三角函数辅助角公式化简.docx
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三角函数辅助角公式化简
三角函数辅助角公式化简
一、解答题
1.已知函数,
(1)求的对称中心;
(2)讨论在区间上的单调性.
2.已知函数.
(1)将化简为的形式,并求最小正周期;
(2)求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.
3.已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)求在区间上的单调递增区间及最大值与最小值.
4.设函数.
(1)求函数的最小正周期及最大值;
(2)求函数的单调递增区间.
5.已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程;
(Ⅱ)求函数在区间上的值域.
6.已知函数.
(Ⅰ)求函数的对称中心;
(Ⅱ)求在上的单调区间.
7.已知函数,求
(1)求的最小正周期;
(2)求函数的单调递增区间
(3)求在区间上的最大值和最小值.
8.设函数.
(1)求的最小正周期;
(2)讨论在区间上的单调性.
9.已知函数,
(I)求的最大值和对称中心坐标;
(Ⅱ)讨论在上的单调性。
10.已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)若关于的方程在上有两个不同的实根,求实数的取值范围.
11.设.
(1)求的单调递增区间;
(2)锐角中,角的对边分别为,若,,,求的值.
12.已知函数.
(1)求函数的单调增区间;
(2)的内角,,所对的边分别是,,,若,,且的面积为,求的值.
13.设函数.
(1)求的最大值,并写出使取最大值时的集合;
(2)已知中,角的边分别为,若,求的最小值.
14.已知,其中,若的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)锐角三角形中,,求的取值范围.
15.已知=(sinx,cosx),=(cosφ,sinφ)(|φ|<).函数
f(x)=•且f(-x)=f(x).
(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调递增区间;
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移单位得g(x)的图象,若g(x)+1≤ax+cosx在x∈[0,]上恒成立,求实数a的取值范围.
16.已知向量=(2cos,sin),=(cos,2cos),(ω>0),设函数f(x)=•,且f(x)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求f(x)的单调递增区间.
17.已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象,写出变换过程;
(3)若,求的值.
18.已知函数
(1)求函数在上的单调递增区间;
(2)若且,求的值。
19.已知,
(1)求函数的单调递增区间;
(2)设△ABC的内角A满足,而,求边BC的最小值.
20.已知函数
(1)求的最小正周期和最大值;
(2)讨论在上的单调性.
21.已知,求:
(1)的单调增区间;
(2)当时,求的值域.
22.已知函数为偶函数,且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求的值;
(2)函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求的单调递减区间.
23.已知函数.
(1)求函数的递减区间;
(2)当时,求函数的最小值以及取最小值时的值.
24.已知函数.
(1)求函数的对称中心和单调递减区间;
(2)若将函数图象上每一点的横坐标都缩短到原来的(纵坐标不变),然后把所得图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,求函数的表达式.
参考答案
1.
(1)对称中心为,;
(2)增区间为,减区间为.
【解析】试题分析:
利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数,根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0,从而角的终边在x轴上;
(2)首先求出函数的单调区间,再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间.
试题解析:
1)由已知
令,得,对称中心为,.
(2)令,
得,,增区间为
令,
得,,增区间为
上的增区间为,减区间为.
2.
(1),;
(2)时,,时,.
【解析】试题分析:
(1)由三角函数的公式化简可得,由周期公式可得答案;
(2)由x的范围可得的范围,可得f(x)的范围,结合三角函数在该区间的单调性,可得最值及对应的x值.
试题解析:
(1)
所以.
(2)因为,所以
所以,所以,
当,即时,,
当,即时,.
3.
(1)
(2)最大值为-2,最小值为1.
【解析】试题分析:
(1)化简函数的解析式得,根据求周期;
(2)先求出函数的单调递增区间,再求其与区间的交集即可;根据的取值范围确定函数在上的最大值与最小值。
试题解析:
(1)
.
所以的最小正周期.
(2)令,函数的单调递增区间是,.
由,得,.
设,,易知.
所以,当时,在区间上单调递增。
∵,
∴,
∴,
∴
∴最大值为2,最小值为-1.
点睛:
解题的关键是将函数化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式后,把ωx+φ看成一个整体去处理,特别是在求单调区间的时候,要注意复合函数单调性规律“同增异减”,如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
4.
(1),最大值为1
(2)
【解析】试题分析:
(1)先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式,再根据正弦函数性质求最小正周期及最大值;
(2)根据正弦函数性质列不等式,解得函数的单调递增区间.
试题解析:
解:
(1)
当
即时
取最大值为1
(2)令
∴的单调增区间为
5.
(1)答案见解析;
(2).
【解析】试题分析:
(1)整理函数的解析式可得,则函数的最小正周期为;对称轴方程为;
(2)结合函数的定义域和
(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为.
试题解析:
(1)
由
函数图象的对称轴方程为
(2)
因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以当时,取最大值1
又,当时,取最小值
所以函数在区间上的值域为
6.
