人教版高中数学必修三第7讲用样本估计总体学生版.docx
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人教版高中数学必修三第7讲用样本估计总体学生版
人教版高中数学用样本估计总体
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1.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.
2.通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需要,通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地作出总体估计,认识到数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系.
3.能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数；能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法；初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法；通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风.
4.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差；能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）,并作出合理的解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
1．分析数据的方法
（1）借助于图形．
用图将各个数据画出来，作图可以达到两个目的，一是从数据中__________；二是利用图形__________．
（2）借助于表格．
用紧凑的表格改变数据的______方式，为我们提供_____数据的新方式．
2．频率分布直方图
（1）绘制步骤：
①求______，即一组数据中的最大值与最小值的差．
②决定______与______．组距与组数的确定没有具体的标准，一般来说，数据分组的组数与样本容量有关，样本容量越大，所分组数越____．当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分为5～12组．
③将数据______．
④列出__________表．
⑤画出频率分布直方图．其中横轴表示_____，纵轴表示_____________的比．
（2）意义：
频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示相应组的______，所有小矩形的面积的总和等于____.
（3）频率分布的估计：
频率分布是指各个小组数据在容量中所占______的大小，可以用______的频率分布估计总体的频率分布，频率分布表是反映样本的频率分布的表格．通过频率分布直方图和频率分布表可以看到样本的频率分布．
3.频率分布直方图的特征：
直观、形象地反映了样本的分布规律；可以大致估计出总体的分布．但是从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据绘制成频率分布直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．
4．频率分布折线图和总体密度曲线
（1）类似于频数分布折线图，连接频率分布直方图中各个小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
一般地，当总体中的个体数较多时，抽样时样本容量就不能太小．例如，如果要抽样调查一个省乃至全国的居民的月均用水量，那么样本容量就应比调查一个城市的时候大．可以想像，随着样本容量的增加．作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
频率分布折线图反映了数据的变化趋势．总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息．
（2）估计方法：
实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但是在实际应用中我们并不知道它的具体表达形式，需要用______来估计．由于样本是随机的，不同的样本得到的频率分布折线图______；即使对于同一个样本，不同的分组情况得到的频率分布折线图也不同．频率分布折线图是随__________和分组情况的变化而变化的，因此不能用样本的___________________得到准确的总体密度曲线．
5．茎叶图
（1）制作方法：
将所有两位数的十位数字作为_____，个位数字作为___，茎相同者共用一个茎，茎按从_________的顺序从上向下列出，共茎的叶可以按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出（也可以没有大小顺序）．
（2）优缺点：
在样本数据_______时，用茎叶图表示数据的效果较好．它不但可以保留所有信息，而且可以随时______，这对数据的记录和表示都能带来方便．但是当样本数据______时，茎叶图就显得不太方便，因为每一个数据都要在图中占据一个空间，如果数据很多，枝叶就会很长．
6.茎叶图的特征：
统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．但是茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两位以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两位数记录那么直观、清晰．
7．规律总结
[总结1] 估计总体分布的步骤是：
（1）选择适当的抽样方法从总体中抽取样本，即收集数据．
（2）利用样本数据画出统计图或计算数字特征．
（3）结合统计图分析样本取值的分布规律．
（4）用样本取值的分布规律估计总体分布，由于是用科学抽样抽取的样本，那么样本与总体取值的分布规律近似，有时也可看成相同.
（5）利用总体分布解决有关问题．
[总结2] 频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图和茎叶图的比较
（1）四种图表的区别与联系
名称
区别
频率分布表
从数量上比较准确地反映样本的频率分布规律
频率分布直方图
反映样本的频率分布情况
频率分布折线图
直观地反映了数据的变化趋势
总体密度曲线
虽客观存在，但要准确画出难度较大，只能用样本频率分布估计．样本容量越大，估计越准确
这四种图表都是描述样本数据分布情况，估计总体频率分布规律的，其联系如下：
（2）四种图表的优缺比较
优点
缺点
频率分布表
表示数量较确切
分析数据分布的总体态势不方便
频率分
布直方图
表示数据分布情况非常直观
原有的具体数据信息被抹掉了
频率分布
折线图
能反映数据的变化趋势
不能显示原有数据信息
茎叶图
一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况
样本数据较多或数据位数较多时，不方便表示数据
8．众数
（1）定义：
一组数据中出现次数______的数称为这组数据的众数．
（2）特征：
一组数据中的众数可能______一个，也可能没有，反映了该组数据的____________．
[破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．
9．中位数
（1）定义：
一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于______位置的数称为这组数据的中位数．
（2）特征：
一组数据中的中位数是______的，反映了该组数据的______________．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积______．
[破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．
10．平均数
（1）定义：
一组数据的和与这组数据的个数的商．数据x1，x2，…，xn的平均数为
n＝_________________.
