三角函数辅助角公式化简.docx

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三角函数辅助角公式化简

三角函数辅助角公式化简

一、解答题

1．已知函数，

（1）求的对称中心；

（2）讨论在区间上的单调性.

2．已知函数.

（1）将化简为的形式，并求最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.

3．已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的单调递增区间及最大值与最小值．

4．设函数.

（1）求函数的最小正周期及最大值；

（2）求函数的单调递增区间.

5．已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的值域.

6．已知函数.

（Ⅰ）求函数的对称中心；

（Ⅱ）求在上的单调区间.

7．已知函数，求

（1）求的最小正周期；

（2）求函数的单调递增区间

（3）求在区间上的最大值和最小值.

8．设函数.

（1）求的最小正周期；

（2）讨论在区间上的单调性.

9．已知函数，

（I）求的最大值和对称中心坐标；

（Ⅱ）讨论在上的单调性。

10．已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.

11．设.

（1）求的单调递增区间；

（2）锐角中，角的对边分别为，若，，，求的值.

12．已知函数.

（1）求函数的单调增区间；

（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值.

13．设函数.

（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；

（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.

14．已知，其中，若的最小正周期为.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）锐角三角形中，，求的取值范围.

15．已知=（sinx，cosx），=（cosφ，sinφ）（|φ|＜）．函数

f（x）=•且f（－x）=f（x）．

（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递增区间；

（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移单位得g（x）的图象，若g（x）+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立，求实数a的取值范围．

16．已知向量=（2cos，sin），=（cos，2cos），（ω＞0），设函数f（x）=•，且f（x）的最小正周期为π．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）求f（x）的单调递增区间．

17．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象，写出变换过程;

（3）若，求的值.

18．已知函数

（1）求函数在上的单调递增区间；

（2）若且，求的值。

19．已知，

（1）求函数的单调递增区间；

（2）设△ABC的内角A满足，而，求边BC的最小值．

20．已知函数

（1）求的最小正周期和最大值；

（2）讨论在上的单调性．

21．已知，求：

（1）的单调增区间；

（2）当时，求的值域.

22．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.

（1）求的值；

（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.

23．已知函数.

（1）求函数的递减区间；

（2）当时，求函数的最小值以及取最小值时的值.

24．已知函数.

（1）求函数的对称中心和单调递减区间；

（2）若将函数图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的表达式.

参考答案

1．

（1）对称中心为，；

（2）增区间为，减区间为.

【解析】试题分析：

利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x轴上；

（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间．

试题解析：

1）由已知

令，得，对称中心为，.

（2）令，

得，,增区间为

令，

得，,增区间为

上的增区间为，减区间为.

2．

（1），；

（2）时，，时，.

【解析】试题分析：

（1）由三角函数的公式化简可得，由周期公式可得答案；

（2）由x的范围可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．

试题解析：

（1）

所以.

（2）因为，所以

所以，所以，

当，即时，，

当，即时，.

3．

（1）

（2）最大值为-2，最小值为1．

【解析】试题分析：

（1）化简函数的解析式得，根据求周期；

（2）先求出函数的单调递增区间，再求其与区间的交集即可；根据的取值范围确定函数在上的最大值与最小值。

试题解析：

（1）

．

所以的最小正周期．

（2）令，函数的单调递增区间是，．

由，得，．

设，，易知．

所以，当时，在区间上单调递增。

∵，

∴，

∴，

∴

∴最大值为2，最小值为-1．

点睛：

解题的关键是将函数化成f（x）＝Asin（ωx＋φ）的形式后，把ωx＋φ看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”，如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

4．

（1），最大值为1

（2）

【解析】试题分析：

（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期及最大值；

（2）根据正弦函数性质列不等式，解得函数的单调递增区间.

试题解析：

解：

（1）

当

即时

取最大值为1

（2）令

∴的单调增区间为

5．

（1）答案见解析；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）整理函数的解析式可得，则函数的最小正周期为；对称轴方程为；

（2）结合函数的定义域和

（1）中整理的函数的解析式可得函数的值域为.

试题解析：

（1）

由

函数图象的对称轴方程为

（2）

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，取最大值1

又，当时，取最小值

所以函数在区间上的值域为

6．

（1）

（2）

【解析】试题分析：

（1），令解得x即可（Ⅱ）求在上的单调区间，则令解得x,对k赋值得结果.

试题解析：

（Ⅰ）

令，得，

故所求对称中心为

（Ⅱ）令，解得

又由于，所以

故所求单调区间为.

