重庆市重庆市渝中区巴蜀中学学年高考适应性月考卷三数学文试题.docx

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重庆市重庆市渝中区巴蜀中学学年高考适应性月考卷三数学文试题

重庆市重庆市渝中区巴蜀中学2020-2021学年高考适应性月

考卷（三）数学（文）试题

学校:

姓名：

班级：

考号：

一、单选题

1.设集合S={1,3,5,7,9}，集合A={3,5,9},3={1,3,7,9},则（CsA）r\B=（）

A.{1,7}B.{3,9}

C.{1,5,7}D.{1,7,9}

2.已知MBC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c,且（a+b）2-c2=ab,则角仑=（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

3.已知等差数列{%}的前5项和为10,（抵=4,则（）

A.2B.3

C.4D.5

4.已知函数_/（兀）是偶函数，其图象与x轴有9个交点，则方程f（x）=0的所有实根之和为（）

A.0B.3

C.6D・9

5•数拯"，花，勺，尢，兀5，几的方差是5,则数据2召一2,2兀一2,2兀3-2,2兀一2,2x5-2,2x6-2的方差是（）

A.20B.18

C・10D・8

6.设方与乙是相互垂直的两个向虽:

，间=2,”卜1且满足（加+5）丄（—5）,则2=

（）

A.-B.4

2

C.2D.-

4

7.已知函数/（x）=log20I9（2x+a/1+4x2）+x3,则不等式/（2x+I）+/（1-3a）<0

的解集为（）

1）

z1

A.

-Sl

B.

—,4-oo

2丿

<2

C.（2,+oc）

D.（y,2）

8.对于任意两个数泄义某种运算如下:

x=2m-\jneN”

.时,y=2畀一1,〃eN

x=2m.meN—

.时，My=xy\

y=2/?

-1,77eN

则集合A=｛（血y）IA©y=10｝的子集个数是

D.

9.若函数/（x）=21nx+4x2+/7x+5的图象上的任总一点的切线斜率都大于0,贝％

的取值范囤是（）

C.（-00,8）

D.（8,+co）

10.在长方体ABCD-A]B]CiD[中，AlA=AlD1=2y/3iAB=3,E为棱人人的中点，F是棱AB上的点，AF:

FB=1:

2,则异而直线EF与BC.所成角的余弦值为（）

A.

B•逅

4

B.

D.

称，则&的值不能是（）

A.

C.

2.填空题

13.已知sin39°=d（a为常数），则sin219°=•（用含。

的式子表示）

14.已知数列｛厲｝满足纠=1,b”=5+l,xN・，贝i]｛®｝的通项

公式咕•

2

15・已知直线/的斜率为1,且与双曲线—-r=1相切于第一象限于点A，则点A的

2°

坐标为•

16.在长方体ABCD-A^C.D^,底而ABCD是边长为4的正方形，侧棱

A41=6/（6/>4）,M是BC的中点，点P是侧面内的动点（包括四条边上的

点），且满足tanZAPD=3kmZMPB,则三棱锥P-ABC的体积的最大值是•三、解答题

17.已知，如图甲，正方形ABCD的边长为4,E,F分别为AD,3C的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图乙所示，且ZDEA=ZCFB=60。

，点M在线段AB上且不与点A,3重合，直线MF与由A,D,E三点所确泄的平而相交，交点为0・

（1）若4^=^试确定点。

的位宜，并证明直线OD//平而EMC；

AB2

（2）若—求点O到平面CDEF的距离.

AB8

18.在公差不为0的等差数列匕｝中，4=1,且％g5成等比数列•数列他｝满

（1）求数列｛d,J的通项公式：

（2）求数列｛$｝的前加项和石”.