（2）特征：
平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的_____________．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的______，但平均数受数据中_________的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．
11．标准差
（1）定义：
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算
s＝__________________________.
可以用计算器或计算机计算标准差．
（2）特征：
标准差描述一组数据围绕______波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较______；标准差较小，数据的离散程度较______．
12．方差
（1）定义：
标准差的平方，
即s2＝________________________________________．
（2）特征：
与____________的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．
（3）取值范围：
___________．
数据组x1，x2，…，xn的平均数为
，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b（a，b为常数）的平均数为a
＋b，方差为a2s2，标准差为as.
6．用样本估计总体
现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常用样本的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计．这与用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．
用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差，样本容量越大，估计就越精确．
类型一绘制频率分布直方图
例1：
抽查100袋洗衣粉，测量它们的净重如下（单位：
g）：
494 498 493 505 496 492 485 483 508 511
495 494 483 485 511 493 505 488 501 491
493 509 509 512 484 509 510 495 497 498
504 498 483 510 503 497 502 511 497 500
493 509 510 493 491 497 515 503 515 518
510 514 509 499 493 499 509 492 505 489
494 501 509 498 502 500 508 491 509 509
499 495 493 509 496 509 505 499 486 491
492 496 499 508 485 498 496 495 496 505
499 505 496 501 510 496 487 511 501 496
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画频率分布直方图及频率分布折线图；
（3）估计净重在494.5～506.5g之间的频率．
练习1：
为了解某中学高一年级男生的体重情况，抽取了同年级40名男生的体重，数据如下（单位：
千克）：
62 60 59 59 59 58 58 57 57 57 57 56
56 56 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54
54 54 53 53 52 52 52 52 52 51 51 51
50 50 49 48
列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图，并估计体重在58千克以上的男生比例．
练习2：
在2014年第十六届亚运会中，各个国家和地区金牌获得情况的条形统计图，如图所示．
第十六届亚运会各个国家和地区金牌获得情况统计图
从图中可以看出中国是亚洲第一体育强国，中国所获得金牌数占全部金牌数的比例约是（ ）
A．41.7%B．59.8%C．67.3%D．34.4%
练习3：
频率分布直方图中，各小矩形面积的和等于（ ）
A．0B.
C．1D．不确定
练习4：
在画频率分布直方图时，某组的频数为10，样本容量为50，总体容量为600，则该组的频率是（ ）
A.
B.
C.
D．不确定
类型二茎叶图的画法及应用
例2：
某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：
甲的得分：
95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙的得分：
83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
练习2：
在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下
10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20，
19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.
在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下：
27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35，
12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.
（1）画出两组数据的茎叶图；
（2）比较分析两组数据，能得出什么结论？
类型三茎叶图与频率分布直方图的综合应用
例3：
（2015·湖北武汉调研）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网购经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5），[5,10），…，[30,35），[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）
练习1：
某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图1和女生身高情况的频率分布直方图2.已知图1中身高在170cm～175cm的人数为16.
