概率试题库一.docx

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概率试题库一

概率论试题库

（一）

第一章预备知识（排列、组合、集合）

第二章随机事件

1.令A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A的对立事件A为（）

（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”（B）“甲，乙产品均畅销”

（C）“甲种产品滞销”（D）“甲产品滞销或乙产品畅销

答案：

D

2.设A、B、C为三个随机事件，则“A、B、C至少有一个发生”可表示为；

“A发生而B、C不发生”可表示为。

答案：

A+B+C,ABC；

3.设A,B,C,D为任意四个事件，则四个事件中至多有一个发生可表示

为

4.设A、B、C为三个随机事件，则“A、B、C不都发生”可表示为；“A，

B、C至多有一个发生”可表示为。

第三章随机事件的概率

5.掷三枚质地均匀的骰子，出现三个3点的概率为。

6.掷三枚质地均匀得硬币，出现三个正面得概率为。

7.投掷一枚均匀的骰子，出现6点的概率为，点数能被3整除的概率

为。

8.投掷一枚均匀的骰子，出现6点的概率为，点数能被2整除的概率

为。

第四章条件概率事件（试验的）相互独立

9.一射手对同一目标独立地射击4次，且已知射手的命中率为2/3，则4次射击中恰好

命中一次的概率为，4次射击中至少命中一次的概率为。

答案：

8/81;80/81；

10.一射手对同一目标独立地射击3次，且已知射手的命中率为2/3，则3次射击中恰

好命中一次的概率为，3次射击中至少命中一次的概率为。

11.P（A）=0.6,P（B）=0.5,P（AB）=0.2，求P（AB）,P（BA）,P（A-B）

解：

P（AB）=P（B）P（AB）=0.50.2=0.1,

P（AB）=P（A）P（B）-P（AB）=0.60.5-0.1=1,

P（A-B）二P（A）-P（AB）=0.6-0.1=0.5。

12.设事件A与B相互独立，且P（A一B）=0.8,P（A）=0.2，则P（B）=;

P（AB）=。

111

13.已知P（A）=—,P（BA）=—,P（AB）=—,则P（AUB）=。

432

1,11

14.P（A）=[,P（BA）=〒P（AB）=?

求P（B）,P（A+B）,P（A_B）

15.设A,B为两随机事件，已知P（A）=0.7=0.3•P（B）,P（AB）=0.8，则

P（A|Nb=.

16.甲乙二人独立地同时破译密码，甲破译的概率为1，乙破译的概率为1，则该密码

23

被破译的概率为.

17.某车间生产了同样规格的6箱产品，其中有3箱，2箱，1箱分别是由甲、乙、丙3

111

个车床生产的，且3个车床的次品率依次为—，—，—，现从这6箱中任选一箱，

101520

再从选出的一箱中任取一件，试计算：

（1）取得的一件是次品的概率；

解：

记&二“取到甲车床产品”

（2）若已知取得的一件是次品，试求所取得的产品是由丙车床生产的概率。

，A2二“取到乙车床产品”，A3二“取到丙车床产品”，

B=“取到次品”，则

（1）由全概率公式得，取得的一件是次品的概率

P（B）=P（BA）P（A）P（BA2）P（A2）p（bA3）p（A3）

11111129

=—X—+—X—+—X———

210315620360

3

由贝叶斯公式，取得次品条件下，取得丙车床产品的概率为

再从选出的一箱中任取一件，试计算：

（1）取得的一件是次品的概率;

（2）若已知取得的一件是次品，试求所取得的产品是由丙车床生产的概率。

19.设某厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一规格的产品，每个车间的产量分别占总量

的20%,35%,45%，各车间的次品率分别为4%,3%,2%，现从三个车间生产的产品

中任取一件，求：

（1）取出的产品是废品的概率；

（2）若取出的一件产品是废品，求该废品是乙车间生产的概率.

20.某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂产品每箱装100

个，废品率为0.06，乙厂产品每箱120个，废品率为0.05

（1）任取一箱，从中任取一个产品，求其为次品的概率；

（2）将所有产品开箱混装，任取一个为废品的概率。

将所有产品开箱混放，任取一件，发现为次品，求，这件产品是甲厂生产的概率！

21.从一副扑克牌的13张红心中，有放回的连续抽取4张，求：

（3）没有同号的概率。

（4）有同号的概率。

（3）四张中至多有三张同号的概率

2、从一副扑克牌的13张红心中，有放回的连续抽取3张，求:

（1）没有同号的概率。

（2）有同号的概率。

（2）三张中至多有两张同号的概率。

第五章一维随机变量

22.F（x）为随机变量•的分布函数，贝U』m「F（x）二。

ak

23.已知X的概率分布为P（X二k）（k=1,2,川，n），贝Va=（）

n（n+1）

（A）1（B）2（C）3（D）4

答案：

B

24.已知X的概率分布为P（X二k）=pk,（k=1,2,川），则p=（）

（A）1（B）2（C）3（D）0.5

25.设每次实验中，事件A发生的概率为'•则在三次重复独立实验中，事件A恰好

发生两次的概率为

26.设~B（2,P）,~B（3,P），且P（_1），则P（一1）=。

9

27.一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。

在整个运行期间，每个

部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需有85个部件工作，求整个

系统工作的概率。

28.任何一个连续型随机变量的密度函数f（x）一定满足（）

（A）0^f（x）Z1（B）在定义域内单调不减

（C）.f（x）dx=1（D）f（x）0

答案：

C

29.设f（x）是连续性随机变量X的密度函数，则f（x）一定满足下面两条性质：

（1），

（2）。

答案：

f（x）_O,f（x）dx=1.