19.2021年12月190,2021年中国数学奥林匹克竞赛（第30届全国中学生数学冬令营）在重庆市巴蜀中学举行•参加本届中国数学奥林匹克竞赛共有来自各省、市（自治区、直辖市）、香港地区、澳门地区，以及俄罗斯、新加坡等国的30余支代表队，共317久选手•竞赛为期2天，每天3道题，限时4个半小时完成•部分优胜者将参加为国际数学奥林匹克竞赛而组建的中国国家集训队.中国数学奥林匹克竞赛（全国中学生数学冬令营）是在全国髙中数学联赛基础上进行的一次较高层次的数学竞赛，该项活动也是中国中学生级别最髙、规模最大、最有影响的全国性数学竞赛.2021年第29届全国中学生生物学竞赛也将在重庆巴蜀中学举行•巴蜀中学校本选修课“数学建模”兴趣小组调查了2021年参加全国生物竞赛的200爼学生（其中男生、女生各100人）的成绩，得到这200需学生成绩的中位数为78.这200需学生成绩均在50与110之间，且成绩在［90,100）内的人数为30,这200名学生成绩的髙于平均数的男生有62塔，女生有38名.并根拯调查结果画出如图所示的频率分布直方图.

（2）填写下表,能否有99.9%的把握认为学生成绩是否高于平均数与性别有关系?

男生

女生

总计

成绩不高于平均数

成绩髙于平均数

总计

参考公式及数据：

宀（“+呗爲）（：

）（—）,其中

P（K>k0）

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

20.已知函数/（x）=x2-21nx.

（1）求函数在点A（l,y。

）处的切线方程:

（2）求函数_/（x）在上的值域：

（3）若存在xrx2,---,x„，使得/（xi）+/（£）+•••+/（兀Li）sf（兀）成立,

求“的最大值.（其中自然常数0=2.71828…）

22

21.已知椭圆厂的方程为二+二=1（°＞〃＞0），椭圆r的离心率正好是双曲线

cr

—-x2=i的离心率的倒数，椭圆r的短轴长等于抛物线/=4x±一点p（3,〉b）到

抛物线焦点F的距离.

（1）求椭圆17的标准方程；

（2）若直线/与椭圆r的两个交点为C,D两点,已知圆0：

x2+/=4与X轴的交

点分别为A,B（点A在x轴的正半轴），且直线/与圆0相切.求MCD的面积与

A5CD的而枳乘积的最大值.

3

x=2+-t

5

t4v=l+-r

・5

（1）求曲线G的极坐标方程：

23.已知函数/（x）=|x+a|+|x-l|.

（1）当a=2时,求不等式/（x）>x+8的解集；

（2）若关于x的不等式/（x）<|x-5|的解集包含[0,2],求实数。

的取值范围.

参考答案

1.A

【解析】

【分析】

根据集合的补集运算，得到CSA,再由交集运算，得到（C5A）AB,得到答案.

【详解】

因为集合5={1,3,5,7,9},集合A={3,5,9},

所以C/={1,7},

而集合B={1,3,7,9},

所以（CsA）DB={l,7},

故选：

A.

【点睛】

本题考査集合的补集运算和交集运算，属于简单题.

2.C

【分析】

对条件中（a+b）2-c2=ab进行化简整理，然后代入到余弦定理cosC的表达式中，得到答案.

【详解】

因为（a+b）2-c2=ab,

所以/+Z?

2-c2=-ab,

所以cosC=/+，_c'=M=_1,

2ab2ab2

因为Cw（0"）,所以C=120°，

故选c.

【点睛】

本题考査余弦宦理求角的大小，属于简单题.

【分析】

根据等差数列前”项和的公式，得到厲+。

5，根据等差中项，得到①的值，结合条件，再利用一次等差中项，得到"9的值，得到答案.

【详解】

因为｛。

”｝为等差数列，

所以s丄）=]0,即勺+冬=4,

2

所以根据等差中项可得，山=匚匕=2,

2

因为®5=4,所以根据等差中项可得，他=^^=3,

故选：

B.

【点睛】

本题考査等差数列前〃项和，等差中项，属于简单题.

4.A

【分析】

根据偶函数的图像的特点，得到零点关于y轴对称，从而得到答案.

【详解】

因为/（兀）偶函数，所以其图像与x的交点关于）‘轴对称，

故如果门0）H0,则/'（x）图像与X的交点个数应是偶数个，

而已知条件中，f（x）图象与x轴有9个交点，

所以可得/（0）=0,其它8个交点两两关于〉'轴对称，

故方程f（x）=0的所有实根之和为0.

故选A.

【点睛】

本题考査偶函数图像的性质和特点.属于简单题.

【分析】

根据已知方差和对应数据的变化情况，得到答案.