问：
在抽取的学生中，男、女生各有多少人？
练习2：
没有信息的损失，所有的原始数据都可以从图中得到的统计图是（ ）
A．总体密度曲线B．茎叶图
C．频率分布折线图D．频率分布直方图
类型四中位数、众数、平均数的应用
例4:
据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下：
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
（1）求该公司的职工月工资的平均数、中位数、众数；
（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？
（精确到1元）
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？
结合此问题谈一谈你的看法．
练习1：
某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下（单位：
岁）：
甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
（1）甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？
其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征？
（2）乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？
其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征？
类型五标准差、方差的应用
从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：
（单位：
cm）
甲：
25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：
27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：
（1）哪种玉米的苗长得高？
（2）哪种玉米的苗长得齐？
练习1：
甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1
练习2：
（2015·天津高一检测）一次数学知识竞赛中，两组学生成绩如下表：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由．
类型六频率分布直方图与数字特征的综合应用
例6：
（1）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
（2）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
①求这次测试数学成绩的众数．
②求这次测试数学成绩的中位数．
③求这次测试数学成绩的平均分．
练习1：
（2015·山东淄博高三模拟）参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分布的茎叶图1和频率分布直方图2均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：
求参加数学抽测的人数n，抽测成绩的中位数及分数分布在[80,90），[90,100]内的人数．
1．在用样本的频率分布估计总体的频率分布的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．总体的容量越大，估计越准确
B．总体的容量越小，估计越准确
C．样本的容量越大，估计越准确
D．样本的容量越小，估计越准确
2．在频率分布表中，下列说法正确的是（ ）
A．起始点不同，不影响分组数
B．分组数越多，就越能反映总体的情况
C．各组频率之和一定是1
D．不同起始点的频率分布表，各组频率一定不同
3．下列关于茎叶图的叙述正确的是（ ）
A．茎叶图可以展示未分组的原始数据，它与频率分布表以及频率分布直方图的处理方式不同
B．对于重复的数据，只算一个
C．茎叶图中的叶是“茎”十进制的上一级单位
D．制作茎叶图的程序是：
第1步画出茎；第2步画出叶；第3步将“叶子”任意排列
4．（2014·高考山东卷）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
kPa）的分组区间为[12,13），[13,14），[14,15），[15,16），[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．6B．8C．12D．18
5．甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等，但他们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是（ ）
A．因为他们平均分相等，所以学习水平一样
B．成绩平均分虽然一样，方差较大的，说明潜力大，学习态度端正
C．表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的成绩稳定
D．平均分相等，方差不等，说明学习不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低
6．在某次测量中得到的A样本数据如下：
82,84,84,86,86,86,88,88,88,88，若样本B数据恰好是样本A都加上2后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．众数B．平均数
C．中位数D．标准差
7．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为（ ）
A．3与3B．23与3C．3与23D．23与23
8．（2015·沈阳铁路实验中学期末考试）已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是2，则xy＝（ ）
A．98B．88C．76D．96
9．某篮球运动员在2014赛季各场比赛得分情况如下：
12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.
制作茎叶图，并分析这个运动员的整体水平及发挥的稳定程度．
10．从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成6组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为113642，最右边的一组的频数是8.请结合直方图的信息，解答下列问题：
（1）样本容量是多少？
（2）成绩落在哪个范围的人数最多？
并求出该小组的频数和频率．
（3）估计这次数学竞赛成绩的众数、中位数和平均数．
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基础巩固
（1）
基础巩固
一、选择题
1．下列关于频率分布直方图的说法正确的是（ ）
A．直方图的高表示取某数的频率
B．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率
C．直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值
D．直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值
2．下列说法正确的是（ ）
A．对于样本数据增加时，频率分布表不能增加变化
B．对于样本数据增加时，茎叶图不能增加变化
C．对于样本数据增加时，频率折线图不会跟着变化
D．对于样本数据增加时，频率分布直方图变化不太大
3．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为（ ）
A．10组 B．9组
C．8组D．7组
4．（2013·福建卷）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：
[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测度成绩不低于60分的学生人数为（ ）
A．588B．480
C．450D．120
5．（2013·重庆高考）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：
台）的茎叶图，则数据落在区间[22,30）内的频率为（ ）
A．0.2B．0.4
C．0.5D．0.6
6．（2015·河北省唐山一中月考）某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20，则a的估计值是（ ）
A．130B．140
C．133D．137
二、填空题
7．今年5月海淀区教育网开通了网上教学，某校高一年级（8）班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，将数据（取整数）整理后，绘制出如图所示频率分布直方图，已知从左到右各个小组的频率分别是0.15,0.25，0.35，0.20,0.05，则根据直方图所提供的信息，这一天上网学习时间在100～119分钟之间的学生人数是________人，如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网学习时间，这样推断是否合理？
________（填“合理”或“不合理”）
8.青年歌手大奖赛共有10名选手参赛，并请了7名评委．如图所示的茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙选手剩余数据的平均成绩分别为________、________.
三、解答题
9．有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随
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