32、如图，梯形ABCD中，AB//CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G.
（1）求证：
△CDFBGF;
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF//CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.33、图，？
ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA>OB.
（1）求sin/ABC的值；
否相似?
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？
若存在，请直接写岀F点的坐标；若不存在，请说明理由.
34、如图，直线DE经过。
O上的点C,并且OE=OD，EC=DC，OO交直线OD于A、B两点，连接
BC，AC，OC.求证：
（1）OC丄DE;
35、如图，在RtAABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点.过P作BC的垂线PR，R为垂足，/PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T,若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶
点E，F恰好分别在边BC，AC上.
（1）AABC与ASBR是否相似，说明理由；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.
5
36、如图，点D,E在BC上，且FD//AB,FE//AC.求证：
△ABCs\FDE.
37、如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF丄AE于F，试说明：
AABFEAD.
38、如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A、B两点，A（2，n），B（-1，
X
-2）.
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）在直线AB上是否存在一点P,使△APOAOB?
若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由.
39、已知：
如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，/BAC=/DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点.
（1）求证：
①BE=CD:
②厶AMN是等腰三角形；
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写岀
（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在
（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证：
APBDAMN.
40、如图，在4X3的正方形方格中，△ABC和ADEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空：
/ABC=°BC=;
（2）判断△ABC与ADEC是否相似，并证明你的结论.
7
DE
41、如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点，AD、BD分别平分/BAC和/ABC，延长AD分别与BC、半圆O交于点F、E，连接BE、CE.
（1）证明：
AABEsABFE;
（2）证明：
ABDE是等腰直角三角形；
（3）如果四边形ABEC是梯形，试求/ABC的大小.
42、如图，在AABC中，AB=AC，DE=EC，DH//BC，EF//AB，HE的延长线与BC的延长线相交于点
M，点G在BC上，且/仁/2，不添加辅助线，解答下列问题：
（1）找出一个等腰三角形；（不包括AABC）
（2）找出三对相似三角形；（不包括全等三角形）
（3）找出两对全等三角形，并选出一对进行证明.
43、如图，已知：
边长为1的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点.
（1）求弦DE的长.
（2）若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，三角形ADP与以Q，C，P为顶点的三角形相似?
44、如图，已知半圆的半径0A=1，将一个三角板的直角顶点固定在圆心上，当三角板绕着圆心转动时,三角板的两条直角与半圆分别交于C、D两点，连接AD、BC交于点E.
（1）求证：
△ACEbde;
45、如图，△ABC内接于。
0,过C作CD//AB与。
O相交于D点，E是CD上一点，且满足AD=DE，连接BD与AE相交于点F.求证：
△ADFABC.
46、如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF丄AE于F.
（1）求证：
△^FAABE;
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？
若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由.
47、如图，点0是△ABC外的一点，分别在射线0A，OB，0C上取一点A'，B'，C，使得
0A=-0B°C=3，连接AB'B'C'C'A所得AA'B'^MBC是否相似？
证明你的结论.
0AOB0C
48、如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形AOBC的四个顶点坐标分别为A（2,2j3）,O（0,0）,B
（8，0），C（6，2府）•
（1）求等腰梯形AOBC的面积；
（2）试说明点A在以0B的中点D为圆心，0B为直径的圆上；
（3）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，求出所有符合条件的点M的坐标.
49、已知：
如图，AB是。
O的直径，AB=6，延长AB到点C，使BC=AB,D是。
O上一点，DC=62.求证：
（1）ACDBCAD;
（2）CD是。
O的切线.
50、如图，平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，/BAD=12C°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF丄AB于F，FE，DC的延长线交于点G,设BE=x，△DEF的面积为S.
（1）求证：
△BEFCEG;
（2）求用x表示S的函数表达式，并写岀x的取值范围；
（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？
AD
51、在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b，P是边CD上异于点C、D的任意一点.
（1）若a=2b，当点P在什么位置时，△APB与ABCP相似？
（不必证明）
（2）若a工2b，①判断以AB为直径的圆与直线CD的位置关系，并说明理由；②是否存在点P,使以A、
B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似？
（不必证明）
52、如图OO的内接△ABC中，外角/ACF的角平分线与。
O相交于D点，DP丄AC，垂足为P,DH丄
BF,垂足为H.问：
（1）ZPDC与/HDC是否相等，为什么？
（2）图中有哪几组相等的线段？
（3）当AABC满足什么条件时，△CPDCBA，为什么？
B
53、A.某中学师生在劳动基地活动时，看到木工师傅在材料边角处画直角时，用了一种三弧法”方法
是：
1画线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧相交于C;
2以C为圆心，仍以AB长为半径画弧交AC的延长线于D;
3连接DB•则/ABD就是直角.