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(1),令解得x即可(Ⅱ)求在上的单调区间,则令解得x,对k赋值得结果.
试题解析:
(Ⅰ)
令,得,
故所求对称中心为
(Ⅱ)令,解得
又由于,所以
故所求单调区间为.
点睛:
三角函数的大题关键是对f(x)的化简,主要是三角恒等变换的考查,化简成类型,把wx+看成整体进行分析.
7.
(1);
(2)单调递增区间为;(3),.
【解析】试题分析:
(1)由和差角公式及二倍角公式化简得:
,进而得最小正周期;
(2)由可得增区间;
(3)由得,根据正弦函数的图象可得最值.
试题解析:
(1)
.
的最小正周期.
(2)由
解得
函数的单调递增区间为
(3)
当时,,
当时,,.
点睛:
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的区别和联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
(2)而看“函数名称”看函数名称之间的差异,从而确定使用公式,常见的有“切化弦”;
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式通分”等.
8.
(1)
(2)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
【解析】试题分析:
(1)先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数性质得的最小正周期;
(2)根据正弦函数性质求上单调区间,即得在区间上的单调性.
试题解析:
(1)
(2)令,解得()
∵,∴在区间上单调递增,在区间上单调递减.
9.(Ⅰ)最大值为,对称中心为:
;(Ⅱ)递增区间:
和;递减区间:
.
【解析】试题分析:
(1)由正弦的倍角公式和降幂公式,f(x)可化简为,可知最大值为2,对称中心由,解得x可求。
(2)先求得f(x)最大增区间与减区间,再与做交,即可求得单调性。
试题解析:
(Ⅰ),所以最大值为,由,解得x=,r所以对称中心为:
;
(Ⅱ)先求f(x)的单调增区间,由,解得,在上的增区间有和。
同理可求得f(x)的单调减区间,,在上的减速区间有.
递增区间:
和;递减区间:
.
10.
(1);
(2)的取值范围为
【解析】试题分析:
(1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为:
f(x)=2sin,结合三角函数的周期公式可知T=π.
(2)原问题等价于,结合函数的图象可得或,求解不等式可得a的取值范围为.
试题解析:
(1)f(x)=2cosxcos(x-)-sin2x+sinxcosx
=cos2x+sinxcosx-sin2x+sinxcosx
=cos2x+sin2x
=2sin,
∴T=π.
(2)
画出函数在x∈的图像,由图可知或
故a的取值范围为.
11.
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(1)由三角恒等变换化简得,由可解得增区间
(2)由得,,由余弦定理得,即即得
试题解析:
(1)由题意知,
由可得
所以函数的单调递增区间是
(2)由得,又为锐角,所以.
由余弦定理得:
,即,
即,而,所以
12.
(1)函数的单调增区间为;
(2).
【解析】试题分析:
(1)由化一公式得,,得结果;
(2),∴,再由余弦定理得.
化简可得:
.
(1)由,.
得:
.
∴函数的单调增区间为,.
(2)∵,即.
∴.
可得,.
∵,
∴.
由,且的面积为,即.
∴.
由余弦定理可得:
.
∴.
13.
(1),
(2)a最小值为1.
【解析】试题分析:
(1)利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一;
(2)由得
到,;由余弦定理得最小为1;
(1)
=
的最大值为2.
要使取最大值,
故的集合为.
(2),
化简得,
,只有
在中,由余弦定理,,
由当时等号成立,最小为1.
点睛:
(1)要求三角函数的最值,就要化成,一次一角一函数的形式;
(2)巧妙利用三角函数值求得角A,再利余弦定理得边的关系,得到最值;
14.
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(1)先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数:
,再根据正弦函数周期性质求,并根据单调性性质求单调增区间
(2)先根据正弦定理将边化为角,由诱导公式及两角和正弦公式化简得,即得,根据锐角三角形得A取值范围,根据正弦函数性质求的取值范围.
试题解析:
(1),最小正周期为,
∴,令,即,
∴的单调递增区间为.
(2)∵,∴,
整理得:
,,,∵锐角三角形,∴且,
∴,∴,∴.
15.(Ⅰ)f(x)=sin(x+),;(Ⅱ).
【解析】试题分析:
(1)利用向量的坐标运算得到,再由f(-x)=f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以+φ=+kπ,进而得到φ=,利用三角函数的性质求解单调区间即可;
(2)将f(x)的图象向右平移单位得g(x)=sinx,即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0,]上恒成立,利用数形结合分别研究h(x)=sinx-cosx和φ(x)=ax—1即可.
试题解析:
(Ⅰ)∵f(x)=•=sinxcosφ+cosxsinφ=sin(x+φ),
再由f(-x)=f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x=对称,
∴+φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=
∴f(x)=sin(x+),
由2kπ-≤x+≤2kπ+可得2kπ-≤x≤2kπ+,
∴函数的递增区间为[2kπ-,2kπ+],k∈Z;
(Ⅱ)由图象平移易知g(x)=sinx,即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0,]上恒成立.
