𝑎𝑥
20×103
2.8若双狭缝间距为0.3mm，以单色光平行照射狭缝时，在距双缝1.2m远的屏上，第5级暗条纹中心离中央极大中间的间隔为11.39mm，问所用的光源波长为多少？
是何种器件的光源？
解：
由公式𝑥=（𝑚+1）𝜆𝐷，所以𝜆=𝑥𝑑
=1.5×104Hz。
2.15在图2.22（a）所示的平行平板干涉装置中，若平板的厚度和折射率分别为ℎ=3mm和𝑛=1.5，望远镜的视场角为6°，光的波长𝜆=450nm，问通
2
2𝑑
11.39×10‒3×0.3×10‒3
𝐷（𝑚+1）
过望远镜能够看见几个亮纹？
解：
设能看见𝑁个亮纹。
从
=12×（4+0.5）𝑚=632.8nm。
中心往外数第𝑁个亮纹对透
此光源为氦氖激光器。
2.12在杨氏干涉实验中，照明两小孔的光源是一个直径为2mm的圆形光源。
光源发光的波长为500nm，它到小孔的距离为1.5m。
问两小孔可以发生干涉的最大距离是多少？
镜中心的倾角𝜃𝑁，成为第N个条纹的角半径。
设𝑚0为中心条纹级数，𝑞为中心干涉极小数，令𝑚0=𝑚+𝑞（𝑚∈𝑧,
0≤𝑞<1），从中心往外数，第N个条纹的级数为𝑚‒（𝑁‒1）=𝑚0‒（𝑁‒1）‒𝑞，
则
{𝛥中=2𝑛h+𝜆2=𝑚0𝜆=（𝑚+𝑞）𝜆
的最大透射率和最小透射率。
若干涉仪两反射镜以折射率𝑛=1.6的玻璃平板代替，最大透射率和最小
𝛥𝑁
=2𝑛ℎ𝑐𝑜𝑠𝜃𝑁
+𝜆
，
2=[𝑚‒（𝑁‒1）𝜆]
透射率又是多少？
（不考虑系统吸收）
解：
当反射率𝑅=0.5时，由光强公式
两式相减，可得2𝑛ℎ（1‒cos𝜃𝑁）=（𝑁-1+𝑞）𝜆，
𝐼（𝑡）=𝐼，𝐼（𝑡）=
（1-𝑅）2
𝐼（𝑖）
1𝑁𝜆
M𝑚
4𝑅+（1-𝑅）2
利用折射定律和小角度近似，得𝜃𝑁=𝑛'ℎ
可得最大透射率𝑇M
=1；
𝑁‒1+𝑞，（𝑛'为平行平板周围介质的折射率）
对于中心点，上下表面两支反射光线的光程差为𝐷
（1‒𝑅）2
最小透射率𝑇𝑚=4𝑅+（1‒𝑅）2=0.11。
𝜆6
450
当用玻璃平板代替时，𝑛=1.6，则
=2𝑎h+2=（2×1.5×3×10+
1
2）nm=
𝑅𝑛=
𝑛‒12
（）
𝑛+1=
1.6-12
（）
1.6+1
（2×104+2）×450nm。
因此，视场中心是暗点。
''（1‒𝑅𝑛）2
𝜋×3°2
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