等角定理教学设计.docx

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等角定理教学设计

等角定理教学设计

教材版本：

北京师范大学出版社高中数学必修二

科目：

高一数学

上课章节：

第一章第4节第二课时

上课内容：

等角定理

任课教师姓名：

聂德菊

任教学校：

安康高新中学

《等角定理》教学设计

一．教学内容分析

本文所讲的等角定理是初中平面几何等角定理的延续和推广，也是高中立体几何部分的基本定理和准备知识，具有很强的实用性，在课改中被保留下来。

但是对定理内容的描述稍有改动，修改后的优点一是对“角方向相同”这个模糊概念的回避，优点二是强调在“两个角的两边分别对应平行”这个前提下，结论是不唯一的。

教学过程中，可通过动画展示、实物模拟等手段来调动学生的好奇心和求知欲，通过探索发现、类比推广与归纳总结，培养学生提出问题—分析问题—解决问题的能力。

二．学生学习情况分析

通过初中平面几何的学习，学生对几何问题的研究方法已经初步掌握，但是学生的思维往往局限在“平面”，导致考虑问题不全面，也就是说从“平面”到“空间”是一个非常大的跨越，学生往往会不适应，课堂上应注意引导。

教学过程中，还应经常把“平面几何”中的结论和“立体几何”中的结论进行对照，时刻提醒学生“平面几何”与“立体几何”的异同。

等角定理是立体几何中的第一个定理，如果善于使用多种教学手段，并且理论与实践相结合，定能激起学生的学习兴趣。

三．设计思想

本课采用实验探究、自主学习、合作交流、类比推广的研究性学习方式，重点放在定理的探究形成和定理的应用上，努力挖掘定理数学中蕴涵的思维价值，从实际出发，引入数学课题，最后把所学知识应用于实际问题。

四．教学目标

1.知识与技能：

（1）引导学生发现等角定理，重视探索过程；

（2）把等角定理稍作“修改”，从而引出异面直线所成的角；

（3）运用等角定理和异面直线所成的角等有关知识，解决和计算、证明有关的实际问题。

2.过程与方法：

让学生从已知的知识经验出发，通过对平面几何中等角定理的复习和动画演示，归纳总结出立体几何等角定理的内容，然后在等角定理中，把“平移一角”改为“平移一边”，从而引出异面直线所成的角的概念。

引导学生通过观察、猜想、比较归纳等角定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。

3.情感、态度与价值观：

（1）通过对等角定理和异面直线所成的角的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会认识事物的规律，培养探索精神和创新意识；

（2）通过学习和运用实践，体会数学的科学价值和应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养，初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的辩证唯物主义观点。

五．教学重点与难点

本节课的重点是等角定理和异面直线所成的角的探索；难点是用等角定理和异面直线所成的角等知识解决实际问题。

六．教学过程

自

主

学

习

学生认真阅读课本，学会以下内容：

公理1：

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（即直线在平面内）．

公理2：

经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面（即确定一个平面）．

公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．

公理4：

平行于同一直线的两条直线平行．

学生自己能够解决的问题，一定要放心地让学生自己去解决，老师不能代劳，培养学生独立解决问题的能力。

引

领

探

究

【探究一】等角定理

问题1．观察下图，思考在平面几何中,等角定理的内容是什么？

学生回答：

平面中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

问题2．在上图中，哪个角和∠AOB相等？

哪个角和∠AOB互补？

学生回答：

∠AOB=∠A’O’B’，∠AOB+∠A’O’C’=180o（用式子表示）．

问题3．通过观察脚手架的升降（点击这里观察动画），思考这个定理在空间成立不成立？

学生回答：

成立．

问题4．如何把平面几何中的等角定理改为立体几何中的等角定理？

研究成果：

空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（填定理内容）．

问题5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中,根据等角定理,找出两对相等的角和两对互补的角．

学生回答：

∠AOB=∠A1O1B1,∠ACB=∠A1C1B1，∠AOB+∠B1O1C1=180o,∠AOD+∠D1O1C1=180o。

【探究二】异面直线所成的角

问题6．由上面的动画可知，平移一个角，角的大小不变！

试问，如果平移锐角的一个边，使其成异面直线，角的大小会不会改变？

学生回答：

不会.

问题7．由此受到启发，思考什么是异面直线a、b所成的角？

学生回答：

过空间任意一点O分别作异面直线a,b的平行直线a’,b’,这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a,b所成的角．

问题8．类比两条相交直线垂直的定义，思考什么叫两条异面直线垂直？

学生回答：

如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b．

问题9．两条异面直线所成角的取值范围是什么？

学生回答：

（0o,90o]．

问题10．在问题5的图中，找出两对异面垂直的直线．

学生回答：

AB⊥B1C1,AC⊥B1D1．

【探究三】

例．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，求证四边形EFGH是平行四边形。

证明：

连接AC、BD，

易知EH是△ABD的中位线，

∴EH∥BD，

同理FG∥BD，

∴EH∥FG，

∴EFGH是平行四边形。

追问1．对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是矩形？

学生回答：

AC⊥BD．

追问2．对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？

学生回答：

AC=BD．

追问3．对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是正方形？

学生回答：

AC⊥BD且AC=BD．

通过实物模型展示，让学生复习平面几何的等角定理，为下一步引出立体几何的等角定理打下基础。

通过动画展示，很容易地把平面几何和等角定理推广成立体几何的等角定理。

通过问题5，让学生初步了解等角定理的应用。

把等角定理中的“平移一角”变为“平移一边”，很容易引出异面直线所成的角。

紧接着，引导学生总结异面垂直的概念和异面直线所成的角取值范围。

本题考察的是公理4，异面直线所成的角，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定等知识，初步培养学生的逻辑思维和变通能力．