30.已知随机变量X的分布函数F（x）=A+Barctanx,其中A,B为未知参数，则

A=，B=

f0,x<0

31.设随机变量x的分布函数为F（x）={Asinx,0Ex^^；贝卩

.1,x"

P{X:

:

：

6卜

（1）求参数a，

（2）计算E,Do

1上

e5,x0

f（x）=<5

.0,x兰0

某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示

一个月内未等到服务而离开窗口的次数，试求P（Y_1）

39.若X~N（0,1）,X的分布函数为：

•：

」（x）,已知G（2.35）=0.9906,

则P（Xa2.35）=，P（X兰2.35）=。

答案：

P（X>2.35）=0.0094,P（X|兰2.35）=0.9812.

40.若X~N（0,1）,X的分布函数为G（x）,已知G（2.35）=0.9906，

则P（X.2.35）=，P（X_-2.35）=。

41.若X~N（0,1）,X的分布函数为①（x）,已知①（1.96）=0.975，

则P（X>1.96）=，P（X|兰1.96）=。

42.设随机变量•服从正态分布N（108,9），求

（1）P{101.1：

：

：

：

117.60.5}，

（2）求常数a，使P「：

:

:

a}=0.90

（3）求常数a，使P{-a・a}=0.01。

（已知：

：

•：

^（3.2^0.9995,门0（2.3）=0.9893「：

」0（1.29）=0.90,：

：

」。

（2.33）=0.99）

43.一批钢材（线材）长度X（cm）~N（100,22），求这批钢材长度小于97.8cm的概率。

（注：

：

:

」（1.1）=0.8643）

解：

所求概率为P{X：

：

97.8}=F（97.8）『：

」（一1.1）=1—「（1.1）=0.1357。

44.某地区18岁的女青年的血压X~N（110,122）（收缩压，以mm-Hg十），在该地区

5

任选一18岁的女青年，求其血压在100~120之间的概率。

（注：

；:

」

（一）=0.7967）

6

2

45.某种型号的电池寿命X近似服从正态分布N（u,匚），已知其寿命在250小时以上的

概率和不超过350小时的概率均为92.36%，为使其寿命在u-x和u'x之间的概

率不小于0.9,x至少为多大？

（已知，述0（1.43）=0.9236,①0（1.645）=0.95）

46.设'~N（u「）,~N（0,1），其分布函数分别记为:

:

」（x）及、5（x），则:

•：

」（x）

（°

47.将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内。

调节器整定在dC，液体的温

度X（以C计）是一个随机变量，且xLN（d,0.52）°

（1）若d=90，求X小

于89的概率；

（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少

为多少？

（：

」0

（2）=0.9772,：

」0（2.33）=0.99）

第六章二维随机变量

48.设X和Y的联合分布律如表:

0

1

2

3

1

0

3/8

1/8

a

2

1/8

1/8

0

1/8

求

（1）求a；

（2）X丫的边缘概率分布；（3）判断X与丫的独立性;

（4）cov（X,Y）.

4

1

a=—

8

1111

解：

（1）1a

88888

（2）X的边缘概率分布密度为

X

1

2

P

5/8

3/8

Y的边缘概率分布密度为

Y

0

1

2

3

P

1/8

4/8

1/8

2/8

（4）EX=152=口

888

EY=011-2

888

1

E（XY）=2,cov（X,丫）「石

49.设X和Y的联合分布律如表:

0

1

2

3

1

0

3/8

1/8

1/8

2

1/8

1/8

0

1/8

求

（1）X、丫的边缘概率分布；

（2）P{X<1,Y-2};（3）判断X与丫

的独立性；（4）cov（X,Y）.

50.二维离散型随机变量「，）的联合概率分布表如下所示，计算的边缘分布，并

判定,是否相互独立。

-1

0

1

-1

1/8

1/8

1/8

0

1/8

0

1/8

1

1/8

1/8

1/8

51.随机的将两封信投入三个邮筒，用\分别表示第一二号邮筒内信的数目，给出

（）的联合概率分布表以及的边缘分布。

52.设f（x,y）是连续性随机变量（X,Y）的联合密度函数，则f（x,y）一定满足下面两条性质：

（1），

（2）。

kxy,

其他

求

（1）参数k的值；

（2）X、Y的边缘概率密度fX（x）和fY（y）；（3）期望E（XY）。

k

解：

（1）1=2f（x,y）dxdy二kxydxdy,.k=4

…r■D4

（2）X的边缘密度为X~fX（x）

"bo

同理Y的边缘密度为Y~fY（y）二.「f（x,y）dx二

（3）由随机向量函数期望公式

12124

EXY二R2xyf（x,y）dxdy二Dxy4xydxdy=4°xdx°ydy二一

9

54.设二维随机变量（X，Y）在区域D：

0^x^2,0乞y<2上服从均匀分布,

求

（1）（X,Y）的概率密度；

（2）X的边缘概率密度fX（x）；（3）期望E（XY）.

