高中数学第二章21离散型随机变量及其分布列212离散型随机变量的分布列学案新人教A选修2309182100.docx
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高中数学第二章21离散型随机变量及其分布列212离散型随机变量的分布列学案新人教A选修2309182100
2.1.2 离散型随机变量的分布列
学习目标：
1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．（重点）3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．（难点）
[自主预习·探新知]
1．离散型随机变量的分布列
（1）定义
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi（i＝1,2，…，n）的概率P（X＝xi）＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
为了简单起见，也用等式P（X＝xi）＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
（2）性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
思考：
求离散型随机变量的分布列应按几步进行？
[提示] 求离散型随机变量的分布列的步骤：
（1）找出随机变量所有可能的取值xi（i＝1,2,3，…，n）；
（2）求出相应的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1,2,3，…，n）；
（3）列成表格形式．
2．两点分布
X
0
1
P
1－p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P（X＝1）为成功概率．
3．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
P（X＝k）＝，k＝0,1,2，…，m，
其中m＝min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X
0
1
…
m
P
…
思考：
如何正确理解超几何分布？
[提示] 在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等．
（1）在应用超几何分布解题时，应首先明确随机变量的取值是否满足超几何分布的使用范围．
（2）在产品抽样中，一般采用不放回抽样．
（3）超几何分布的分布列为
X
0
1
…
m
P
…
[基础自测]
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．（ ）
（2）新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．（ ）
（3）从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．（ ）
[解析]
（1）× 因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．
（2）√ 根据两点分布的概念知，该说法正确．
（3）√ X的可能取值为0,1,2,3，可求得P（X＝k）＝（k＝0,1,2,3），是超几何分布．
[答案]
（1）×
（2）√ （3）√
2．下列表中能成为随机变量X的分布列的是（ ）
【导学号：
95032128】
A.
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.4
B.
X
1
2
3
P
0.4
0.7
－0.1
C.
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.3
D.
X
1
2
3
P
0.3
0.4
0.4
C [由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1.]
3．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2a
3a
则a＝（ ）
A. B.
C.D.
A [由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，所以a＝.]
4．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P（X＝3）＝________.
【导学号：
95032129】
[P（X＝3）＝＝.]
[合作探究·攻重难]
分布列的性质及应用
设随机变量X的分布列P＝ak（k＝1,2,3,4,5）．
（1）求常数a的值；
（2）求P.
[解] 分布列可改写为：
X
P
a
2a
3a
4a
5a
（1）由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
（2）P＝P＋P＋P＝＋＋＝，
或P＝1－P＝1－＝.
[规律方法] 利用离散型分布列的性质解题时要注意以下两个问题
（1）X＝Xi的各个取值表示的事件是互斥的．
（2）不仅要注意i＝1而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
[跟踪训练]
1．若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
求常数a及相应的分布列．
[解] 由分布列的性质可知：
3a2＋a＋4a－1＝1，
即3a2＋5a－2＝0，解得a＝或a＝－2，
又因为4a－1>0，即a>，故a≠－2.
所以a＝，此时4a－1＝，3a2＋a＝.
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
求离散型随机变量y＝f（ξ）的分布列
已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列.
【导学号：
95032130】
[解] 由η1＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－，0，，1，，
所以η1的分布列为
η1
－1
－
0
1
P
由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率与的和，
所以η2的分布列为
η2
0
1
4
9
P
[规律方法]
（1）若ξ是一个随机变量，a，b是常数，则η＝aξ＋b也是一个随机变量，推广到一般情况有：
若ξ是随机变量，f（x）是连续函数或单调函数，则η＝f（ξ）也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f（ξ）也为离散型随机变量.
（2）已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝fξ的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可.
[跟踪训练]
2．设离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：
（1）2X＋1的分布列；
（2）|X－1|的分布列．
[解] 由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为：
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由上表得两个分布列为：
（1）2X＋1的分布列：
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
（2）|X－1|的分布列：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
利用排列组合求分布列
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
（1）求袋中所有的白球的个数．
（2）求随机变量ξ的分布列．
（3）求甲取到白球的概率.
【导学号：
95032131】
[思路探究] 可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．
[解]
（1）设袋中原有n个白球，由题意知＝＝＝.
可得n＝3或n＝－2（舍去），即袋中原有3个白球．
（2）由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P（ξ＝1）＝；P（ξ＝2）＝＝；
P（ξ＝3）＝＝；
P（ξ＝4）＝＝；
P（ξ＝5）＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则
P（A）＝P（ξ＝1）＋P（ξ＝3）＋P（ξ＝5）＝.
[规律方法] 求离散型随机变量分布列时应注意的问题
（1）确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．
（2）在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．
[跟踪训练]
3．口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
[解] 随机变量X的可能取值为3,4,5,6.
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C，事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC.
从而有P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
P（X＝5）＝＝，
P（X＝6）＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P
两点分布与超几何分布
[探究问题]
1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？
[提示] 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．
2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
[提示] 不一定．如随机变量X的分布列由下表给出
X
2
5
P
0.3
0.7
X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.
3．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？
超几何分布适合解决什么样的概率问题？
[提示] 随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体（共有N个个体）内含有两种不同事物A（M个）、B（N—M个），任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．
在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.
【导学号：
95032132】
[思路探究]
（1）从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～（0,1）．
（2）从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X（X＝1,2）服从超几何分布．
[解]
（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P（X＝1）＝＝＝，则P（X＝0）＝1－P（
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