归纳:
本题根据:
如果几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都等于0,先求出点的坐标,然后再根据路程=速度×时间得到相关线段的长度。
最后运用梯形的面积公式解决相关问题。
练习:
1.如图,在长方形ABCD中,边AB=8,BC=4,以点O为原点,OA,OC所在的直线为y轴和x轴,建立直角坐标系.
(1)点A的坐标为(0,4),则B点坐标为______,C点坐标为______;
(2)当点P从C出发,以2单位/秒速度向CO方向移动(不超过O点),Q从原点O出发以1单位/秒速度向OA方向移动(不超过A点),P,Q同时出发,在移动过程中,四边形OPBQ的面积是否变化?
若不变,求其值;若变化,请说明理由.
二.平行线中的动点问题
在初一阶段,平行线的性质是重点内容,对于初一学生来说也是难点,平行线的性质与判定的灵活运用是现在考试中的热点,经常会设计类似下图的问题,如果学生能熟练掌握下图的规律,在以后的解决问题时就会起到事半功倍的效果,从而提升学生学习数学的兴趣。
如图AB∥CD,动点P所在的位置不同,∠PCD,∠PAB,∠APB三个角的关系就不同。
图1.∠PCD+∠PAB=∠APB(中间的角∠APB最大,两小的和等于最大角)
图2.∠PAB=∠APB+∠PCD(点P在最上边,上面的两个角的和等于最下面的角)
图3.∠PCD=∠PAB+∠APB(点P在最下边,下面的两个角的和等于最上面的角)
例3.(安阳期末)
(1)已知AB∥CD,那么图1中∠PAB,∠APC,∠PCD之间有什么数量关系?
并说明理由。
(2)已知∠BAC=80°,点D是线段AC上一点,CE∥BD,∠ABD和∠ACE的平分线交于点F,请利用
(1)的结论求出图2中∠F的度数。
解析:
(1)过点P作PE∥AB,
因为AB∥CD,所以PE∥CD
所以∠EPC=∠C,∠EPA=∠A
因为∠EPC=∠EPA+∠APC
所以∠C=∠A+∠APC
小结:
这道题的规律是点P为两平行线外一点,三个角的大小关系是:
两个较小角的和等于较大的角。
题中要求利用第一问的结论,求∠F。
所以我们首先研究
(1)的结论与
(2)的图形有什么关系,能否把
(2)的图形转化为与
(1)的图形一样。
如图4延长BD,过F作BD的平行线,这样就能看到点A和P在两平行线外侧,
∠A=∠ACE-∠ABC=80°;
∠BCF=∠FCE-∠FBC=
小结:
这道题目实际上是例1图3的应用。
掌握住上面的规律来解题能起到事半功倍的效果。
三.动点在截线上运动
例2:
已知AB∥CD,线段EF分别与AB、CD相交于点E、F.
(1)如图①,当∠A=25°,∠APC=70°时,求∠C的度数;
(2)如图②,当点P在线段EF上运动时(不包括E、F两点),∠A、∠APC与∠C之间有什么确定的相等关系?
试证明你的结论;
(3)如图③,当点P在线段FE的延长线上运动时,
(2)中的结论还成立吗?
如果成立,说明理由;如果不成立,试探究它们之间新的相等关系并证明.
解析:
(1)对于图①,过点P作AB的平行线,然后根据平行线的性质可以证得:
∠APC=∠A+∠C。
从而求得∠C的度数。
点P在线段EF上运动时(注意:
关键词是线段),∠A、∠APC与∠C之间的关系就是:
∠APC=∠A+∠C。
证明方法参考
(1).
当点P在FE延长线上运动时,过点P作AB的平行线,根据平行线的性质可以证得
∠C=∠A+∠APC
例4.如图,已知AB∥CD,C在D的右侧,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在直线交于点E.∠ADC=70°.