55.两个随机变量',相互独立，则联合密度:

（x,y）与边缘密度:

（x）,（y）之间的

关系为。

f._3x_4ycc

卫"ke,x>0,y>0

56.设二维随机向量（叨）的密度函数为：

f（x,y）=」卄…

0，其他

求常数k以及边缘密度。

第七章随机变量的函数及其分布

57.若X~N（0,1），Y=2X1，则Y~（）

（D）N（1,1）

（A）N（0,1）（B）N（1,4）（C）N（1,3）

2

61.设X~N（巴▽），则y=a+bX〜第八章随机变量的数字特征

62.设X是一随机变量，且EX存在，则E（X-EX）二（）

22

（A）EX（B）EX-（EX）（C）0（D）DX

答案：

C

63.■是一个随机变量，则E（-E）二。

64.是一个随机变量，则E「-E）二,E（-E）2=

65.X为随机变量，EX二u,DX=；「2，则E^U）=

CT

x0

0

0

|

67.设E的分布函数为F（x）=^x4

1

1415妊

（B）o4xdx,（C）oxdx1xdx，

答案：

B

68.设随机变量

的概率密度函数为

1-x22xj

（x）e,

则

E二

?

D二

。

69.设随机变量

■的概率密度函数为

1-X2-2xd

（X）二e,

则

E'二

D二。

70.已知X,Y是两个相互独立的随机变量，已知X在［0,1］服从均匀分布，丫服从参数

为3的指数分布，则E（XY）=,D（2X，3Y）二。

31

答案：

E（XY）,D（2X3Y）=18-.

23

71.已知X,Y是两个相互独立的随机变量,已知X在［0,2］服从均匀分布,Y服从参数

为0.5的指数分布，则E（XY）二,D（2X，3丫）二。

72.一个袋中装有10个球，3个红球，7个黑球，从中任取2球不放回，用随机变量X

表示取到的红球数，求：

（1）X的分布律，EX,DX

（2）若从中再任取一球，求取到红球的概率

解：

（1）记Ai=“第一次取到红球”，A?

二“第二次取到红球”，X表示取到的红

767

球数，则P（^^0^P（A1）P（aJa]）,

110915

———377

P（X=1）=P（A）P（A2人）十卩（人）卩（心人）=2疋一汇一=一,

10915

321

P（X=2）=P（A1）P（A2A）：

10915

X的分布律为

7713277111

EX=0+1+2,EX=0+1+4,

151515515151515

DX=EX2-（EX）2二28

75

（2）第三次取到红球为事件A，所以

22

P（A）=迟P（A（X=i））=迟P（X=i）P（A（X=i））

i=0i=0

7372113

++

15815815810

73.设随机变量X具有密度函数

1

|x+—0兰x兰1

f（x）二2

0其他

求

（1）EX；

（2）DX；（3）丫二X-1的密度函数fY（y）。

■beii7

解：

（1）EX二.xf（x）dxx（x）dx=02i2

DX=EX2-（EX）211

22i2i5

（2）EXxf（x）dxx（x）dx,

0、2i2

（3）丫二X-1的分布函数

FY（y）二P（YEy）二P（X-仁y）二P（X乞y1）

0,y：

-1

y1

=0（x0.5）dx,-1乞y乞0

1，y0

y+i.5,_<^y

所以Y=X-1的密度函数fY（y）二

0,其他

k.7

74.某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标•每射击一次须付费10元.若他射

中目标，则得奖金100元，且游戏停止.若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元.若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.

75.设X,Y为任意两个随机变量，方差均存在且为正，若EXY二EXEY，则下列结

论不正确的是（）。

（A）D（XY）=DXDY（B）X,Y不相关

（C）cov（X,Y）=0（D）X,Y相互独立

76.设随机变量（X,Y）的方差D（X）=4,D（Y）=1,协方差cov（X,Y）=0.6,贝卩

方差D（XY）=（）

（A）3.8;（B）3;（C）6.2;（D）4.4

77.X为随机变量，EX二u,DX,则由切贝谢夫不等式可知

P{|x-u—。

78.设Sn是n次独立重复试验中事件A出现的次数，p为A在每次试验中出现的概率，

S

则对任意的农>o,有limp{』—p启础=

n-和n

2

79.设X随机变量，C是常数，证明：

E（X-c）

80.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量，假设每箱平均重50

千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理

说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。

（G0

（2）=0.977,其中:

•：

」o（x）为标准正态分布的分布函数）

81.

'「，）=：

两个随机变量',相互独立，则相关系数

答案：

0；