【详解】

因为数据X]，尤2，尤3，勺，尤5，应的方差是5，

所以数据2召—2,2x2—2,2x3-2,2x4-2,2x5-2,2x6-2的方差

是22x5=20,

故选A.

【点睛】

本题考査数据同时变化后对方差的影响，属于简单题.

6.D

【分析】

由题意得到茴=0,再根据（跖+可丄（方一可，得到（加+用O=o,展开代入已知条件，得到几的方程，求出答案.

【详解】

因为2与乙是相互垂直的两个向量，

所以方易=0,

因为（加+可丄（°-可，

所以（加+5）.（d-b）=0,

即几/+（1-几）“・乙一5=0♦

因为a=2,b=\.

所以4兄一1=0，

解得2=[・

4

故选：

D.

【点睛】

本题考査垂直向量的表示，向量数量积的运算律，属于简单题.

【分析】

判断出f（x）为奇函数，且在上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为/（2x+l）

【详解】

函数/（X）=log2019（2x+J1+4+）+A3,

泄义域（-屯炖），

f（—X）=】Og2（）19（—2x+Jl+4.「）一X、

=Tog20i9

=-f（x），

且/（0）=0

所以才（兀）为奇函数，

因为〉'=log2019t，1=2x+J1+4F和）'=十都是增函数

所以/（x）=log20Iy+Vl+4x2）+X3是增函数，

所以由/（2x+1）+/（1-3a）<0,

得到f（2a*+1）<—f（1—3x）=/（3x—1）,

所以2x+l<3x-l

即x>2・

故选C.

【点睛】

本题考査判断函数的奇偶性，单调性，根据函数性质解不等式，属于中档题.

8.C

【分析】

读懂条件中给出的左义，得到兀,y对应的取值情况，然后根据所求的集合

A={（x,y）l.vOy=10},列岀满足要求的（x,y）,得到其子集个数.

【详解】

根据条件中的左义可知，

当x,yeN\且兀,y同为奇数或者同为偶数时，有=

当x,ywN・,且x为偶数，为奇数时，有=

故集合A={（x,y）1=10}中

A©y=10,当兀y同为奇数或若同为偶数时，x+y=\0,

（兀刃可取（1,9）,（2,8）,（3,7）,（4,6）,（5,5）,（6,4）,（7,3）,（&2）,（9,1）,

当x为偶数，）'为奇数时，-X）=10

（兀刃可取（2,5）,（10,1）,

所以（x,y）可取的情况共有11种，

即集合A中有11个元素，

所以集合A得子集个数为2—

故选C.

【点睛】

本题考査对给岀的新左义的理解，读懂题目是关键,考查了根据集合元素个数求子集的个数,属于中档题.

9.B

【分析】

对函数/'（X）求导，得到广（x）,然后根据题意得到f\x）>0恒成立，得到

【详解】

因为函数/（X）=2Inx+4a-2+Z?

.v+5,泄义域（0,+s）

z、2

所以fr（x）=-+8x+b,

•X

因为/（x）图象上的任意一点的切线斜率都大于0,

2

所以f\x）=-+Sx+b>0对任意的xe（0,+co）恒成立，

•X

所以b>8x,

x

?

设g（x）=-—-8x,则⑴唤

X

令g'（x）=O,得到x=-,舍去负根,

2

所以当时,

g'（x）>0

g（x）单调递增,

当Xe[T+<：

C）时'

g'（x）vO

g（x）单调递减,

所以%=|时’g（x）取最大值’为g（x）max所以〃>一8,

故选B.

【点睹】

本题考査利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.

10.B

【分析】

以D为原点建立空间直角坐标系，利用得到各点坐标，得到丽和BC；的坐标，利用向量的夹角公式，得到异而直线所成角的余弦值.

【详解】

以D为原点，可为X轴，反为『轴，DD；为Z轴，建立空间直角坐标系，如图所示

所以A（2>5,o,o）,A（2的,0,2问,B（2jJ,3,0）,q（0,3,2冋,

E为棱AA的中点，所以E（2*Q间,

F是棱上的点，AF:

FB=1:

2,所以F（2*12冋,

所以丽=（0丄冋,西=（-2点0,2列

设异而直线EF与BC、所成角为0

【点睛】

本题考査利用空间向量求异而直线所成的角的余弦值，属于简单题.

