山东省淄博市中考数学冲刺讲义第4讲圆教师版.docx
《山东省淄博市中考数学冲刺讲义第4讲圆教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省淄博市中考数学冲刺讲义第4讲圆教师版.docx（71页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
山东省淄博市中考数学冲刺讲义第4讲圆教师版
**教育ISO讲义
学员姓名：
年级：
九年级辅导科目：
数学学科教师：
授课日期
授课时段
授课主题
圆专题
教学目标
1.圆知识点、题型归纳
2.圆解题思路总结
教学重难点
重点：
切线问题，共圆问题；
难点：
新定义与探究
教学内容
考点
考纲内容
五年统计
分析预测
2015年.11、23
1.垂径定理
2016年.17
2.圆周角定理
2017年.9、23
3.切线判定定理
圆内定理以及圆的计
圆
2018年.9、22
4.弧长以及扇形面积
算
2019年.22
5.圆与其他几何相结合
腎知识典例
【知识梳理】
1、垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
2、圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
推论：
1、同弧或等弧所对圆周角相等。
2、半圆（或直径）所对圆周角是直角，90。
的圆周角所对弦是直径。
3、切线判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线性质：
圆的切线垂直于过切点的半径
4、圆幕定理
（1）
切线长定理
:
从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
（2）
相交弦定理
:
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（3）
切割线定理
:
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
（4）
割线定理:
从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B;C、D，则有PA・PB=PCPD
5、
弧长和扇形面积
1、
弧长公式：
n
nnr
的圆心角所对的弧长I的计算公式为I=180
2、
扇形面积公式
3、
圆锥的侧面积
Sn
360
1
T?
2
2
R2
11R（其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，I是扇形的弧长。
）
2
rl（其中I是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径。
）
4、
神公式：
n
【典型例题】
360
考点一命题类判断
【例1】（慈溪市校级期中）在下列命题中：
①三点确定一个圆;
②同弧或等弧所对圆周角相等；③所有直角
三角形都相似；④所有菱形都相似；其中正确的命题个数是（
C.2
【解答】解：
经过不在同一条直线上三点能作一个圆，所以
①错误;
同弧或等弧所对圆周角相等，所以②正确;
等腰直角三角形和一般直角三角形就不相似，所以③错误；正方形是特殊的菱形，正方形和一般菱形就不相似,
所以④错误；正确的命题个数是1个，故选：
B•
【总结】本题考查了确定圆的条件，圆周角定理，相似多边形的性质和判定等知识点的应用，注意：
边数相等的多边形，如果对应边都成比例，且对应角分别相等，则这两个多边形才相似•题型较好，但是一道比较容易出错的题目.
【变式训练】（2019秋?
香坊区校级期中）下列说法：
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；
④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴.其中正确的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
【解答】解：
①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
故错误；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，正确的只有1个，故选：
B.
考点二角度关系转化问题
【例2】如图，AB是OO的直径,
C,D,E在OO上，若/AED=20°,则/BCD的度数为（
C、115
D、120°
A、100°B、110
【解析】
试题分析：
如下图，连接
AD,AD，根据同弧所对的圆周角相等，可知/
ABD=/AED=20°,然后根据直径所
对的圆周角为直角得到/
ADB=90°,从而由三角形的内角和求得/
BAD=70°，因此可求得/BCD=110
故选：
B
【总结】角度问题先找弧，然后找对应的圆心角和圆周角
【变式训练1】
（2020?
绍兴一模）如图，AB是eO的直径，DB,DE分别切eO于点
B、C，若ACE20
，贝UD的度数
C.60
70
QOC
OA,OACOCA70,
OBDOCDOCE90,Q
ACE20,OCA
902070,
故选:
BOC270140,D
3609090140
40.
【总结】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；圆的有关概念及性质;
推理能力
【变式训练2】（2020?
江西模拟）如图,
占
八、、
A是量角器直径的一个端点，点
B在半圆周上，点P在Ab上，点q在
AB上，且PBPQ.若点P对应135
（45
），贝UPQB的度数为（
A.65
67.5
C.60
80
【分析】连接OP，如图，则
AOP
135
，利用圆周角定理得到
ABP
67.5.然后根据等腰三角形的性质得
到PQB的度数.
【解答】解：
连接OP,如图,
则AOP135,ABP丄AOP
2
67.5.QPBPQ,PQBABP67.5.
故选：
B.
【总结】圆的有关概念及性质；几何直观
【变式训练3】（2020?