点睛：

三角函数的大题关键是对f（x）的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成类型，把wx+看成整体进行分析.

7．

（1）；

（2）单调递增区间为；（3），.

【解析】试题分析：

（1）由和差角公式及二倍角公式化简得：

，进而得最小正周期；

（2）由可得增区间；

（3）由得，根据正弦函数的图象可得最值.

试题解析：

（1）

.

的最小正周期.

（2）由

解得

函数的单调递增区间为

（3）

当时，，

当时，，.

点睛：

三角函数式的化简要遵循“三看”原则

（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.

8．

（1）

（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减.

【解析】试题分析：

（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得的最小正周期；

（2）根据正弦函数性质求上单调区间，即得在区间上的单调性.

试题解析：

（1）

（2）令，解得（）

∵，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减.

9．（Ⅰ）最大值为，对称中心为：

；（Ⅱ）递增区间：

和；递减区间：

.

【解析】试题分析：

（1）由正弦的倍角公式和降幂公式，f（x）可化简为，可知最大值为2，对称中心由，解得x可求。

（2）先求得f（x）最大增区间与减区间，再与做交，即可求得单调性。

试题解析：

（Ⅰ），所以最大值为，由，解得x=,r所以对称中心为：

；

（Ⅱ）先求f（x）的单调增区间，由，解得，在上的增区间有和。

同理可求得f（x）的单调减区间，，在上的减速区间有.

递增区间：

和；递减区间：

.

10．

（1）；

（2）的取值范围为

【解析】试题分析：

（1）由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为：

f（x）＝2sin，结合三角函数的周期公式可知T＝π.

（2）原问题等价于，结合函数的图象可得或，求解不等式可得a的取值范围为.

试题解析：

（1）f（x）＝2cosxcos（x－）－sin2x＋sinxcosx

＝cos2x＋sinxcosx－sin2x＋sinxcosx

＝cos2x＋sin2x

＝2sin，

∴T＝π.

（2）

画出函数在x∈的图像，由图可知或

故a的取值范围为.

11．

（1）

（2）

【解析】试题分析：

（1）由三角恒等变换化简得，由可解得增区间

（2）由得，，由余弦定理得，即即得

试题解析：

（1）由题意知，

由可得

所以函数的单调递增区间是

（2）由得，又为锐角，所以.

由余弦定理得：

，即，

即，而，所以

12．

（1）函数的单调增区间为；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）由化一公式得，，得结果；

（2），∴，再由余弦定理得.

化简可得：

.

（1）由，.

得：

.

∴函数的单调增区间为，.

（2）∵，即.

∴.

可得，.

∵，

∴.

由，且的面积为，即.

∴.

由余弦定理可得：

.

∴.

13．

（1）,

（2）a最小值为1.

【解析】试题分析：

（1）利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一；

（2）由得

到，；由余弦定理得最小为1；

（1）

=

的最大值为2．

要使取最大值,

故的集合为.

（2）,

化简得,

，只有

在中，由余弦定理，,

由当时等号成立，最小为1.

点睛：

（1）要求三角函数的最值，就要化成，一次一角一函数的形式；

（2）巧妙利用三角函数值求得角A，再利余弦定理得边的关系，得到最值；

14．

（1）

（2）

【解析】试题分析：

（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数：

，再根据正弦函数周期性质求，并根据单调性性质求单调增区间

（2）先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得，即得，根据锐角三角形得A取值范围，根据正弦函数性质求的取值范围.

试题解析：

（1），最小正周期为，

∴，令，即，

∴的单调递增区间为.

（2）∵，∴，

整理得：

，，，∵锐角三角形，∴且，

∴，∴，∴.

15．（Ⅰ）f（x）=sin（x+），；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（1）利用向量的坐标运算得到，再由f（-x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称，所以+φ=+kπ，进而得到φ=，利用三角函数的性质求解单调区间即可；

（2）将f（x）的图象向右平移单位得g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立，利用数形结合分别研究h（x）=sinx-cosx和φ（x）=ax—1即可.

试题解析：

（Ⅰ）∵f（x）=•=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），

再由f（-x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称，

∴+φ=+kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=

∴f（x）=sin（x+），

由2kπ-≤x+≤2kπ+可得2kπ-≤x≤2kπ+，

∴函数的递增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z；

（Ⅱ）由图象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立．

也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0，]上恒成立.