也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0,]上恒成立.
令h(x)=sinx-cosx=sin(x-),x∈[0,];
φ(x)=ax-1
如下图:
h(x)的图象在φ(x)图象的下方,
则:
a≥kAB==,故.
16.
(1)f(x)=2sin(2x+)+1;
(2)单调递增区间为[﹣+kπ,+kπ],k∈Z.
【解析】试题分析:
(1)先根据向量数量积得函数关系式,再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数,最后根据正弦函数性质求
(2)根据正弦函数性质列不等式:
,再解不等式可得增区间
试题解析:
解:
(1)向量=(2cos,sin),=(cos,2cos),(ω>0),
则函数f(x)=•=2cos2+2sin•cos=cosωx+1+sinωx=2sin(ωx+)+1,
∵f(x)的最小正周期为π,
∴π=.解得ω=2,
∴f(x)=2sin(2x+)+1;
(2)令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
即﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为[﹣+kπ,+kπ],k∈Z.
17.
(1)
(2)见解析(3)
【解析】试题分析:
(1)直接由函数图象求得和周期,再由周期公式求得ω,由五点作图的第三点求;
(2)由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案;
(3)由求出,然后把转化为余弦利用倍角公式得答案.
试题解析:
解:
(1).
(2)法1:
先将的图象向左平移个单位,再将所得图象纵坐标不变,横坐标压缩为原来的倍,所得图象即为的图象.
法2:
先将的图象纵坐标不变,横坐标压缩为原来的倍,再将所得图象向左平移个单位,,所得图象即为的图象.
(3)由,
得:
,
而.
点睛:
图象变换
(1)振幅变换
(2)周期变换
(3)相位变换
(4)复合变换
18.
(1)和。
(2).
【解析】试题分析:
整理函数的解析式为.
(1)利用正弦函数的单调性可得函数在上的单调递增区间是和。
(2)由题意可得,则.
试题解析:
.
(1)令
得
所以函数在上的单调递增区间为和。
(2)因为,所以
因为,所以
所以
=
19.
(1);
(2)
【解析】试题分析:
利用和差角及二倍角公式对函数化简可得
(1)令,解不等式可得答案;
(2)由
及0<A<π可得,利用向量数量积的定义可得,bc=2,利用余弦定理可得可得又△ABC中,从而可求
试题解析:
(1)=
由得,
故所求单调递增区间为.
(2)由得,
∵,即,∴bc=2,
又△ABC中,=,
∴
20.
(1)π,1-
(2)在[,]上单调递增;在[,]上单调递减.
【解析】试题分析:
(1)整理函数的解析式,则函数的最小正周期为,最大值为;
(2)结合
(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得函数在上单调递增;在上单调递减.
试题解析:
(1)f(x)=cosxsinx-cos2x
=cosxsinx-(1+cos2x)
=sin2x-cos2x-
=sin(2x-)-,
因此f(x)的最小正周期为π,最大值为1-
(2)当x∈[,]时,≤2x-≤.
易知当≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,
当≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.
所以f(x)在[,]上单调递增;在[,]上单调递减.
21.
(1)
(2)[0,3]
【解析】试题分析:
(1)根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数性质求单调增区间;
(2)根据自变量范围求范围,再根据正弦函数性质求值域
试题解析:
(1)由,得,
函数的单调增区间为.
(2)因为,,
,.
22.
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(1)由两相邻对称轴间的距离为可得半个周期为.进而求出,由偶函数可得,由三角函数恒等变形可得.代入自变量即得的值;
(2)先根据图像变换得到的解析式.再根据余弦函数性质求的单调递减区间.
试题解析:
解:
(1)∵为偶函数,
∴对恒成立,∴.
即:
又∵,故.
∴
由题意得,所以
故,∴
(2)将的图象向右平移个单位后,得到的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到的图象.
∴.
当,
即时,单调递减,
因此的单调递减区间为.
点睛:
三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数;函数是偶函数;函数是奇函数;函数是偶函数.
23.
(1)的递减区间为;
(2)当时,取最小值为.
【解析】试题分析:
(1)整理函数的解析式,据此可得的递减区间为;
(2)结合
(1)中函数的解析式讨论函数的单调性,然后结合三角函数的性质可得当时,取最小值为.
试题解析:
(1)
要求函数的递减区间,只需满足
,即,
所以,的递减区间为
(区间开闭均可,不写扣1分,不写成区间扣2分)
(2)由
(1)知,
而,所以,,
当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以,当,即时,
取最小值为.
24.
(1);
(2).
【解析】试题分析:
(1)将函数化为,求出对称中心和单调递减区间;
(2)由函数图象的伸缩变换和平移变换变换得到函数的图象。
试题解析;
(1),令得,,所以,即的对称中心为
由得,,
所以函数的单调递减区间为.
(2)由
(1),,将函数图象上每一点的横坐标都缩短到原来的(纵坐标不变),得到,将其向左平移个单位长度,得到函数的图象,则,即.