陕西模拟）如图，在半径为
6的eO内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB8，CD6，
垂足为E，则tanOEA的值是（）
3、3，然后根据正切的定
【解答】解：
作OMAB于M,ON
1
DNCNCD3，在RtAOM中，OM2
QCDAB,四边形OMEN为矩形,
MEON33，在RtOEM中，tanOEM
OM25215
ME3-；39
故选：
D.
A.3
B.6
C.
15
D.215
4
3
6
9
【分析】作OM
AB于M,ON
CD于N，连接
OA、OD,
如图，根据垂径定理得到AM
4，DN3，再
利用勾股定理计算出OM
2”5，ON
3.3，易得四边形OMEN为矩形，则MEON
义求解.
1
CD于N，连接OA、OD，如图，AMBM-AB4,
2
.62422、5，在RtODN中，ON.623233,
【点评】本题考查了圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半•也考查了垂径定理和解直角三角形.
考点三内切圆与内心
【例3】（2019秋？
思明区校级期中）将线段OB绕点O逆时针旋转60形成扇形COB，过C作CDOB,垂足为D,
eE是COD的内切圆，OB
则OE的长为（）
3、.3
C.333
D.2（巧3）
【分析】
解直角三角形得到
OD丄OC
2
CDOC2OD2
——22
..-63
33，根据三角形内切圆的性质得到
EFO
90,EOF
30,EFCD
OD
2
OC3"3，于是得到结论.
【解答】
解：
QCD
OB,
CDO90,Q
BOC60,OCOB6,
OD
pC3，
CD
-.OC2OD2
、6232
33,QeE是
COD的内切圆，点F是切点,
EFO90,EOF30,
EFCDOD
OC3.336333
OE
222
2EF333,
故选：
B.
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，旋转的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键.
【变式训练1】6.（2020?
绍兴一模）如图，直线PA,PB,MN分别与eO相切于点A,B,D,PAPB8cm,
A.8cmB.83cmC.16cmD.16-3cm
【分析】根据切线长定理得出AMMD,BNDN，求出PMN的周长PAPB，代入求出即可.
【解答】解：
Q直线PA,PB,MN分别与eO相切于点A,B,D,AMMD,BNDN,
QPAPB8cm,PMN的周长PMMNPNPMMDNDPNPMAMBNPN
PAPB8cm8cm16cm，故选：
C.
【点评】本题考查了切线的性质和切线长定理，能根据切线长定理得出AMMD和BNDN是解此题的关键.
【变式训练2】（2019秋?
江油市期末）如图，在RtABC中，C90,AC6,BC8,eO为ABC的内切
OD
的长是（
考点四三角形内切圆半径求法的拓展（等积法）
【解答】
解：
如图，在RtABC中，
C90,AC
6,BC
8,
AB
10,
设eO
与ABC的三边的切点为E、
F、G，连接OE
、OF、
OG,
得正方形CGOF
设OF
OEOGCGCFx，贝U
AGAE6x,
BEBF
8
x,
6x8x10，解得x2,
AE
6x4,Q点D是斜边AB的中点，AD5
DE
AD
AE
1,
A.5
C.3
B.2
D.
•5.故选：
A.
~2
21
OD.OE2DE2
【例4】如图，△ABC中，/C=90°,AC=3,AB=5,D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的OO和AB、BC
【解析】
试題井析：
过点0作廖丄肿干点眄0尸丄恥于点尺
•沁眈是的切^「•点e、尸是切奸是0。
的半径；
.\0E=0F^
在心占C中，ZC=M&,AB=Sf由勾股定理：
得^O4j
又TD是边的中点；••S^jtH^SsjtcD?
又"：
SatbSsa七Sobob,：
丄AB・0£亠-BD・0F=—0*曲、即
222
5XOi+-2XOZ=2X3f解得血二』,：
3的半彳渥?
*故答案为：
?
・
77
BnFC
【变式训练】（2014日照）16.（4分）（2014?
日照）如图，在Rt△OAB中，OA=4,AB=5，点C在OA上，AC=1,
OP的圆心P在线段BC上，且OP与边AB,AO都相切.若反比例函数y=（（k旳）的图象经过圆心P,则k=.
J
B
X、
0
C~31
5
【解析】过P分别向x,y轴做垂线，利用等积法求出r为0.5P（3-r,r）,则K=（3-r）r,求得K=5
4
考点五共圆问题（注意辅助圆）
【例5】（2019秋?