训

练

检

测

课后训练检测设计（分基础、运用、拓展、提高类，渗透中、高考考点）

1．已知AB//PQ，BC//QR，∠ABC=30o，则∠PQR等于（C）

A．30oB．150oC．30o或150oD．以上结论都不对

2．如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心,则

AB与CC1所成的角_90o_；

BC与AD1所成的角_45o_；

DC1与CB1所成的角_60o_；

AD1与C1O所成的角_30o_。

3．如右图，已知AA1、BB1、CC1不共面，并且AA1//BB1，AA1=BB1，BB1//CC1，BB1=CC1．求证ABC≌A1B1C1．

提示：

由已知可证四边形ABB1A1和BCC1B1都是平行四边形，从而可证AB//A1B1，AB=A1B1，BC//B1C1，BC=B1C1，再由等角定理证出∠ABC=∠A1B1C1，再SAS定理即可证明ABC≌A1B1C1．

思考：

还有没有其它方法？

通过3个简单的检测题，了解学生对本节课内容的掌握情况，如果掌握情况不好，要及时补救．大题要求逻辑清晰，条理分明，书写工整！

板书设计

总结升

华

七．教学反思

本节课有两个重点内容：

一个是等角定理，一个是异面直线所成的角．等角定理的探讨，是把平面几何的等角定理，通过动画演示，直接推广成空间几何的等角定理，过渡自然，学生容易接受；探讨完等角定理后，把等角定理中的“平移一角”变为“平移一边”，很容易引出异面直线所成的角．在这两个重点问题中，学生思维活跃，发言积极，教学效果较好．由于时间的限制，综合性的问题没有在本节课中出现，这也是下一节课需要解决的问题。

八年级上册数学科导学案

学生：

洪伟腾

课题名称

等边三角形

时间

___11月2日

课型

复习

课时

3

主备人

王瑞

审核人

教学目标：

掌握等边三角形的定义、性质和判定并会应用

教学重点：

等边三角形的性质和判定

教学难点：

等边三角形的性质和判定的应用

本章知识网络：

知识点：

1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

2．等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

3．等边三角形的判定方法：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

【典型例题讲练】

重点例题：

例题1.如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:

（1）CE⊥CF;

（2）CF∥AD.

例题2.如图：

Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=22.5°,DC=BC,DE⊥AB．求证：

AE=BE．

例题3.已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？

例题4.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，

求证：

BC=3AD.

例题5.如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，

①求证：

△BCE≌△ACD；

②求证：

CF=CH；

③判断△CFH的形状并说明理由．

易错点例题:

例：

如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，求△AEF的周长．

分析：

由∠BDC=120°和∠EDF=60°得到∠BDE+∠CDF=60°，从而想到把这两个角拼在一起构造全等三角形，即延长AC至点P，使CP=BE，证明△BDE≌CDP，然后证明△DEF≌△DPF，得到EF=PF，从而把△AEF的周长转化为用△ABC的边长表示．

解：

延长AC至点P，使CP=BE，连接PD．

∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠ACB=60°

∵BD=CD，∠BDC=120°

∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠EBD=∠DCF=90°

∴∠DCP=∠DBE=90°

在△BDE和△CDP中

∴△BDE≌△CDP（SAS）

∴DE=DP，∠BDE=∠CDP

∵∠BDC=120°，∠EDF=60°

∴∠BDE+∠CDF=60°∴∠CDP+∠CDF=60°

∴∠EDF=∠PDF=60°

在△DEF≌△DPF中

∴△DEF≌△DPF（SAS）∴EF=FP∴EF=FC+BE

∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AB+AC=2

考点例题：

例题1.如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。

例题2.如图14-46，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD=，ΔEFC的周长=。

例题3.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BGAD，求证：

BP=2PG。

例题4.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。

例题5.如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H，求证：

GH∥AB。

例题6.如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：

ΔCMN是等边三角形。

课堂练习：

（时长：

20分钟，等级：

。

）

1.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE=CD，试判断△BDE的形状.

2.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作

正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，

BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；

④∠AOB=60°；⑤若M，N分别是AD，BE的中点，则△MCN为等边三角形；

连接OC，则∠AOC=∠EOC.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。

3.如图，已知点C是AB上一点，ΔACM、ΔCBN都是等边三角形．

（1）说明AN=MB．

（2）将ΔACM绕点C按逆时针旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图画出符合要求的图形．

（3）在

（2）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否成立？

若成立，请说明理由；若不成立，说明理由．

4.如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=1200，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.

（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由.

（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长.

（3）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，此时

（1）中的结论是否还成立，

在图2中画出图形，并说明理由.

课后巩固：

一、选择题

1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）

A．60°B．90°

C．120°D．150°

2．下列三角形：

①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）

A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④

3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）

A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形

C．直角三角形D．不等边三角形

4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）

A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm

5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）

A．等腰三角形B．等边三角形

C．不等边三角形D．不能确定形状

二、填空题

6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．

7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．

8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．

9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．

三、解答题

10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？

11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，

求证：

BC=3AD.

12．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，

①求证：

△BCE≌△ACD；

②求证：

CF=CH；

③判断△CFH的形状并说明理由．

13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：

连接CE）

答案：

一、1．C2．D3．A4．C5．B

二、6．60°7．60°8．三；三边的垂直平分线9．1cm

三、10．60°或120°

11．∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∴在Rt△ADC中CD=2AD，

∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，

∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD

12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCE=∠ACD．

又∵BC=AC，CE=CD，

∴△BCE≌△ACD；

②证明△BCF≌△ACH；

③△CFH是等边三角形．

13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，

再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°

信息反馈：

学生今日表现：

老师寄语：

本周最有意义的一件事：

家长意见：

家长签字：