令h（x）=sinx-cosx=sin（x-），x∈[0，]；

φ（x）=ax-1

如下图：

h（x）的图象在φ（x）图象的下方，

则：

a≥kAB==，故.

16．

（1）f（x）=2sin（2x+）+1；

（2）单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．

【解析】试题分析：

（1）先根据向量数量积得函数关系式，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求

（2）根据正弦函数性质列不等式：

，再解不等式可得增区间

试题解析：

解：

（1）向量=（2cos，sin），=（cos，2cos），（ω＞0），

则函数f（x）=•=2cos2+2sin•cos=cosωx+1+sinωx=2sin（ωx+）+1，

∵f（x）的最小正周期为π，

∴π=．解得ω=2，

∴f（x）=2sin（2x+）+1；

（2）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，

即﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．

17．

（1）

（2）见解析（3）

【解析】试题分析：

（1）直接由函数图象求得和周期，再由周期公式求得ω，由五点作图的第三点求；

（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；

（3）由求出，然后把转化为余弦利用倍角公式得答案．

试题解析:

解：

（1）.

（2）法1：

先将的图象向左平移个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，所得图象即为的图象.

法2：

先将的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，，所得图象即为的图象.

（3）由,

得：

，

而.

点睛：

图象变换

（1）振幅变换

（2）周期变换

（3）相位变换

（4）复合变换

18．

（1）和。

（2）.

【解析】试题分析：

整理函数的解析式为.

（1）利用正弦函数的单调性可得函数在上的单调递增区间是和。

（2）由题意可得，则.

试题解析：

.

（1）令

得

所以函数在上的单调递增区间为和。

（2）因为，所以

因为，所以

所以

=

19．

（1）;

（2）

【解析】试题分析：

利用和差角及二倍角公式对函数化简可得

（1）令，解不等式可得答案；

（2）由

及0＜A＜π可得，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又△ABC中，从而可求

试题解析：

（1）=

由得，

故所求单调递增区间为．

（2）由得，

∵，即，∴bc=2，

又△ABC中，=，

∴

20．

（1）π，1－

（2）在[，]上单调递增；在[，]上单调递减．

【解析】试题分析：

（1）整理函数的解析式，则函数的最小正周期为，最大值为；

（2）结合

（1）中函数的解析式和三角函数的性质可得函数在上单调递增；在上单调递减．

试题解析：

（1）f（x）＝cosxsinx－cos2x

＝cosxsinx－（1＋cos2x）

＝sin2x－cos2x－

＝sin（2x－）－，

因此f（x）的最小正周期为π，最大值为1－

（2）当x∈[，]时，≤2x－≤.

易知当≤2x－≤，即≤x≤时，f（x）单调递增，

当≤2x－≤，即≤x≤时，f（x）单调递减．

所以f（x）在[，]上单调递增；在[，]上单调递减．

21．

（1）

（2）[0,3]

【解析】试题分析：

（1）根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数性质求单调增区间；

（2）根据自变量范围求范围,再根据正弦函数性质求值域

试题解析：

（1）由，得，

函数的单调增区间为.

（2）因为，，

，.

22．

（1）

（2）

【解析】试题分析：

（1）由两相邻对称轴间的距离为可得半个周期为.进而求出，由偶函数可得，由三角函数恒等变形可得.代入自变量即得的值；

（2）先根据图像变换得到的解析式.再根据余弦函数性质求的单调递减区间.

试题解析：

解：

（1）∵为偶函数，

∴对恒成立，∴.

即：

又∵，故.

∴

由题意得，所以

故，∴

（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象.

∴.

当，

即时，单调递减，

因此的单调递减区间为.

点睛：

三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.

23．

（1）的递减区间为;

（2）当时,取最小值为.

【解析】试题分析：

（1）整理函数的解析式，据此可得的递减区间为;

（2）结合

（1）中函数的解析式讨论函数的单调性，然后结合三角函数的性质可得当时,取最小值为.

试题解析：

（1）

要求函数的递减区间，只需满足

，即，

所以，的递减区间为

（区间开闭均可，不写扣1分，不写成区间扣2分）

（2）由

（1）知，

而，所以，，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以，当，即时，

取最小值为.

24．

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）将函数化为，求出对称中心和单调递减区间；

（2）由函数图象的伸缩变换和平移变换变换得到函数的图象。

试题解析;

（1），令得，，所以，即的对称中心为

由得，，

所以函数的单调递减区间为.

（2）由

（1），，将函数图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），得到，将其向左平移个单位长度，得到函数的图象，则，即.