《三角形内角和定理》优秀教学案例.docx

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《三角形内角和定理》优秀教学案例

课题：

《三角形内角和定理》（第1课时）

一．内容和内容解析

【内容】三角形内角和定理

【内容解析】本课是鲁教版版七年级下册第八章第六节三角形内角和定理第一课时，是在学习平行线之后，全等三角形之前；本节课主要研究三角形内角和及其证明，教材中引导学生探讨如何进行三角形内角和定理的证明，展示了一个完整的证明过程，让学生看到证明的表达形式，为学生进行逻辑推理的训练作好准备。

【三角形内角和概念的核心】

（1）三角形的内角和等于180度；

（2）三角形内角和定理的证明。

【教学重点】三角形内角和定理的证明

二．目标和目标解析

【目标】

会证明三角形内角和定理，并能运用三角形内角和定理答解决实际问题。

【目标解析】

通过添加辅助线证题，增强学生的观察、猜想和理论证明的能力，感受探索三角形内角和定理的证明过程，培养学生有条理地思考问题和表达问题的能力，通过渗透＂化归＂的数学思想，培养学生解决数学问题的基本方法。

通过师生的共同探究活动，培养学生的概括、总结能力，激发学生探索问题的兴趣。

三．教学问题诊断分析

【学生已有的知识结构】

“三角形的内角和等于180度”，这一结论在小学，初一都介绍过，学生会用拼图的方法已知道三角形的三个内角的和等于180°，本节课是在此的基除上，进一步地了解这个结论成立的道理．启发学生得出说明证明这个结论正确的方法，而证明的过程中需用到的平行线的性质与平角的定义等均在前几章学习。

【学生学习的困难】

本节课学生感到比较困难的是如何利用所学知识将三角形的三个角移在一起？

由于学生的空间想象能力、推理论证能力有待进一步加强，在三角形内角和定理的证明过程中，不知如何添加辅助线，导致证明过程中无从着手或发生错误。

【本节课的难点】

引导学生添加辅助线解决问题，并进行合乎情理地思考，有条理地表达。

四．教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，可准备投影仪，多媒体课件，三角板辅助教学。

五．教学过程设计

（一）学生回忆，引出课题

问题1：

小学、初一时是怎样说明三角形内角和是1800？

设计意图：

鉴于学生对三角形内角和已经有初步认识，在教学过程设计上没有从学生身边熟悉的事例创设情境，让学生观察并亲自动手，而是对三角形内角和的知识加以回忆 。

在以前学习中只是通过拼图得出三角形的内角和等于180度，但没有说明理由，而且“量一量、拼一拼”等受客观因素的制约，影响了研究结果的准确性，有的学生可能量出内角和的度数确实要高于或低于180°，说明对于数学问题只靠剪拼得到的结论有一定的合理性，但还需证明来确认，借此教育学生研究问题要有一个严谨的科学态度。

师生活动：

师：

小学里我们是怎样说明三角形内角和是1800的？

生1：

将三角形的三个角搬到一起组成一个平角。

生2：

用量角器量出三个角的度数相加。

师：

下面我们一起回顾一下拼角实验的过程。

师：

我们可以把三角形的两个角撕下来拼到第三个角的两侧，也可以把三角形的两个角撕下来拼到第三个角的同侧，把三角形三个内家转化为一个平角从而说明三角形内角和是180度；也可以把三角形的一个角撕下来拼到第二个角的一侧，也可以把三角形的两个角撕下来拼到第三个角的同侧，把三角形三个内家转化为一个平角从而说明三角形内角和是180度；那么第三种情况怎么说明三个角的和是180度？

设计意图：

通过动画引导学生回忆起拼角实验的过程，同时在解说中强调三角形三个内角向平角或平行线的同旁内角进行转化，渗透转化的思想，为接下来的证明做好铺垫。

师：

一个命题是否成立，不能只靠拼一拼，量一量，必须经过推理证明。

那么我们今天主要的学习目标就是证明三角形三个内角的和是180度，同时规范几何语言的使用。

设计意图：

：

引出课题，说明本节课的学习目标。

（二）引导探究，板书步骤

师：

面对这道文字证明题，我们要先画出图形，写出已知、求证。

哪个同学有勇气尝试写出已知求证？

（根据学生的回答，板书出标准的已知求证）

已知：

如图2，三角形ABC

求证：

∠A+∠B+∠C=

师：

接下来就是寻找思路，进行证明了，那面对这样一道题目，没有什么可以利用的条件，我们怎么把三角形内角和与180度联系起来呢？

刚才的拼角实验有没有给你启示呢？

设计意图：

刚才的拼角实验、转化思想的渗透对问题的解决都有帮助作用。

虽然这道题目辅助线的添加很有难度，但是在初一学习三角形内角和时在习题中出现过这道证明题目，部分学生对此还有印象，也有助于问题的解决。

根据学生的反应选择处理方式：

方案一：

学生直接给出正确的解答，则板书步骤，规范几何语言的使用。

方案二：

我们学习过哪些与180度有关的知识点呢？

这个问题能不能转化为相关的知识去解决呢？

能否根据我们最近所学习的相关知识来移动角，达到拼角的效果？

从而引导学生做出辅助线，实现转化。

之后板书步骤，规范几何语言的使用。

师：

只有这一种方法能证明这个结论吗？

下面以小组为单位进行探索，看看哪一组探索的方法多，找到的方法最简单？

（三）合作探究，发散思维：

问题3：

小组探索

设计意图：

小组合作探索，增强同学之间的合作精神，培养学生自主探索的能力。

师生活动：

在整个活动中教师不断走到各个小组检查学生讨论的情况，重点帮助学习有困难的小组，及时对学生的探索给予肯定，鼓励完成较好的小组多研究几种证明的方法，同时，教师在巡视过程中注意各组学生讨论的方法，为后面小组汇报做好准备。