江干区期末）如图，AB是eO的直径，AB4,C为Ab的三等分点（更靠近A点），点P是
eO上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）
【分析】如图，连接OD,OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的eK，连接CK，当点D在CK的延
【解答】解：
如图，连接0D，OC，
C
QADDP，ODPA，
ADO90，
点D的运动轨迹为以
AO为直径的eK，连接CK，AC，
当点D在CK的延长线上时,
cd的值最大，qc为Ab的三等分点,
AOC60，AOC是等边三角形,
CK
OA，在RtOCK中，Q
COA60，OC
2，OK1，
CK.OC2OK23，QDK一1OA1，
2
CD.31，CD的最大值为31，故选：
D.
D的运动
【总结】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点
轨迹，学会构造辅助圆解决问题.
【变式训练1】（2019秋?
镇海区期末）如图，在等腰RtABC中,
BAC
90,BC2，点P是ABC内部的一
个动点，且满足PBCPCA，则线段AP长的最小值为（
A.0.5
【分析】先计算出PBC
PCB45，则
BPC135，利用圆周角定理可判断点P在以BC为弦的eO上，如
C.2.2
图，连接OA交?
C于P,作?
C所对的圆周角
BQC,利用圆周角定理计算出则BOC90,从而得到OBC为
等腰直角三角形，四边形ABOC为正方形，所以OABC2,OB2，根据三角形三边的关系得到AP-OAOP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P位置），于是得到AP的最小值.
【解答】解：
QABC为等腰直角三角形，ACB45，即PCBPCA45,QPBCPCA,
PBCPCB45,BPC135,点P在以BC为弦的eO上，如图，连接OA交BC于P,
BOC2BQC90,
作BC所对的圆周角BQC，贝UBCQ180BPC45,
OBC为等腰直角三角形,
四边形ABOC为正方形，OABC2,
OB-2-bc2，
【点评】
，即P点在P位置），
AP的最小值为22.故选：
C.
的一半.
的性质.
考点五
【例5】
本题考查了圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,
推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角,
多边形与圆
以半径为1的圆的内接正三角形、
角形的面积是
都等于这条弧所对的圆心角
90的圆周角所对的弦是直径.也考查了等腰直角三角形
正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该
：
2
D.一
【答案】D
【解析】试题分析：
如图1•丁0—二。
彷1心帀范。
丄扌
如團釘^=1X5^45*=—
如團3,0.4=1,.-.O^lXco^O9则该三角形的三边分别為：
二当、盘
，二该三角形是臥丄、匹为直角边，逅为斜边的直角三角形，，
71
该三甬形的面积是扫訐字琴故选D.
【总结】参照垂径定理进行解答
ABCDEF（面积记为S）变形为以点D
【变式训练11（2019秋?
柯桥区期末）如图，将边长为6的正六边形铁丝框
（
3
由正六边形的性质的长EAC的长，根据扇形面积公式
【分析】
SS2
弧长
半径，可得结果.
【解答】
1
解：
由题意：
EAC的长度24,S2'246
2
72,
QSi
12
2108也,SS2,故选：
D.
2
考点六
圆锥、圆柱问题
【例61（2019秋?
海州区校级期末）如图，如果从半径为
6cm的圆形纸片上剪去
-圆周的一个扇形，将留下的扇
3
形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是
B.4cm
C.6cm
D.8cm
【解答】神公式：
nr，故选：
B•
360R
【总结】考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，用到的知识点为：
圆锥的弧长等于底面周长.
【变式训练1】（2019秋?
黔东南州期末）如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m,母线长6m，若
一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P•则小虫爬行的最短路径是（）
nr
n，则：
—6，其中r6
180
/22/22
BD、ABAD>63
A.2
C.t
C.33
【分析】将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出小虫爬行的最短路线及最短的路程.
【解答】解：
Q圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为
D为AC的中点，在RtABD中，AB6,AD3,
35（米）故蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短，最短的路程是35米，故选：
B•
【变式训练2】（2020?
武汉模拟）已知圆锥的高为AO，母线为AB，且—，圆锥的侧面展开图为如图所示
AB18
的扇形•将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在BC上F点，则弧长CF与圆锥的底面周长的比值为（）
【分析】连接AF,如图，设OB5a,AB18a,BACn，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到
n
25a
180
空，解得n得到BAC100，再根
据折叠的性质得到BABF，则可判断ABF为等边三角形，于是可计算出
FAC40，然后根据弧长公式计算
弧长CF与圆锥的底面周长的比值.
