人教版初二数学上册乘法公式完全平方公式 教学设计.docx

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人教版初二数学上册乘法公式完全平方公式教学设计

14.2乘法公式（第2课时）

一、内容和内容分析

1.内容

完全平方公式。

2.内容解析:

某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式。

当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果。

完全平方公式是继平方差公式的学习后引入的又一种比较特殊的乘法公式，即两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍。

它和平方差公式一样，也是数学中最基本的一个公式，对于以后学习因式分解和解一元二次方程都具有举足轻重的作用。

完全平方公式的符号表示和语言表述揭示了公式的结构特征。

公式（a±b）²=a²±2ab+b²中的字母a、b，可以是具体的数、单项式、多项式。

完全平方公式的得出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般形式的整式乘法运算到对特殊形式的乘法运算概括出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法。

探索完全平方公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较、抽象、概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象地研究方法。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：

完全平方公式。

二、目标和目标解析

1．目标

（1）理解完全平方公式，能运用公式进行计算。

（2）在探索完全平方公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证完全平方公式的过程中，感知数形结合思想。

2．目标解析

达成目标

（1）的标志是：

学生知道由多项式乘法到完全平方公式是一般到特殊的过程，能根据多项式的乘法法则推导出完全平方公式，理解完全平方公式的基本结构与特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容，在字母表示具体的数、单项式时能正确地运用公式进行计算。

达成目标

（2）的标志是：

学生在探索完全平方公式的过程中，能够体验到由具体到抽象的过程，可以更好的发现公式、体会和理解公式；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解验证完全平方公式的具体方法，感知数形结合的思想。

三、教学问题诊断分析

完全平方公式是继平方差公式之后的两个公式，一个是两个数的和的平方，一个是两个数的差的平方。

两者仅一个“符号”不同。

相乘（或平方）的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两结果也仅一个“符号”不同。

这一点可以给学生学习这两个公式带来方便，也可能使两者容易混淆。

由于这两个公式是继平方差公式之后学习的，所以学生除理解、掌握并运用它们进行计算外，还要与平方差公式一起综合运用，因而学习增加了难度。

四、教学支持条件分析

为了利用图形面积验证公式，可用课件显示割补情形。

图1

（图1）中大正方形的面积可用（a+b）²表示，也可通过计算四个小长方形的面积和求得，即a²+ab+ab+b²由此得出（a±b）²=a²±2ab+b²。

图2中，把（a-b）²看作大正方形的面积a²减去右侧和上面两个长为a、宽为b的长方形的面积之和，即2ab，

图2

则此时多减掉了右上角那个正方形的面积b²，再把它补上，就是（a-b）²=a²-2ab+b²。

五、教学过程设计

1.探究完全平方公式

问题1：

同学们，这一章我们已经学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则，下面请你根据整式乘法法则计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

（1）（p+1）²=（p+1）（p+1）=______

（2）（m+2）²=_________;

（3）（p-1）²=（p-1）（p-1）=________;

（4）（m-2）²=__________.

师生活动：

学生在书上完成，老师巡视指导。

设计意图：

（1）承前启后，为本节内容的引入作铺垫；

（2）让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会多项式乘法与本节内容的关系——“一般——特殊”；（3）四个特殊的算式具有代表性和层次性，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础。

追问1：

上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？

追问2：

左边二项式的两项与它们的积中的各项有什么关系？

追问3：

你能将发现的规律用式子表示出来吗？

追问4:

你能对发现的规律进行推导吗？

师生活动：

学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现相乘的两个多项式完全相同，即两数和的平方（或两数差的平方），平方结果是两数的平方和，加上（或减去）两数积的2倍，用一般化的式子可以表示为（a±b）²=a²±2ab+b²，运用多项式的乘法法则及合并同类项可以推导此公式。

设计意图：

让学生经历具体——抽象的过程，即经历观察（每个具体的算式及其结果的特点）、比较（不同算式及其结构间的异同）、抽象（不同算式及其结果的共同特征）、概括（可能具有的规律）、推理（论证概括的结果）的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法——“具体——抽象”。

2.理解完全平方公式

问题2以上验证的两个式子称为乘法的完全平方公式，（教师板书课题）前面我们从代数的角度进行了验证，那么从几何的角度这个结论还成立吗？

我们来做两个游戏。

游戏一：

现有下图所示三种规格的卡片若干张，请你选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形面积的表示方法有几种。

游戏二：

现有下图所示边长为a的正方形卡片一张，请你在上面画一个边长为a-b的小正方形，并讨论该小正方形面积的表示方法有几种。

你能根据正方形的面积说明完全平方公式吗？

师生活动：

教师提出问题，学生小组合作，学生代表展示面积的表示方法，同时教师演示课件。

第二个活动中小正方形的面积表示方法不止两种，教师可以看学生的生成，只要理解了几何意义就可以。

设计意图：

通过探究活动，让学生认识完全平方公式的几何意义，通过游戏使学生更容易突破难点，更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想。

问题三、前面探究所得的式子（a±b）²=a²±2ab+b²，是乘法的完全平方公式的数学表达式，你能将完全平方公式用文字语言表述吗？

师生活动：

学生回答问题，相互补充。

设计意图：

（1）让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力；

（2）学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解。

3.巩固完全平方公式

例1运用完全平方公式计算：

（1）（4m+n）²

（2）（y－

）²

师生活动：

师生共同分析解答，教师板书

（1），学生板书

（2）.在解答

（1）的过程中，教师引导学生要明确本题中的哪一个数或式子相当于公式中的a，b，然后代入公式，再化简得出结果；在解答

（2）的过程中，同样注意上述问题，并关注学生是否有其他解法。

解:

（1）（4m+n）²=（4m）²+2•（4m）•n+n²=16m²+8mn+n²

（a+b）²=a²+2ab+b²

（2）（y-

）²=y²-2·

·y+

=y²-y+

设计意图：

让学生熟悉公式的结构特征，找准哪个数或式子相当于公式中的“第一个数”a；哪个数或式子相当于公式中的“第二个数”b，并运用公式进行计算。

练习1下面各式的计算对不对？

如果不对，应当怎样改正？

（1）（a+b）²=a²+b²

（2）（a−b）²=a²−b²

（3）（2a−1）²＝2a²−2a+1

（4）（2x−3y）²＝2x²-2（2x）（3y）+3y²

师生活动：

学生独立思考，并说明答案，对错误的问题相互交流、订正答案。

设计意图：

通过正误辨析及纠错、改错，让学生进一步理解完全平方公式的结构特征，准确运用公式进行计算。

问题4从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应注意什么？

师生活动：

学生回答问题，并相互补充。

可以总结出以下经验：

（1）在运用完全平方公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；

（2）与平方差公式区分，完全平方的结果是二次三项式，不能忘记写积的2倍。

（3）公式中a，b可以是可以是具体的数、单项式、多项式等；（4）两数和的平方，公式右边是加积的2倍项，两数差的平方，公式右边是减去积的2倍。

（6）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a和b,不要忘记整体平方。

设计意图：

引导学生深入分析完全平方公式的结构特征，并与平方差公式进行比较，在运用公式时，要区分两数和与两数差的完全平方。

通过此过程，突破本节课的难点。

例2运用完全平方公式计算：

（1）102²；

（2）99²

师生活动：

师生共同分析，得出102可以分解成两个数（100与2）的和，99可以分解成（100与1）的差，且分解后的数容易计算。

由于平方差的学习中有类似的练习，所以学生会很容易找到方法。

设计意图：

此题是完全平方公式在数的乘法中的应用，属于两个数乘积的简捷计算问题，类比上节课的学习，可以使学生将完全平方公式的知识迁移到新的问题情境中，既巩固新知，又培养学生分析和解决问题的能力。

练习2运用完全平方公式计算:

（1）（x+6）²;

（2）（-2x+5）²;

师生活动：

两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导，师生交流。

设计意图：

通过同类型题的练习，帮助学生更好地理解完全平方公式，较熟练地运用完全平方公式进行有关计算。

问题5：

想一想:

（a+b）²与（-a-b）²相等吗？

（a-b）²与（b-a）²相等吗？

（a-b）²与a²-b²相等吗？

为什么？

师生活动：

学生大胆猜测，先独立思考，再小组交流，验证自己的猜想，学生代表展示验证过程。

∵（a+b）²=a²+2ab+b²

（-a-b）²=（-a）²+2（-a）（-b）+（-b）²=a²+2ab+b²

∴（a+b）²=（-a-b）²

∵（a-b）²=a²-2ab+b²

（b-a）²=b²-2ba+a²=a²-2ab+b²

∴（a-b）²=（b-a）²

练习2运用完全平方公式计算:

（3）（

x-

y）²;（4）（-y-5）².

设计意图：

通过对完全平方公式变式的对比探究，引导学生深刻理解完全平方公式的结构特征，为以后灵活运用乘法公式打下基础，从而突破难点。

4.归纳小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答一下问题：

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）完全平方公式的结构特征是什么？

（3）应用完全平方公式时要注意什么？

设计意图：

通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——完全平方公式，进一步认识公式的结构特征，为运用公式积累经验。

5.布置作业

教科书习题14.2第2、4题

完全平方公式的教学反思

  本节课是八年级数学上册《整式乘除与因式分解》第二节中的内容，前一节课学习了平方差公式，这一课主要研究完全平方公式的特征及应用。

教学关键是引导学生正确理解完全平方公式的推导过程，几何背景，并能准确应用完全平方公式解决相关问题。

教学后我进行反思如下：

一、本节课的成功之处：

1、本课的教学目标是

（1）理解完全平方公式，能运用公式进行计算。

（2）在探索完全平方公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证完全平方公式的过程中，感知数形结合思想。

教学已基本达到了预期目标。

学生在自主观察、猜想、验证、概括、应用的具体过程中，深入领会完全平方公式的结构特征，进一步体会乘法公式的意义，进而运用完全平方公式简化计算。

体会了数形结合及转化的数学思想.。

2、在内容设计与呈现上，力求知识性、趣味性、活动性、层次性于一体。

通过两个小游戏顺利的突破了本节课的难点——完全平方公式的几何验证。

3、教学的生成效果很好。

验证差的完全平方公式是本节课的难点，学生们不仅顺利突破难点，而且还想出了四种面积表示方法，充分体现了小组合作的高效。

4、在教学手段上，将现代教育技术与教学内容有机整合，利用白板的互动效果结合ppt的演示，以激发学生兴趣、帮助学生形象理解并突破难点。

二、不足之处

1、在教学评价上有所欠缺，评价方式和语言显得生硬。

应该学会从不同角度如：

知识掌握、学习方式、努力程度和参与度等方面多角度及时的评价。

还要注意对小组之间的调动和评价。

2、有一些口误，如（a+b）²读成了a加b的平方，应改为a加b的和的平方。

3、最后的习题（-2x+5）²这一道设计不太合理，而且在教学设计中是学生写完这两道题，投影答案，但上课时我临时改为了学生口答，如果学生回答后课件出示相应答案更好。

4、作为年轻教师，我还需要增加教学智慧，进一步让课堂再活跃一些，再生动一些。

总之，课堂是动态的，生成的，是教师和学生共同成长的乐园。

需要我们及时的反思，不断的学习，用心去感悟。