问题4：

小组汇报

设计意图：

让学生充分表现自己，对学生研究的成果给予肯定，让学生看到成功，看到希望，增强学习数学和信心。

同时，教学中不但要给学生传授方法，还要给学生传授数学思想，让学生明确三角形内角和的证明实质是利用化归思想将三角形内角和转化为“平角等于

”和“两直线平行同旁内角和等于

”。

师生活动：

选择合适的时机让小组代表上黑板上做好自己小组确定的方法的辅助线，为进行汇报做准备，教师帮忙整理，总结出几种证明的方法。

已知：

如图2，三角形ABC

求证：

∠A+∠B+∠C=

师：

刚才同学们积极地参与讨论，下面我们收获了这么多种思路，下面我们让相关的小组来分享一下他们的好想法。

（注：

可以根据巡视的情况和学生黑板上作图的情况，调整教学方案）

方案一：

学生找到的方法太少时，巡视过程中主动引导小组进行转化。

并在学生展示后，用课件展示多种辅助线的作法，引导学生课后继续探究。

方案二：

学生找到的方法比较多时，可以让学生充分的展示，最后总结转化的思想。

方法一：

要想证明三角形的三个内角之和等于180°，联想到平角的大小

是180°，想办法将三角形的三个内角拼成一个平角，所以将

∠B和∠C内角“移动”到∠1和∠2的位置上，且保证两个角的大小不变，因此，过点A作BC的平行线EF，根据平行线的性质可以知道∠B=∠2，∠C=∠1，而此时，∠1、∠2和∠BAC三个角之和等于180度，即∠BAC+∠B+∠C=180°，达到证明的目的，这种方法是将三角形的三个内角化为“平角等于1800”。

据这一思路，也可以设计如下证法：

证法二：

方法三：

我们知道，两直线平行同旁内角互补（等于180度），因此，考虑能否将三角形的三个内角拼成两条平行线的一组同旁内角呢?

其他方法示例：

师：

刚才几个小组汇报很好，下面进行总结。

师：

请同学们思考，这些证明方法有什么区别和联系？

生：

第一种是将三角形的三个内角化为“平角等于1800”来说明问题的；第二种是将三角形的三个内角化为“两直线平行同旁内角和等于1800”说明问题的。

师：

如何转化？

生：

利用所学习的平行线的知识，将其中的一个角（或者是两个角）平移。

师：

我们今天共同努力证明三角形三个内角的和确实是180度，它被称作三角形内角和定理，它的几何语言表述为：

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

师：

今天我们学习了三角形的内角和定理，并明确如何推理证明，那我们也要学以致用。

（四）学以致用，规范语言

问题1：

如图6，

已知：

在△ABC中，∠B=60°,∠C=80°

求∠A等于多少度？

设计意图：

让学生通过计算，巩固三角形内角和定理，并明确规范的几何语言。

让学生口答，并利用课件展示标准答案，同时为下一个问题作准备。

师生活动：

师：

可以用什么方法求出∠A的度数？

生：

利用“三角形内角和等于180度”可以求出∠A的度数。

师：

请同学们来说一说具体步骤。

生：

口答

师：

点评，展示标准语言。

（五）例题分析，加深理解

问题2：

如图，在△ABC中，已知∠B=40°,∠C=60°,AD平分

∠BAC，求∠ADB的度数。

设计意图：

此题是课本原有的例题，对于初二学生学习难度适中，教学中引导学生独立分析，书写步骤，培养学生的分析能力，同时加强推理能力的培养，让三角形内角和定理用到生活实际中，同时让学生理顺几何证明题的分析思路及证明题的书写格式，培养书写的条理性，为今后学习几何做好准备。

师生活动：

说明；学生独立完成，两名学生板演。

教师巡视，及时帮助学习困难的学生，学生完成后，点评学生出现的问题。

（六）总结概括，自我评价

问题1：

今天我们学习什么内容？

你有什么收获？

让我们分享吧！

设计意图：

通过总结回忆，让学生加深对三角形内角和定理的进一步认识。

师生活动：

师：

今天我们学习什么内容？

你有什么收获？

让我们分享吧！

学生1：

三角形内角和的定理：

三角形三个内角的和等于1800

学生2：

通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且证明方法不止一种。

学生3：

探索到一个数学规律，最终还须证明；并且学会怎样有条理的表达了。

师：

说的好！

“证明”是确认数学规律的唯一方法。

学生4：

三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角；

学生5：

三角形内角和的定理证明方法的实质是一种数学“化归”思想的运用。

即将三角形三个内角的和等于1800转化为：

（1）平角等于1800；

（2）两直线平行同旁内角和等于1800；

师：

说的好！

这是我们数学研究问题思维方法。

为了证明上的需要，在原来图形上添加的线叫辅助线，辅助线通常画成虚线。

六、课堂检测：

已知：

如图，在△ABC中，DE//BC,∠A=60°，∠C=70°，

求证：

∠ADE=50°

设计意图：

复习巩固所学习的三角形内角和定理，同时复习前面所学习的平行线的知识，并让学生练习几何语言的使用。

七、教学设计说明：

新课程明确倡导动手实践、自主探究、合作交流的学习方式，这就要求教师应当从过去知识的传授者转变为学生自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者，因此，在教学过程中，设置问题情境，让学生分组合作、自主地去探究、发现问题，要让学生感受到学习的快乐，体会到探究与发现带来的乐趣，同时给学生一个展示个性、享受成功的机会；教师在整个教学过程中与学生一起共同探讨与研究，及时帮助学生解决问题，真正成为学生学习的引导者。