11.D

【分析】

对/（X）进行整理，然后根据对称轴为x=得到f[^-]=±2,从而得到0,然后取不同的R值，得到不同的0的值，与选项进行比较，得到答案.

【详解】

cc兀cos2x-&+—

=2sin2x_e

根据题意，是/（兀）的一条对称轴,

0

所以——0=2kn:

+—ng——=2kfr-—,

6262

即―*送或“s+彳，展Z,

故选D.

【点睛】

本题考査辅助角公式，根拯正弦型函数的对称性求值，属于中档题.

12.A

【分析】先写岀5，色,他以及心卫3，山之间的大小关系，进行猜想，然后根据数学归纳法证明猜想,得到答案.

【详解】

2（2Yn

因为色利=t，

j\j

2

听以“，=>—=a.'

-匕丿31

所以1>。

2>«i

2

所以得到二

3

即ax

即a3

所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数加时，有吆-v呵v吆・2

以下为证明：

当并=1时,a3

设当n=k时，"2—1va2k

U=k+1时，因为^2^-1VV。

2£-2♦

即叫<«2*+1

（2、

a“・i

〔2严

（2\

—

>

一>

—

匕丿

（3丿

（3丿

所以

即如+】<%2

所以当n=k+1时，猜想也成立.

故当连续三项的下标最大项为偶数2〃时，有“2心V%<叫-2所以“2019V^2020V^2018•

故选：

A.

【点睛】

本题考查由递推数列研究数列的性质，数学归纳法证明猜想，属于难题.

13.-a

【分析】

sin219o=sin（180°+39°）,利用诱导公式，结合已知条件，得到答案.

【详解】

因为sin39°=ci,

所以根拯诱导公式可得sin219°=sin（180°+39°）

=—sin39°=—.

故答案为-a.

【点睛】

本题考査三角函数的诱导公式，属于简单题.

14.2"

【分析】

根据％|=2“”+1,得到（仙+1=2（%+1）,从而得到/治=%“，再求岀耳，得到加的通项公式.

【详解】

因为%]=2a”+1,

所以％+1=如+2=2（©+1）

因为®=5+1‘

所以也=2»

而％=®+1=2

所以｛$｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以bn=2-2H-*=2;,

故答案为：

2”

【点睛】

本题考査根据递推关系求数列的通项关系，属于简单题.

15.（2,1）

【分析】

设直线l：

y=x+m,代入双曲线方程，利用相切得到4=0,求岀加的值，然后再得到在第一象限内切点A的坐标，得到答案.

【详解】

因为直线/的斜率为1,

所以设l：

y=x+m

代入双曲线才"得

x2+4mx+2nr+2=0

因为直线与双曲线相切，所以△=（）,即16/n2-4（2〃F+2）=0

解得m=±l

当加=1时，

---y2=l

12

x=-2

y=x_l

因为切点A在第一象限,

故答案为：

（2,1）・

【点睛】

本题考査根据直线与双曲线相切，求参数的值和切点坐标，属于中档题.

16.虫

15

【分析】

2

由题意画出图形，表述出tailZAPE>=3tanZjWPB,得到PA=jPB9从而得到P到平而

ABC的距离PN,然后求出PN的最大值，从而得到三棱锥P-ABC的体积的最大值.

【详解】

脱PN丄AB于N,在长方体ABCD-A^QD,中，DA丄平而\ABB},CB丄平而

所以在RZDA和RZBC中,

型，tan如吩型

APPB

因为tan"加ianZA/胶BM=LBC=LAD,

所以吩|刖,

因为CB丄平而\ABB{,PNu平而A{ABB{,

所UCB丄PN,又ZW丄AB于N,ABcBC=B所以可得PN丄平而ABC,

设PN=h、AN=x,则BN=4-x,xw[0,4],由pa=-PB.得PA?

=±PB?

39

即胪+宀扌[/『+（4_洞，

整理得h2=-x2-—x+—txg[0,4]

开口向下，对称轴x=,

5

所以在AG[0,4]单调减，

°64

所以x=0时，/『取最大值，为心=一

所以三棱锥P-ABC的体积的最大值为

1x1x4x4x^=^.

32515

故答案为洋

【点睹】

本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可，属于难题.

17.