【解答】解：
连接AF，如图，设OB5a,AB18a,BACn
5a
譽，解得n100,
即BAC100,Q将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在Be上F点,
BA
BF
而ABAF,
ABF为等边三角形,
BAF60,
FAC
40,
CF的长度
40
18a4a,
180
弧长CF与圆锥的底面周长的比值
4a
2g5a
故选:
4
【例】（2019春?
嘉祥县期中）如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,
且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）
A.24cmB.30cmC.2-21cmD.497cm
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解
答.
【解答】解：
圆柱体的展开图如图所示：
用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：
ACCDDB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最
短；
ACCDDB30cm；
Q圆柱底面半径为4cm,长方形的宽即是圆柱体的底面周长：
2f8cm;又Q圆柱高为18cm,
小长方形的一条边长是6cm；根据勾股定理求得ACCDDB10cm；
【总结】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开路径最短问题•圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形
的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高•本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用
勾股定理解决
考点七求阴影部分的面积
【例7】（2019秋?
浏阳市期末）
如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转
90至矩形AEFG,点D的旋转路径为
DG,
A•2
若AB2,BC4，则阴影部分的面积为（）
D•4323
ADBC4，根据直角三角形的性质得到
【分析】设DG与EF交于H，连接AH，根据旋转的性质得到AH
AHEGAH30，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.
【解答】解：
如图，设DG与EF交于H，连接AH,Q四边形ABCD是矩形，AB2,BC4,
AHADBC4,AHEGAH30,QAEAB2,HE2-3,
2
阴影部分的面积s扇形ahgSahe30-122.3—23,
36023
故选：
D.
【总结】平移、旋转与对称；与圆有关的计算
【变式训练1】（2020?
凉山州一模）如图，点A,B,C,D,E,F是e?
O的六等分点•分别以B、D、F为圆心，AF的长为半径画弧，已知e?
O的半径为1，则图中阴影部分的面积为（）
B
A•
33
B.—J3C.
33
D.33
2
2
2
2
【分析】
连接OA、OB
、AB，作OHAB于H,
根据正多边形的中心角的求法求出
AOB，根据扇形面积公
式计算.
【解答】
解：
连接OA、
OB、AB，作OHAB于
H,Q点A、B、
C、D、E、
F是eO的等分点，
3
AOB
60，又OA
OB,AOB是等边二角形,
ABOB1
ABO60
OH.'12^）2
22
6011v33l
“三叶轮”图案的面积（360212）623，故选：
B•
【变式训练2】（2019秋?
遵义期末）如图，在菱形ABCD中，AB4,ABC120,E是AD的中点，将ABE
绕点A逆时针旋转至点B与点D重合，此时点E旋转至F处，则点B在旋转过程中形成的?
D、线段DF、点E在
旋转过程中形成的Ef与线段EB所围成的阴影部分的面积为
3
2
C.2
【分析】将不规则的阴影部分的面积转化为两个扇形面积的差即可求解.
【解答】解：
QABC120,
A60,
Q将ABE绕点A逆时针旋转至点
B与点D重合，此时点E旋转至
F处，SABESAdf,
S阴影S扇形ADBSAFDS扇形AEF
6042
SAEBS扇形ADBS扇形AEF
22
360
2，故选：
C.
C.（2019,3）
2
2
2
2
D.（2019,■3）
【分析】
设第n秒运动到
Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变
化规律“
F4n
1（4^d，込，Rn2（n1,0）,P4n
22
4n3
3（2
苕,P4n4（2n2,0）”依此规律即可得出结论.
2
【解答】
解:
设第n秒运动到R（n为自然数）点,
考点八规律问题
1的单位长度，圆心角为60的扇形组成
【例8】（2019秋?
浉河区期末）在平面直角坐标系中，若干个半径为一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点P在直线上运动的速度为每1
个单位长度•点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2019秒时，点P的坐标是（）观察，发现规律：
Pi（；,-1）,P2（1,0）,P3（3,二）,P4（2,0）,P5（f，学）,，
222222
P4ni（4n1,3），P4n2（n1,0）,%3（4n3,3）,P^4（2n2,0）.Q201945043,
2222
P2019为（2号9,•：
），故选：
B.
【总结】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题
型题目时，根据运动的规律找出点的坐标，根据坐标的变化找出坐标变化的规律是关键.
【变式训练】（2019秋？
斗门区期末）图，把RtOAB置
升级会员 