(1)求∠EDC的度数;
(2)若∠ABC=n°,求∠BED的度数(用含n的代数式表示);
(3)将线段BC沿DC方向平移,使得点B在点A的右侧,其他条件不变,若∠ABC=n°,求∠BED的度数(用含n的代数式表示).
分析:
(1)根据角平分线的性质结合∠ADC=70°即可求得结果;
(2)过点E作EF∥AB,即可得到AB∥CD∥EF,从而可得∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,再根据角平分线的性质可得∠ABE=
∠ABC=
n°,∠CDE=
∠ADC=35°,即可求得结果;
(3)过点E作EF∥AB,根据角平分线的性质可得∠ABE=
∠ABC=
n°,∠CDE=
∠ADC=35°,再根据平行线的性质可得∠BEF的度数,从而求得结果.
解:
(1)∵DE平分∠ADC,∠ADC=70°,
∴∠EDC=
∠ADC=
×70°=35°;
(2)过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=n°,∠ADC=70°,
∴∠ABE=
∠ABC=
n°,∠CDE=
∠ADC=35°,
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=
n°+35°;
(3)过点E作EF∥AB
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=n°,∠ADC=70°
∴∠ABE=
∠ABC=
n°,∠CDE=
∠ADC=35°
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-
n°,∠CDE=∠DEF=35°,
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-
n°+35°=215°-
n°.
点评:
本题知识点较多,综合性强,难度较大,是中考常见题,正确作出辅助线是解题关键.
练习:
1.已知直线l1∥l2,且l3和l1、l2分别交于A、B两点,点P是直线AB上的一个动点.
(1)、如图,点P在A、B两点之间运动时,问∠1、∠2、∠3之间的关系?
并说出理由.
(2)、如果点P在A、B两点外侧运动时,试探究∠1、∠2、∠3之间关系(点P和A、B不重合)(直接写出结论)
四、综合运用,提升能力
例2.如图,以直角三角形AOC的直角顶点O为原点,以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,点A(0,a),C(b,0)满足
。
(1)则C点的坐标为__________;A点的坐标为__________.
(2)已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发,P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动,Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动,点Q到达A点整个运动随之结束.AC的中点D的坐标是(1,2),设运动时间为t(t>0)秒.问:
是否存在这样的t,使
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
(3)点F是线段AC上一点,满足∠FOC=∠FCO,点G是第二象限中一点,连OG,使得∠AOG=∠AOF.点E是线段OA上一动点,连CE交OF于点H,当点E在线段OA上运动的过程中,
的值是否会发生变化,若不变,请求出它的值;若变化,请说明理由.
解析:
根据几个非负数的和为0,那么这几个非负数都等于0.
所以,a-2b=0,b-2=0;可得b=2;a=4
答:
A(0,4);C(2,0)
(2)首先得出OP=2-t,QO=2t,D(1,2),再表示出△DOP和△DOQ的面积,进而得出等式求出答案.
由题意可得:
OP=2-t,QO=2t,D(1,2),
则S△DOP=1212OP•yD=1212(2-t)×2=2-t,
S△DOQ=1212OQ•xD=1212×2t×1=t,
∵S△ODP=S△ODQ,∴2-t=t,
∴解得:
t=1,
∵∠2+∠3=90°,
又∵∠1=∠2,∠3=∠FCO,
∴∠GOC+∠ACO=180°,
∴OG∥AC,
∴∠1=∠CAO,
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4,
如图,过H点作AC的平行线,交x轴于P,则∠4=∠PHC,PH∥OG,
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2,
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4,
=2.
点评 本题考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.
练习:
已知:
在如图①至图③中,△ABC的面积为a,解答下面各题:
(1)如图1,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA.若△ACD的面积为S1,则S1=_________(用含a的代数式表示);
(2)如图2,延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.若△DEC的面积为S2,则S2=_________(用含a的代数式表示);
(3)在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB;连接FD,FE,得到△DEF(如图3).若阴影部分的面积为S3,求S3的大小(用含a的代数式表示);
(4)像上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF(如图3),此时我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现,扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的多少倍?