（1）请你就/ABD是直角作出合理解释；
（2）现有一长方形木块的残留部分如图，其中AB，CD整齐且平行，BC，AD是参差不齐的毛边.请你
在毛边附近用尺规画一条与AB，CD都垂直的边（不写作法，保留作图痕迹）；
B.如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，/BAC=45，/BDC=60，CE丄BD，E为垂足，连接AE.
（1）写岀图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明；
（2）图中有无相似三角形？
若有，请写出一对；若没有，请说明理由.
54、如图，△ABC为圆0的内接三角形，BD为。
O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4.
（1）求证：
△ABEADB，并求AB的长；
（2）延长DB到F,使BF=BO，连接FA，那么直线FA与。
0相切吗？
为什么?
55、如图，AB是。
O的直径，。
O交BC的中点与D,DE丄AC.
（1）求证：
比ADCED;
（2）求证：
DE是。
O的切线.
56、如图1，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点P,E为BC的中点，过E点的圆O与BD相切于点P，圆O与直线AC，BC分别交于点F，G.
（1）求证：
△^CDEPF;
（2）如果AB=AD，AC=6，BD=8（如图2）.求圆O的直径.
（2）△HEFHBC.
如图，在Rt△ABC中，已知/ACB=90，且CH丄AB，HE丄BC，HF丄AC.
求证：
（1）△HEFEHC;
58、已知：
如图，直线EF与。
O相切于点C，AB是。
O的直径，且BC=3，Ac=4.
（1）求半径OC的长；
（2）在切线EF上找一点M,使得以B、M、C为顶点的三角形与△ACO相似.
59、已知，如图（甲），正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不运动到M和C,以AB为直径做。
0,过点P作。
O的切线交AD于点F，切点为E.
（1）求四边形CDFP的周长；
（2）试探索P在线段MC上运动时，求AF?
BP的值；
（3）延长DC、FP相交于点G,连接0E并延长交直线DC于H（如图乙），是否存在点P，使AEFOs△EHG?
如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说明理由.
rG
60、已知/MON=90，等边三角形ABC的一个顶点A是射线0M上的一定点，顶点B与点0重合，顶点C在/M0N内部.
（1）当顶点B在射线0N上移动到Bi时，连接ABi，请在/MON内部作出以ABi为一边的等边三角形ABiCi（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设ABi与0C交于点Q，AC的延长线与BiCi交于点D.求证：
AACQABiD；
（3）连接CCi，试猜想/ACCi为多少度？
并证明你的猜想.
6i、如图，已知△ABC内接于。
0，AE切。
0于点A，BC//AE.
（i）求证：
△ABC是等腰三角形；
（2）设AB=iOcm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的三角形与AABC相似，问这样的点有几个并求AP的长.
D
\B
0
q
e
66、图，已知OB的半径r=1,PA、PO是。
B的切线，A、O是切点.过点A作弦AC//PO,连接CO、
AO（如图1）.
（1）问△"AO与△OAC有什么关系？
证明你的结论；
（2）把整个图形放在直角坐标系中（如图2），使OP与x轴重合，B点在y轴上.
设P（t，0），P点在x轴的正半轴上运动时，四边形PACO的形状随之变化，当这图形满足什么条件时,四边形PACO是菱形？
说明理由.
（1）求证：
△:
DEFAE;
BC=2CD时,
如图，已知△ABC内接于OO,D是。
O上一点，连接BD、CD、AC、BD交于点E.请找出图中的相似三角形，并加以证明；
若/D=45，BC=2，求OO的面积.
69、如图，OA和OB是外离两圆，OA的半径长为2，OB的半径长为1，AB=4P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，切OA于点C，PD切OB于点D.
（1）若PC=PD，求PB的长.
（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4?
如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值;如果不存在，说明理由.
（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC丄PD时，就有AAPCPBD.请问：
除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论.
70、本上有这样一题：
已知，如图
（1）,O点在△ABC内部，连AO、BO、CO,A'、B'、C'分别在AO、
BO、CO上，且AB//AB'BC//B'C'
求证：
AOACOAC'.若将这题图中的O点移至△ABC夕卜，如图
（2）,其它条件不变，题中要求证的
结论成立吗？
（1）在图
（2）基础上画出相应的图形，观察并回答：
成立（填成立或不成立）
（2）证明你
（1）中观察到的结论.
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