（1）延长交E4的延长线于点0,证明见解析

（2）8丁亍

【分析】

（1）延长加交E4的延长线于点0,可得M为OF的中点，A为OE的中点，连接DF

交CE于点N,则N为FQ的中点，从而得到DO//MV,然后可得DO//平而EMC.

（2）

a\jfr

根据AM||EF得到比例线段，然后根据二-=一，得到04的长度，从而得到OE的长,

AB8

利用等体积转化V（）-DEF=VF-ODE分别表示出体积，从而得到点。

到平而CDEF的距离.

【详解】

解：

（1）如图，延长加交E4的延长线于点0,

TM为AB的中点，AE//BF,

为”的中点，

又ABHEF,

・••A为OE的中点，

连接DF交CE于点、N,

则N为FQ的中点，

所以DO//MN.

又Dg平而EMC,M/Vu平WEMC,

・•.DO//平而EMC.

根据平而图形可知，EF丄DE,EF丄EO

而DE,EOu平而EDO,且DE^\EO=E,所以EF丄平而EDO.

因为AM||EF,

AMOA

所以——=——，

EFOE

AMAM7

而==->

EFAB8

所以OE=6

=V—ODE，

所以-Sa》.•〃=§Sa*'EF,

所以1X-DE・EF・d=LxLoE・DE・sin60°・EF,

3232

所以d=8,

点0到平而CDEF的距离为8JL

【点睛】

本题考查线而平行的判宦，利用等体积转化求点到平而的距离，属于中档题.

18.

（1）ar

^=n>heN*

（2）3（：

1）+4川（”+]）

【分析】

（1）根据题意得到a；=叽,用5和d表示出来，从而可解得5和d的值，得到匕的通

项:

（2）根据题意写岀化的通项，利用分组求和的方法，求出其前2〃项的和，得到答案.

【详解】

解：

（I）在公差〃不为0的等差数列｛©｝中，

由5,①，"＜丿成等比数列，

川fjd；=qa＜］，

又终=1,可得（再再（q+&/）,

化简可得4=〃=1,

数列｛$｝的前2"项和

T“=（3+33+35+•••+32n",）+（8+16+24+•••+8/?

）

□+4〃（小）

【点睛】本题考査等差数列通项中基本量的计算，分组求和的方法求数列的和，属于简单题.

19.

（1）x=0.025,y=0.02

（2）列联表见解析，有99.9%的把握认为学生成绩是否髙于

平均数与性别有关系.

【分析】

（1）表示出成绩在［90,100）内的频率，根据各组频率之和为1,以及中位数为78,得到关于的方程组，解岀儿歹的值：

（2）根据题意，写出成绩不高于平均数的男、女生数呈:

填写好列联表，然后根据公式求岀K?

的值，进行判断，得到答案.

【详解】

解：

（1）•••成绩在[90J00）内的人数为30,

由频率分布直方图得（O.Ol+y+x+x+O.OO5）xlO+O.15=l,化简得y+2x=0・07,①

由中位数可得0.01xl0+10y+（78-70）x=0.5,化简得5y+4x=0・2,②

由①②解得x=0.025,y=0・02・

（2）200名学生成绩的髙于平均数的男生有62名，女生有38需,

因男.女生各100名，所以可得成绩不髙于平均数的男生有38名，女生有62名,

根据题意得到列联表：

男生

女生

总计

成绩不高于平均数

38

62

100

成绩髙于平均数

62

38

100

总计

100

100

200

n（ad-bey

（a+/?

）（c+〃）（a+

）（〃+〃）

=11.52>10.828,

200x（38x38-62x62/

100x100x100x100

•••有99.9%的把握认为学生成绩是否髙于平均数与性别有关系.

【点睛】

本题考査根据频率分布直方图求频数，中位数等，完善列联表，卡方的计算和判断，属于中档题.

20.

（1））'-1=0

（2）/（x）e[l,e2-2]（3）”的最大值为6.

【分析】

）

（1）对/（X）求导得到f'（x），然后代入切点横坐标，得到斜率，点斜式写出切线方程,

整理得答案：

（2）利用导数判断出/（“）的单调性，根据单调性求出其最小值，并比较在两个端点时的函数值，得到最大值，从而得到答案：

（3）由

（2）可得/（x„）

-2,要使门州）+/（勺）+…+/（"）今（兀）成立，且"的值最大,则门召），